【新教材】3.1.1函數的概念（人教版）函數在高中數學中占有很重要的比重，因而作為函數的第一節內容，主要從三個實例出發，引函數的概念從就函數概念的分析判斷函數，求定義域和函數值，再結合三要素判斷函數相.課目理解函數的定義、函數的定義域值域及對應法則。掌握判定函數和函數相等的方法。學會求函數的定義域與函數值。數學素數學抽象：通過教材中四個實例總結函數定義；邏輯推理：相等函數的判斷；數學運算：求函數定義域和求函數值；數據分析：運用分離常數法和換元法求值域；數學建模：通過從實際問題中抽象概括出函數概念的活動，培養學生從“特殊到一般”的分析題的能力，提高學生的抽象概括能力。重：數的概念，函數的三要素。難：數概念及符號y=f(x)的理解。教方：學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。教工：媒體。一、情景導初中已經學過：正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等，那么在初中函數是怎樣定的？高中又是怎樣定義？要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀.研探二預課本引新閱讀課本60-65頁思考并完成下問題在集合的觀點下函數是如何定義？函數有哪三要素？如何用區間表示數集？相等函數是指什么樣的函數？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三新探究1．函數的概念(1)函數的定義：設A，是非的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于合A中任何一個屬x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和對應，那么就稱：→為集A集合的個函數，記作y=f(x)x.(2)函數的定義域與值域：函數y＝)中叫自變量取值范圍叫做函數的定義域x的值對的y值叫函數值，函數值的集|}叫做函數的值域．顯然，值域是集合B的子．2．區間概念a，b為數，且a＜b)定義{a≤x}{a＜x}{a≤x}{a＜x}

名稱閉區開區半開閉區間半開閉區間

符號[a，b(，b)[，)(，b

數軸示3．其它區間的表示R{xa}{xx＞a}{x≤a{x＜a定義()[，＋)

(＋∞)

(－，(－∞a符號四典分、一三題一

函的義例列選項橫軸表示x軸縱表示y軸),表是x函數的(【答案】解題技巧：（判斷是否為函數）（圖形判斷是x的數則函數圖象與垂直于x軸的直線至多有一個交點.若有兩個或兩個以上交,則不符合函數的定義所應圖象不是函數圖.（對應關系判斷對關系是“一對一”或“多對一”的是函數關系；“一對多”的不是函數關.跟訓一1.集合A={x|0≤x≤2},列不表示從A到B的函數的是)【答案】題二

相函例試斷以下各組函數是否表示同一函:(1)f(x)=(),g(x)=

;y=x與y=1(x≠0);y=2x+1(x∈Z)與∈Z).【答案】見解析【解析因函數f(x)=()2定義域為{x|x而2的定義域為{x|x∈R},它們的定義域不同,所以它們不表示同一函數(2)因為y=x要求x≠0,且當x≠0,=1,y=x與y=1(x的定義域和對應關系都相,所xxxxxxxx2它們表示同一函.(3)y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z)個函數的定義域相但對應關系不相同故它們不表示同一函.解題技巧：判函數相等的方)定義域先則先看定義域，若定義域不同，則函數不相.若定義域相同，則化簡函數解析式，看對應關系是否相.跟訓二1.試判斷以下各組函數是否表示一函:①f(x)=,g(x)=x-1;x②f(x)=,g(x)=;xx③f(x)=(),g(x)=x+3;0f(x)=x+1,g(x)=x+x;汽車勻速運動時路程與時間的函數關系f(t)=80t(0≤5)一次函數g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示相等函數的是填上所有正確的序號.【答案】⑤【解析】與g(x)的義域不,不是同一函;f(x)與g(x)的析式不同,不是同一函;f(x)=|x+3|,與g(x)的解析式,不是同一函;f(x)與g(x)的義域不同,不是同一函;f(x)與g(x)的義域、值域對應關系皆相是同一函數題三

