重慶榮昌第三中學2022年度高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設滿足約束條件，若恒成立，則實數的最大值為(

)A．

B．

C．4

D．1參考答案：B2.如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為（A）24

（B）18

（C）12

（D）9參考答案：BE→F有6種走法，F→G有3種走法，由乘法原理知，共6×3=18種走法,故選B．3.中國共產黨第十八屆中央委員會第二次全體會議于2013年2月26日至28日在北京順利舉行，兩名大學生志愿者甲與乙被安排在26日下午參加接待工作，工作時間均在13時至18時之間，已知甲連續工作2小時，乙連續工作3小時，則17時甲、乙都在工作的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.執行右邊的程序框圖，若，則輸出的

（

）

A．3

B.4

C.5

D.6參考答案：B條件為。

Sn①2②3③4

不滿足輸出n=4

故選擇B。5.雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【解析】如圖，在中，

，

6.已知函數f(x)滿足條件：當x＞0時，，則下列不等式正確的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C構造函數.在恒成立，在上是增函數，得，故選C.7.如圖所示的程序框圖運行的結果是(

) A． B． C． D．參考答案：C考點：程序框圖．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：模擬執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的A，i的值，當i=2013時，不滿足條件i≤2012，退出循環，輸出A的值．解答： 解：模擬執行程序框圖，可得A=0，i=1滿足條件i≤2012，A=，i=2滿足條件i≤2012，A=+，i=3…滿足條件i≤2012，A=++…+，i=2013不滿足條件i≤2012，退出循環，輸出A的值．由A=++…+=1﹣…+﹣=1﹣=．故選：C．點評：本題主要考查了循環結構的程序框圖，用裂項法求和是解題的關鍵，屬于基本知識的考查．8.已知雙曲線的實軸長為2，則該雙曲線的離心率為

A.

B.

C

D.參考答案：D略9.已知等差數列的前項和為，且，為平面內三點，點為平面外任意一點，若，則

（）A、共線B、不共線C、共線與否和點的位置有關D、位置關系不能確定參考答案：A略10.將函數的圖象向右平移個單位后，所得圖象關于y軸對稱，則的取值可能為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A將函數化簡得到，向右平移個單位后得到函數表達式為，因為關于y軸對稱故得到，當k=-1,時，得到值為.故答案為：A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的內角的對邊為，已知，則的面積為

參考答案：12.一個口袋中裝有若干個除顏色外都相同的黑色、白色的小球，從中取出一個小球是白球的概率為，連續取出兩個小球都是白球的概率為，已知某次取出的小球是白球，則隨后一次取出的小球為白球的概率為___________.參考答案：【分析】由條件概率求得，，則【詳解】設第一次取白球為事件，第二次取白球為事件，連續取出兩個小球都是白球為事件，則，，某次取出的小球是白球，則隨后一次取出的小球為白球的概率為，故答案為【點睛】本題主要考查條件概率公式的應用，屬于基礎題.求解條件概率時，一要區分條件概率與獨立事件同時發生的概率的區別與聯系；二要熟記條件概率公式.13.若的二項展開式中，所以二項式系數之和為64，則

；該展開式中的常數項為

（用數字作答）.參考答案：，.試題分析：由題意得，，由二項展開通項公式可知，令，故常數項為，故填：，.考點：二項式定理.14.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是邊長為2的正三角形，則此三棱柱的體積為．參考答案：考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關系與距離．分析：由等積法證明，然后利用棱錐的體積公式求得答案．解答：解：如圖，連接B1C，則，又，∴，∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是邊長為2的正三角形，∴．點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系及體積等基礎知識；考查學生的空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，是中檔題．15.用一個邊長為的正三角形硬紙，沿各邊中點連線垂直折起三個小三角形，做成一個蛋托，半徑為的雞蛋（視為球體）放在其上（如圖），則雞蛋中心（球心）與蛋托底面的距離為

.

參考答案：略16.關于方程表示的圓,下列敘述中:①關于直線x+y=0對稱;②其圓心在x軸上;③過原點④半徑為.其中敘述正確的是＿＿＿＿（要求寫出所有正確命題的序號）參考答案：①③④17.在的展開式中，其常數項的值為

.參考答案：28【測量目標】數學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數學中有關數據整理與概率與統計的基本知識.【知識內容】數據整理與概率統計/排列、組合、二項式定理/二項式定理.【試題分析】由二項式定理得，令，即，所以常數項為，故答案為28.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知數列{an}中，a1＝，點（n，2an＋1－an）（n∈N*）在直線y＝x上，???（Ⅰ）計算a2，a3，a4的值；???（Ⅱ）令bn＝an＋1－an－1，求證：數列{bn}是等比數列；???（Ⅲ）設Sn、Tn分別為數列{an}、{bn}的前n項和，是否存在實數λ，使得數列{}為等差數列？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．參考答案：（Ⅰ）由題意，2an＋1－an＝n，又a1＝，所以2a2－a1＝1，解得a2＝，同理a3＝，a4＝．

