湖南省邵陽市順潮學校2022年高二數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數為純虛數，則的值是（

）.A．

B．

C．

D．高參考答案：A略2.已知且與互相垂直，則的值是（

）A.1

B.

C.

D.參考答案：D略3.如圖所示，已知在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝2，BO＝6，D為A1B1的中點，且異面直線OD與A1B垂直，則三棱柱ABO－A1B1O1的高是

A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：B略4.設x，y滿足約束條件，若目標函數的最大值為2，則的圖象向右平移后的表達式為（）A． B． C．y=sin2x D．參考答案：C考點：簡單線性規劃；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數的圖像與性質；不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區域，利用線性規劃的知識求出m的值，利用三角函數的圖象關系進行平移即可．解答：解：作出不等式組對應的平面區域如圖，∵m＞0，∴平移直線，則由圖象知，直線經過點B時，直線截距最大，此時z最大為2，由，解得，即B（1，1），則1+=2，解得m=2，則=sin（2x+），則的圖象向右平移后，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，故選：C．點評：本題主要考查三角函數解析式的求解以及線性規劃的應用，根據條件求出m的取值是解決本題的關鍵．5.設等比數列{an}中,前n項和為Sn,已知,則（）A． B． C． D．參考答案：D6.命題“，”的否定是（

）A．，

B．，C．，

D．，參考答案：B根據命題的否定易得：命題“，”的否定是，7.若，則的值（

）A．大于0

B．等于0

C．小于0

D．符號不能確定參考答案：A8.在△ABC中，內角所對的邊長分別為a,b,c.（）A． B． C． D．參考答案：A略9.橢圓,P為橢圓上一點,則過點P且與橢圓有一個公共點的直線的斜率為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A10.圓（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直線3x+4y﹣11=0的距離等于1的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：C【考點】點到直線的距離公式．【分析】由圓的方程找出圓心A的坐標和半徑r=3，然后由點到直線的距離公式求出圓心A到已知直線的距離為2，由AE﹣AD=DE，即3﹣2=1求出DE的長，得到圓A上的點到已知直線距離等于1的點有三個，如圖，點D，P及Q滿足題意．【解答】解：由圓的方程，得到圓心A坐標為（3，3），半徑AE=3，則圓心（3，3）到直線3x+4y﹣11=0的距離為d==2，即AD=2，∴ED=1，即圓周上E到已知直線的距離為1，同時存在P和Q也滿足題意，∴圓上的點到直線3x+4y﹣11=0的距離為1的點有3個．故選C．【點評】此題考查了直線與圓的位置關系，以及點到直線的距離公式，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.半徑為r的圓的面積S（r）=πr2，周長C（r）=2πr，若將r看作（0，+∞）上的變量，則（πr2）′=2πr①．①式可以用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數．對于半徑為R的球，若將R看作（0，+∞）上的變量，請你寫出類似于①的式子②：，②式可以用語言敘述為：．參考答案：；球的體積函數的導數等于球的表面積函數。【考點】歸納推理．【專題】常規題型；壓軸題．【分析】圓的面積函數的導數等于圓的周長函數，類比得到球的體積函數的導數等于球的表面積函數，有二維空間推廣到三維空間．【解答】解：V球=，又故②式可填，用語言敘述為“球的體積函數的導數等于球的表面積函數．”故答案為，球的體積函數的導數等于球的表面積函數．【點評】本題考查類比推理，屬于基礎題．12.方程，當時，表示圓；當時，表示橢圓；當時，表示雙曲線；當時，表示兩條直線.參考答案：

，

，

，

；13.如果a＞0，那么a++2的最小值是

．參考答案：4【考點】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵a＞0，∴a++2≥2+2=4，當且僅當a=1時取等號．∴a++2的最小值是4．故答案為：4．14.已知f（x）是R上的偶函數，且在[0，+∞）上單調遞減，f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集為．參考答案：{x|﹣1＜x＜1}【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據題意，結合函數的奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化為|x|＜1，解可得x的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據題意，由于f（1）=0，則f（x）＞0?f（x）＞f（1），f（x）是R上的偶函數，且在[0，+∞）上單調遞減，則f（x）＞f（1）?f（|x|）＞f（1）?|x|＜1，解可得：﹣1＜x＜1，則不等式f（x）＞0的解集為{x|﹣1＜x＜1}；故答案為：{x|﹣1＜x＜1}．15.化簡復數為

