2021-2022學年山西省呂梁市翰林中學高一數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.判斷下列各命題的真假：（1）向量的長度與向量的長度相等；（2）向量與向量平行，則與的方向相同或相反；（3）兩個有共同起點的而且相等的向量，其終點必相同；（4）兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；（5）向量和向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上；(6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個數為（）A、2個B、3個C、4個D、5個

參考答案：C2.若函數y=x2+(2a－1)x+1在（－∞，2上是減函數，則實數a的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D3.已知△ABC的一個內角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數列,則△ABC的面積為（

）A．15

B．

C.

D．參考答案：C由△ABC三邊長構成公差為4的等差數列，設三邊長分別為a，a+4，a+8（a＞0），∴a+8所對的角為120°，∴cos120°=整理得a2﹣2a﹣24=0，即（a﹣6）（a+4）=0，解得a=6或a=﹣4（舍去），∴三角形三邊長分別為6，10，12，則S△ABC=×6×10×sin120°=15．故選C．

4.已知集合A={-1,0,1},B={x︱-1≤x＜1},則A∩B=

(

)

（A）{0}

（B）{0，-1}

（C）{0，1}

（D）{0，1，-1}參考答案：B略5.（5分）有一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體應是一個（） A． 棱臺 B． 棱錐 C． 棱柱 D． 都不對參考答案：A考點： 由三視圖還原實物圖．分析： 根據主視圖、左視圖、俯視圖的形狀，將它們相交得到幾何體的形狀．解答： 由三視圖知，從正面和側面看都是梯形，從上面看為正方形，下面看是正方形，并且可以想象到連接相應頂點的四條線段就是幾何體的四條側棱，故這個三視圖是四棱臺．故選A．點評： 本題考查幾何體的三視圖與直觀圖之間的相互轉化．6.如圖，三棱柱中，側棱底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是（

）

A．與是異面直線B．直線平面C．直線A1C1與平面不相交D．是二面角B1-AE-B的平面角參考答案：D7.如右圖，該程序運行后的輸出結果為

（

）A．0

B．3C．12

D．－2參考答案：B8.已知函數為偶函數，則=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A因為根據偶函數的性質可知，要使函數為偶函數，那么可知一次項系數為0，m=2,經驗證成立，故選A.

9.函數y＝log2(1－x)的圖象是（

）參考答案：C10.下面給出3個論斷：①{0}是空集；

②若；③集合是有限集。其中正確的個數為（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，⊙O的半徑為10，弦AB的長為12，OD⊥AB，交AB于點D，交⊙O于點C，則OD=

，CD=

．參考答案：8,2.【考點】與圓有關的比例線段．【分析】由OD⊥AB，OD過圓心O，AD=BD=AB=6，利用勾股定理可知：OD==8，CD=OC﹣OD=10﹣8=2．【解答】解：OD⊥AB，OD過圓心O，∴AD=BD=AB=6，由勾股定理得：OD===8，OD=8CD=OC﹣OD=10﹣8=2，∴CD=2，12.已知△ABC中，∠A=60°，，則=

．參考答案：2試題分析：由正弦定理得==考點：本題考查了正弦定理的運用點評：熟練運用正弦定理及變形是解決此類問題的關鍵，屬基礎題13.設為常數，函數

為一次函數，若＝，＝1，且關于x的方程＝的根是x1=1，x2=3，x3=-2，則的值為

．參考答案：-5．解析：由＝，＝1求得a=2，b=2，又因為方程＝的根是x1=1，x2=3，x3=-2，∴直線與拋物線交于（1，1）和（3，5）兩點，故=，∴另一交點為（-2，-5），∴c=-5．14.若，則

.

ks5u參考答案：1

略15.在△ABC中，若則△ABC的形狀是_________參考答案：鈍角三角形略16.5．在△ABC中，角的對邊分別為，若，則的形狀一定是

三角形．參考答案：等腰17.A·P｛an｝中,a1=25,S17-=S9,則該數列的前__________項之和最大，其最大值為_______。參考答案：13,

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三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）當a=1，b=﹣2時，求f（x）的不動點；（2）若對于任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍．參考答案：考點： 函數與方程的綜合運用．專題： 計算題；新定義．分析： （1）將a、b代入函數，根據條件“若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點”建立方程解之即可；（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點轉化成對任意實數b，ax2+（b+1）x+b﹣1=x恒有兩個不等實根，再利用判別式建立a、b的不等關系，最后將b看成變量，轉化成關于b的恒成立問題求解即可．解答： （1）當a=1，b=﹣2時，f（x）=x2﹣x﹣3=x?x2﹣2x﹣3=0?（x﹣3）（x+1）=0?x=3或x=﹣1，∴f（x）的不動點為x=3或x=﹣1．（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點?對任意實數b，ax2+（b+1）x+b﹣1=x即ax2+bx+b﹣1=0恒有兩個不等實根?對任意實數b，△=b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立?對任意實數b，b2﹣4ab+4a＞0恒成立?△′=（4a）2﹣4×4a＜0?a2﹣a＜0?0＜a＜1．即a的取值范圍是0＜a＜1．點評： 本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及恒成立問題的處理，屬于基礎題．19.（本小題滿分11分）如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.（1）求三棱錐E-PAD的體積;（2）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系,并說明理由；（3）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF（4）當BE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°.參考答案：（1）三棱錐的體積.--3分（2）當點為的中點時，與平面平行.∵在中，、分別為、的中點，∴∥

又平面，而平面

∴∥平面.

………5分（3）證明:,.又,又，∴.

又,點是的中點,,..………8分(Ⅲ)過作于，連，又∵，則平面,則是二面角的平面角，∴，∵與平面所成角是，∴，∴，.∴，，設，則，，在中，，得.

………11分20.（12分）如果一個幾何體的主視圖與左視圖都是全等的長方形，邊長分別是4cm與2cm如圖所示，俯視圖是一個邊長為4cm的正方形．（1）求該幾何體的全面積．（2）求該幾何體的外接球的體積．參考答案：考點： 由三視圖求面積、體積．專題： 計算題；轉化思想．分析： 三視圖復原的幾何體是底面是正方形的正四棱柱，根據三視圖的數據，求出幾何體的表面積，求出對角線的長，就是外接球的直徑，然后求它的體積即可．解答： （1）由題意可知，該幾何體是長方體，底面是正方形，邊長是4，高是2，因此該幾何體的全面積是：2×4×4+4×4×2=64cm2幾何體的全面積是64cm2．（6分）（2）由長方體與球的性質可得，長方體的對角線是球的直徑，記長方體的對角線為d，球的半徑是r，d=所以球的半徑r=3因此球的體積v=，所以外接球的體積是36πcm3．（12分）點評： 本題是基礎題，考查幾何體的三視圖，幾何體的表面積的求法，準確判斷幾何體的形狀是解題的關鍵．注意正四棱柱的外接球的直徑就是它的對角線的長．21.（8分）設是定義在上的奇函數，且當時，，a>1.（1）求函數的解析式.（2）解關于x的不等式參考答案：f(x)=

22.已知數列{an}是首項為正數的等差數列，a1?a2=3，a2?a3=15．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=（an+1）?2，求數列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】8E：數列的求和；8H：數列遞推式．【分析】（1）設數列{an}的公差為d，由a1?a2=3，a2?a3=15．解得a1=1，d=2，即可得an=2n﹣1．（2）由（1）知bn=（an+1）?2=2n?22n﹣4=n?4n，利用錯位相減法求和即可