區例知集合A={x|5-x集B={x||x|-3≠0},則A∩B區間可表示為.【答案】∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]【解析】∵A={x|5-x∴A={x|x∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或3<x<3或3<x≤5},即A∞,-3)∪(3,5].解題技巧：（如何用區間表示集）1.正確利用區間表示集,要特注意區間的端點值能否取即“小括號”和“中括號”的區.0(x+2)2x-1x-,x0(x+2)2x-1x-,x1.1≤x2,且x≠0}-,](2)2.用區間表示兩集合的交集、并、補集運算應先求出相應集,再用區間表示跟訓三集合{或2≤11}用區表示為.若集合A=[2a-1,a+2],則實數a的值范圍用區間表示為.【答案】(1)(0,1)∪[2,11](2)(-∞,3)【解析】(2)由區間的定義知,區間a,b)([a,b])立的條件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴實數a的值圍(∞,3).題四

求數定域例下列函數的定義域:(1)y=

|x-x

;(2)f(x)=

x1

-【答案】(1)

(-∞,-2)∪(-2,0)

(2)

(-∞,1)∪(1,4]x20,x-,【解析(1)要使函數有意,自量x的值必須滿足即解x<0,且x≠-2.||x≠0,||≠x故原函數的定義域為-∞,-2)∪(-2,0).-x0,x,(2)要使函數有意義,自變量x的值必須滿即故原函數的定義域為-∞,1)解題方法（求函數定義域的注意事項）如果函數f(x)是式那函數的定義域是實數集R;如果函數f(x)是式那函數的定義域是使分母不等于零的實數組成的集;如果函數f(x)是次根式那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數組成的集;如果函數f(x)是兩個或兩個上代數式的和、差、積、商的形式構成,那么函數的定義域是各式子都有意義的自變量的取值集(即求各式子自變量取值集合的交)跟訓四1.求函數y=2x

1-x

x

的定義域2.已知函數f(x)的義域是求函數f(2x+1)定義域.【答案】(1)

{x|-

2的定義域為|-138的定義域為|-138,【解析(1)要使函數有意,需-,,解得-≤x<2,且x所以函數y=-

1

,且.(2)已知的義域是即1≤x≤4.故對于f(2x+1)應有-1≤2x+1≤4,∴-2≤2x≤3,≤x≤.∴函數f(2x+1)的義域是-,題五求數（）

].例(1)知f(x)＝1+x

(x∈R，且x≠－1)，g(x)＋2(x∈R)則f(2)＝________f(g(2))＝________.(2)求下列函數的值域：①y＋1；②y＝x－2x＋3，x；③y＝；④y－x.1+x1【答案】（1）

17

（2）①R②[2,6)③{y|y∈R且y≠3}④

，＋∞111【解析】(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝113又∵g(x)＝x＋2，∴g(2)＝2＋2，11∴f(g(2))(6)＝＝.17(2)①(觀察法)因為x∈R，所＋1，即函數值域是R.②(方法y＝x－2x＋3＝(x－1)＋2∈[0,3)結合函數的圖(如圖可得函數的值域為2,6)．3x3x＋3－44③(離常數)y＝＝＝3－.x＋1xx＋1∵

4≠0，∴y≠3，x＋13x－1∴y＝的域為{y|y∈R且≠3}．x＋11④(元法設t＝x－1，則t≥0＝t＋1所以y＝2(t＋1)－t＝2

15＋，由t≥0，再結合函815數的圖象如圖)，可得函數的值域，

.解題方法（求函數值（域)的方）1.已知的達式時只用替換達式中的所有x得f(a)的.22求f(g(a))的應遵循由內到外原.求函數值域常用的4種方觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到；配方法：當所給函數是二次函數或可化為二次函數處理的函數時，可利用配方法或二次函數圖求其值域；分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域；（4元即運用新元代換所給函數化成值域易確定的函數而得原函數的值域對（x（中a，b，c為常數，且a0）的函數常用換元.跟訓五1.求下列函數的值域：(1)y＝＋1＝.2【答案(1)[1∞【解析】(1)因為2x＋1≥0，以2x＋1＋1≥1即所求函數的值域[，∞)．1