．參考答案：略16.已知數列中，若，則=

參考答案：670數列為等差數列，其首項為，公差為，則通項公式。由得：=670考點：等差數列的通項公式．點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握等差數列的定義以及等差數列的通項公式，并且結合正確的計算．17.已知，則的最小值是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（2014?余杭區校級模擬）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B為鈍角，b=10，求a的取值范圍．參考答案：【考點】正弦定理；三角函數中的恒等變換應用．

【專題】計算題；解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理化簡已知表達式，通過兩角和的正弦函數與三角形的內角和，求出的值；（Ⅱ）通過（Ⅰ）求出a與c的關系，利用B為鈍角，b=10，推出關系求a的取值范圍．【解答】（本小題滿分14分）解：（I）由正弦定理，設，則，所以．…（4分）即（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB，化簡可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）又A+B+C=π，所以sinC=3sinA因此．…（8分）（II）由得c=3a．…（9分）由題意，…（12分）∴…（14分）【點評】本題考查正弦定理與兩角和的正弦函數的應用，注意三角形的判斷與應用，考查計算能力．19.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，點E是棱PB的中點．（Ⅰ）求證：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直線AE和平面PDB所成的角．參考答案：考點：直線與平面所成的角；棱錐的結構特征．專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）判斷AC⊥面PBD，再運用直線垂直直線，直線垂直平面問題證明．（II）根據題意得出AC⊥面PBD，運用直線與平面所成的角得出∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 證明：（Ⅰ）∵四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，AC⊥BD，∵PD∩DB=D，∴AC⊥面PBD，∵PB?面PBD，∴AC⊥PB．（Ⅱ）連接EO，∵點E是棱PB的中點，O為DB中點，∴OE∥PD，∵PD=2∴OE=1∵AC⊥面PBD，∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角∵底面ABCD是正方形，AB=，∴AC=2，AO=1，∴Rt△AEO中∠AEO=45°即直線AE和平面PDB所成的角45°點評：本題考查了棱錐的幾何性質，直線與平面角的概念及求解，考查學生的空間思維能力，運用平面問題解決空間問題的能力．20.已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．（1）求橢圓的方程；（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的標準方程；直線的斜率；直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】壓軸題．【分析】（1）設橢圓方程為．由兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，由此能夠求出a，b，c的值，從而得到所求橢圓方程．（2）右焦點F（1，0），直線l的方程為y=x﹣1．設P（x1，y1），Q（x2，y2），由題設條件得．由此入手可求出．（3）假設在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，設直線l的方程為y=k（x﹣1）（k≠0）．由題意知（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由此可知．【解答】解：（1）由已知，橢圓方程可設為．∵兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，∴．所求橢圓方程為．（2）右焦點F（1，0），直線l的方程為y=x﹣1．設P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y﹣1=0，解得．∴．（3）假設在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，所以設直線l的方程為y=k（x﹣1）（k≠0）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴．．其中x2﹣x1≠0以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0?（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0?（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0?2k2﹣（2+4k2）m=0．∴．【點評】本題考查圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．21.設為直角坐標系內軸正方向的單位向量，，且。（1）求點的軌跡的方程；（2）過點做直線交軌跡于兩點，設，當四邊形為矩形時，求出直線的方程.參考答案：解析：（1）由知，點到兩定點的距離之和為定值8，又8>4所以的軌跡為以

為焦點橢圓，故方程為

…………4分（2）當為軸時，重合，不合題意，故設直線的斜率為，方程為

聯立方程組：

得

…………6分則，

(*)………8分因為，四邊形為矩形，所以

………………10分即

(*)式代入得

故當四邊形為矩形時，直線:

…12分22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中點．（Ⅰ）求證：直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）求證：直線CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一點G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小為，若存在，確定G的位置，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在PC上取一點F，使PF=2FC，連接MF，NF，結合已知可得MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．從而可得MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．再由線面平行的判定可得直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中點，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．進一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由線面垂直的判定可得直線CD⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點，建立空間直角坐標系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G點位置．【解答】證明：（Ⅰ）在PC上取一點F，使PF=2FC，連接MF，NF，∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．∴MF∥AN，MF=AN，∴MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．又AM?平面PNC，∴直線AM∥