河南省駐馬店市查岈山鄉教管站中學2022年度高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．36+12π B．36+16π C．40+12π D．40+16π參考答案：C【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體為棱柱與半圓柱的組合體，作出直觀圖，代入數據計算．【解答】解：由三視圖可知幾何體為長方體與半圓柱的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：其中半圓柱的底面半徑為2，高為4，長方體的棱長分別為4，2，2，∴幾何體的表面積S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故選C．2.若，則的值為（）

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.

線的離心率等于

參考答案：B略4.設雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左右頂點分別為A1，A2，左右焦點分別為F1，F2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P，若以A1A2為直徑的圓與PF2相切，則雙曲線C的離心率為（）A． B．C．2 D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據雙曲線的定義和以及圓的有關性質可得PF1=2a，PF2=4a，再根據勾股定理得到a，c的關系式，即可求出離心率．【解答】解：如圖所示，由題意可得OQ∥F1P，OQ=OA2=a，OF2=C，F1F2=2c，∴==，∴PF1=2a，∵點P為雙曲線左支的一個點，∴PF2﹣PF1=2a，∴PF2=4a，∵以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P，∴∠F1PF2=90°∴（2a）2+（4a）2=（2c）2，∴=3，∴e==，故選：B【點評】此題要求學生掌握定義：到兩個定點的距離之差等于|2a|的點所組成的圖形即為雙曲線．考查了數形結合思想、本題凸顯解析幾何的特點：“數研究形，形助數”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑．5.設有甲、乙、丙三項任務，甲需要2人承擔，乙、丙各需要1人承擔，現在從10人中選派4人承擔這項任務，不同的選派方法共有

(

)

A．1260種

B．2025種

C．2520種

D．5040種參考答案：答案：C6.已知=﹣5，那么tanα的值為(

)A．﹣2 B．2 C． D．﹣參考答案：D【考點】同角三角函數基本關系的運用．【分析】已知條件給的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，變為含正切的等式，解方程求出正切值．【解答】解：由題意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故選D．【點評】同角三角函數的基本關系式揭示了同一個角三角函數間的相互關系，其主要應用于同角三角函數的求值和同角三角函數之間的化簡和證明．在應用這些關系式子的時候就要注意公式成立的前提是角對應的三角函數要有意義．7.對于定義域為的函數和常數，若對任意正實數，使得恒成立，則稱函數為“斂函數”．現給出如下函數：①；②；③；④.其中為“斂1函數”的有（）A．①②

B．③④

C．②③④

D．①②③參考答案：C8.由直線y=x+2上的點向圓（x﹣4）2+（y+2）2=1引切線，則切線長的最小值為（）A． 4B． C． D．4－1參考答案：B【分析】要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，求出m，由勾股定理可求切線長的最小值．【解答】解：要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，由點到直線的距離公式得m==4，由勾股定理求得切線長的最小值為=．故選B．9.如圖，把圓周長為1的圓的圓心C放在y軸上，頂點A（0，1），一動點M從A開始逆時針繞圓運動一周，記=x，直線AM與x軸交于點N（t，0），則函數t=f（x）的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】函數的圖象．【分析】根據動點移動過程的規律，利用單調性進行排除即可得到結論．【解答】解：當x由0→時，t從﹣∞→0，且單調遞增，由→1時，t從0→+∞，且單調遞增，∴排除A，B，C，故選：D．10.已知復數z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實數a＝（

）A. B. C.2 D.﹣2參考答案：D【分析】化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據z∈R求解.【詳解】因為z＝（1+2i）（1+ai）=，又因為z∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點睛】本題主要考查復數的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設為正實數，滿足，則的最小值是____________．參考答案：3略12.已知函數為奇函數，則

．參考答案：013.設函數_________.

參考答案：知識點：其他不等式的解法解析：由題意，得及，解得及，所以使得成立的的取值范圍是；故答案為：。【思路點撥】利用分段函數將得到兩個不等式組解之即可．

14.如圖是一個算法的流程圖，若輸入n的值是10，則輸出S的值是

．參考答案：54【考點】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出滿足條件n＜2時，S=10+9+8+…+2的值．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出滿足條件n＜2時，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故輸出54．故答案為：54．15.若函數,則函數的值域是_________.參考答案：略16.在△ABC中，己知，點D滿足，且，則BC的長為_______．參考答案：【知識點】向量數乘的運算及其幾何意義．F3

解析：根據題意，畫出圖形，如圖所示；

設BC=x，∴CD=2x，∴D是CD的中點，∴S△ABC=S△ABD；

即?3?AB?sin45°=??AB?sin∠BAD，

∴sin∠BAD=，

cos∠BAD=；

∴cos∠DAC=cos45°cos∠BAD-sin45°sin∠BAD

=，

在△ACD中，CD2=AD2+AC2-2AD?AC?cos∠DAC

=，

∴CD=，

∴BC=．

故答案為：．【思路點撥】根據題意，畫出圖形，結合圖形，利用同角的三角函數關系，余弦定理，求出CD的長，即得BC的長．17.平面上，點A、C為射線PM上的兩點，點B、D為射線PN上的兩點，則有（其中S△PAB、S△PCD分別為△PAB、△PCD的面積）；空間中，點A、C為射線PM上的兩點，點B、D為射線PN上的兩點，點E、F為射線PL上的兩點，則有=