（3分）（Ⅱ）因為2an＋1－an＝n，所以bn＋1＝an＋2－an＋1－1＝－an＋1－1＝，b-n＝an＋1－an－1＝an＋1－（2an＋1－n）－1＝n－an＋1－1＝2bn＋1，即＝又b1＝a2－a1－1＝－，所以數列{bn}是以－為首項，為公比的等比數列．（8分）（Ⅲ）由（2）得，bn＝－×（）＝－3×（），Tn＝＝3×（）－．又an＋1＝n－1－bn＝n－1＋3×（），所以an＝n－2＋3×（）n，所以Sn＝－2n＋3×＝＋3－．

（11分）由題意，記cn＝．要使數列{cn}為等差數列，只要cn＋1－cn為常數．cn＝＝＝＋（3－λ）×，cn－1＝＋（3－λ）×，則cn－cn－1＝＋（3－λ）×（－）．故當λ＝2時，cn－cn－1＝為常數，即數列{}為等差數列．

（14分）19.（本小題滿分12分）已知函數.（1)已知函數f(x)在點（l，f（1））處與x軸相切，求實數m的值；（2）求函數f(x)的單調區間；(3)在(1)的結論下，對于任意的0<a<b,證明：參考答案：【知識點】導數的應用；不等式的證明方法.

B12

E7【答案解析】（1）1；（2）時，的增區間為，無減區間，時，的增區間為，減區間為；（3）證明：略.

解析：由得(1)依題意得,即

……2分(2)當時,,知函數在遞增;

當時,,由得,由得即函數在遞增,在上遞減.

……8分(3)由(1)知,得對于任意的，可化為其中，,其中，,即由(2)知,函數在遞減,且,于是上式成立故對于任意的，成立.……12分【思路點撥】（1）由函數f(x)在點（l，f（1））處與x軸相切得，函數在x=1處的導數為0求m值；（2）通過討論m的取值得導函數大于0或小于0的x范圍，從而得到單調區間；（3）即證對于任意的，，即證其中，,設，則證，即證，由(2)知,函數在遞減,且,于是上式成立故對于任意的，成立.20.已知函數f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）．（1）若x=1為f（x）的極值點，求a的值；（2）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣3=0，求f（x）在區間[﹣2，4]上的最大值；（3）當a≠0時，若f（x）在區間（﹣1，1）上不單調，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；函數的最值及其幾何意義；利用導數研究函數的單調性；函數在某點取得極值的條件．【分析】（1）先求導數，再根據x=1是f（x）的極值點得到：“f′（1）=0”，從而求得a值；（2）先根據切線方程為x+y﹣3=0利用導數的幾何意義求出a值，再研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值與最小值．（3）由題意得：函數f（x）在區間（﹣1，1）不單調，所以函數f′（x）在（﹣1，1）上存在零點．再利用函數的零點的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1∵x=1是f（x）的極值點，∴f′（1）=0，即a2﹣2a=0，解得a=0或2；（2）∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上．∴f（1）=2∵（1，2）在y=f（x）上，∴又f′（1）=﹣1，∴1﹣2a+a2﹣1=﹣1∴a2﹣2a+1=0，解得∴由f′（x）=0可知x=0和x=2是極值點．∵∴f（x）在區間[﹣2，4]上的最大值為8．（3）因為函數f（x）在區間（﹣1，1）不單調，所以函數f′（x）在（﹣1，1）上存在零點．而f′（x）=0的兩根為a﹣1，a+1，區間長為2，∴在區間（﹣1，1）上不可能有2個零點．所以f′（﹣1）f′（1）＜0，∵a2＞0，∴（a+2）（a﹣2）＜0，﹣2＜a＜2．又∵a≠0，∴a∈（﹣2，0）∪（0，2）．21.已知橢圓的離心率為，右焦點為F，以原點O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，過定點的直線l交橢圓C于A，B兩點，連接AF并延長交C于M，求證：.參考答案：（1）（2）證明過程詳見解析【分析】（1）設出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出b，利用離心率求出a，即可求出橢圓C的標準方程；（2）依題意可知直線斜率存在，設方程為，代入整理得，與橢圓有兩個交點，.設，，直線，的斜率分別為，，利用韋達定理證明即可.【詳解】解：（1）依題意可設圓方程為，圓與直線相切，.，由解得，橢圓的方程為.（2）依題意可知直線斜率存在，設方程為，代入整理得，與橢圓有兩個交點，，即.設，，直線，的斜率分別為，則，.，即.【點睛】本題考查橢圓的標準方程