（其中VP﹣ABE、VP﹣CDF分別為四面體P﹣ABE、P﹣CDF的體積）．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】設PM與平面PDF所成的角為α，則兩棱錐的高的比為，底面積比為，根據棱錐的體積公式即可得出體積比．【解答】解：設PM與平面PDF所成的角為α，則A到平面PDF的距離h1=PAsinα，C到平面PDF的距離h2=PCsinα，∴VP﹣ABE=VA﹣PBE==，VP﹣CDF=VC﹣PDF==，∴=．故答案為：．【點評】本題考查了棱錐的結構特征和體積計算，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）設，當時，對任意，存在，使，證明：.參考答案：(1)見解析；(2)見證明【分析】（1）求導，討論與的大小關系得單調區間；(2)當時，由（1）得在上的最小值為，由題轉化為，得，分離m得，構造函數求其最大值即可證明【詳解】（1）函數的定義域為，又，由，得或.當即時，由得，由得或；當即時，當時都有；當時，單調減區間，單調增區間是，；當時，單調增區間是，沒有單調減區間；（2）當時，由（1）知在單調遞減，在單調遞增.從而在上的最小值為.對任意，存在，使，即存在，使值不超過在區間上的最小值.由得，.令，則當時，.，當時；當時，，.故在上單調遞減，從而,從而實數得證【點睛】本題考查函數的單調區間，不等式有解及恒成立問題，分離參數求最值問題，轉化化歸能力，是中檔題19.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講設函數

ks5u

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若對恒成立，求的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)等價于

或

或，解得：或．故不等式的解集為或．

……5分(Ⅱ)因為:（當時等號成立）所以…8分.由題意得：，解得或。…10分略20.設函數．（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求函數f（x）的值域．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象．【分析】（Ⅰ）化簡可得=2sin（2x﹣）+，從而確定周期；（Ⅱ）由可得﹣＜2sin（2x﹣）+≤．【解答】解：（Ⅰ）=sin2x++sin2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+=2sin（2x﹣）+，故函數f（x）的最小正周期為π；（Ⅱ）∵，∴﹣＜2x﹣＜，∴﹣＜sin（2x﹣）≤1，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤2，∴﹣＜2sin（2x﹣）+≤，故函數f（x）的值域為（﹣，]．21.在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線l的參數方程為（t為參數），圓C的極坐標方程是ρ=1．（1）求直線l與圓C的公共點個數；（2）在平面直角坐標系中，圓C經過伸縮變換得到曲線C′，設M（x，y）為曲線C′上一點，求4x2+xy+y2的最大值，并求相應點M的坐標．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程．【專題】坐標系和參數方程．【分析】（Ⅰ）把直線l的參數方程、圓C的極坐標方程化為普通方程，根據圓心到直線的距離d與圓半徑r的關系，判定直線l與圓C的公共點個數；（Ⅱ）由圓C的參數方程求出曲線C′的參數方程，代入4x2+xy+y2中，求出4x2+xy+y2取得最大值時對應的M點的坐標．【解答】解：（Ⅰ）直線l的參數方程（t為參數）化為普通方程是x﹣y﹣=0，圓C的極坐標方程ρ=1化為普通方程是x2+y2=1；∵圓心（0，0）到直線l的距離為d==1，等于圓的半徑r，∴直線l與圓C的公共點的個數是1；（Ⅱ）圓C的參數方程是，（0≤θ＜2π）；∴曲線C′的參數方程是，（0≤θ＜2π）；∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ?2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；當θ=或θ=時，4x2+xy+y2取得最大值5，此時M的坐標為（，）或（﹣，﹣）．【點評】本題考查了參數方程與極坐標方程的應用問題，解題時可以把參數方程、極坐標方程化為普通方程，以便正確解答問題，是基礎題．22.已知函數f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線的斜率為3．（1）求實數a的值；（2）若f（x）≤kx2對任意x＞0成立，求實數k的取值范圍；（3）當n＞m＞1（m，n∈N*）時，證明：．參考答案：考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：計算題；證明題；導數的綜合應用．分析：（1）求出f（x）的導數，由切線的斜率為3，解方程，即可得到a；（2）f（x）≤kx2對任意x＞0成立對任意x＞0成立，令，則問題轉化為求g（x）的最大值，運用導數，求得單調區間，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出導數，判斷單調性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函數，由n＞m＞1，則h（n）＞h（m），化簡整理，即可得證．解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，又∵f（x）的圖象在點x=e處的切線的斜率為3，∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1；

（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，∴f（x）≤kx2對任意x＞0成立對任意x＞0成立，令，則問題轉化為求g（x）的最大值，，令g'（x）=0，解得x=1，當0＜x＜1時，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函數；當x＞1時，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是減函數．

故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=1，∴k≥1即為所求；