溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評估(一)(第一章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.在△ABC中，若b=2asinB，則A=()°或60° °或60°°或60° °或150°【解析】選D.因為b=2asinB，所以bsinB=a12，由正弦定理知，si所以A=30°或150°.2.(2023·廣州高二檢測)在△ABC中，A=60°，a=6，b=4.滿足條件的△ABC()A.無解 B.有解C.有兩解 D.不能確定【解析】選A.因為asinA=b所以6sin60°=4所以sinB=2，故滿足條件的△ABC無解.【補償訓(xùn)練】在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，則此三角形解的情況是()A.一解 B.兩解C.一解或兩解 D.無解【解析】選B.因為bsinA=100×22=502，而0<5023.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定【解析】選C.由正弦定理可把不等式轉(zhuǎn)化為a2+b2<c2.又因為cosC=a24.在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，則最短邊的邊長等于()A.63 B.62 C.12【解題指南】由三角形內(nèi)角和定理求出角A，再利用三角形中大角對大邊確定最小邊.【解析】選A.由三角形內(nèi)角和定理得A=180°-(45°+60°)=75°，因為三角形中大角對大邊，故最短的邊為b，由正弦定理得bsin45°=1所以b=sin45°sin60°=225.已知在△ABC中，AB=6，A=30°，B=120°，則△ABC的面積為() B.18 3 3【解析】選C.因為A=30°，B=120°，所以C=30°.所以BA=BC=6.所以S△ABC=12=12×6×6×32=96.若在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，那么cosC=()14 B.14 23【解析】選A.由正弦定理得，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，設(shè)a=2x，b=3x，c=4x(x>0)，所以cosC=a2+=-147.三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，則三角形的另一邊長為() B.2 【解題指南】設(shè)已知的兩邊為a，b，利用根與系數(shù)關(guān)系求出a，b的夾角的余弦值，再利用余弦定理求出第三邊的長.【解析】選B.設(shè)已知的兩邊為a，b，三角形為ABC，因為三角形兩邊a，b的夾角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，所以cosC=-35.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=25+9-2×5×3×-35=52，所以c=528.(2023·濰坊高二檢測)設(shè)a，b，c分別是△ABC中A，B，C對應(yīng)邊的邊長，則直線sinA·x-ay-c=0與bx+sinB·y+sinC=0的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直【解析】選，b，c分別是△ABC中A，B，C對應(yīng)邊的邊長，則直線sinA·x-ay-c=0的斜率為sinAbx+sinB·y+sinC=0的斜率為-b因為sinAa·-bsinB=所以兩條直線垂直.9.(2023·唐山高一檢測)如圖，一棟建筑物AB的高為(30-103)m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD.在它們之間的地面點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為()A.30m B.60m C.30m D.40m【解析】選B.如圖，在Rt△ABM中，AM=ABsin∠AMB=30-103sin15°過點A作AN⊥CD于點N，易知∠MAN=∠AMB=15°，所以∠MAC=30°+15°=45°，又因為∠AMC=180°-15°-60°=105°，所以∠ACM=30°.在△AMC中，由正弦定理得MCsin45°=解得MC=403CD=403×sin60°=60(m)，故通信塔CD的高為60m.【拓展延伸】求距離問題的注意事項(1)首先選取適當(dāng)基線，畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題.(2)明確所求的距離在哪個三角形中，有幾個已知元素.(3)確定使用正弦定理或余弦定理解三角形.【補償訓(xùn)練】某人站在山頂看見一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車和第二輛車之間的距離d1與第二輛車和第三輛車之間的距離d2之間的關(guān)系為()>d2 =d2<d2 D.不能確定大小【解析】選C.設(shè)山頂為點P，山高為PD，第一、二、三輛車分別為A，B，C，俯角差為α，作出圖形如圖，由題知∠CPB=∠BPA=α，由正弦定理，得d2sinα=PBsin∠PCB，即PBsinα=d2sin∠PCB=d1sin∠PAB，又因為sin∠PAB>sin∠PCB，所以d1<d2.10.若△ABC的三邊分別是a，b，c，它的面積為a2+b° ° ° °【解析】選A.由題意知12ab·sinC=a所以3sinC=a2所以tanC=3311.(2023·福州高二檢測)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c-bc-a=sinAA.π6 B.π4 C.π3【解題指南】利用正弦定理將c-bc-a=【解析】選C.根據(jù)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R，得c-bc-a=sinAsinC+sinB=ac+b，即a2+c2-b12.(2023·廈門高二檢測)在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C，()A.0,π2 C.π6,π3【解析】選D.由題意得sin2A<sin2B+sin2再由正弦定理得a2<b2+c2，即b2+c2-a2>0.則cosA=b2因為0<A<π，所以0<A<π2又a為最大邊，所以A>π3因此得角A的取值范圍是π3二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.在△ABC中，a=3，b=6，A=2π3，則B=【解析】由正弦定理得3sin2π3所以sinB=22因為B∈0,所以B=π4答案：π14.(2023·臨沂高二檢測)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若cosB=45，a=10，△ABC的面積為42，則b+asinA的值等于【解析】依題意可得sinB=35又因為S△ABC=12所以c=14.故b=a2+c所以b+asinA=b+bsinB=16答案：16215.已知△ABC的周長為2+1，且sinA+sinB=2sinC.若△ABC的面積為16sinC，則角C的度數(shù)為__________【解析】由sinA+sinB=2sinC，得a+b=2c.又因為a+b+c=2+1，所以c=1，a+b=2.又因為S△ABC=12absinC=1所以ab=13所以cosC=a2+b2-所以C=60°.答案：60°16.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于__________m.【解析】設(shè)AD垂直BC，垂足為D.由題意得：CD=603，BD=60tan15°=60(2-3)，所以BC=CD-BD=1203-120(m).答案：1203-120三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2023·全國卷Ⅰ)已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b，求cosB.(2)若B=90°，且a=2，求△ABC的面積.【解析】(1)因為sin2B=2sinAsinC，由正弦定理得b2=2ac，因為a=b，所以a=2c.由余弦定理得cosB=a2+c2-b2(2)因為B=90°，所以a2+c2=b2，又因為b2=2ac，所以a2+c2=2ac，所以a=c=2，所以S△ABC=12×2×218.(12分)在△ABC中，若tanAtanB=a【解析】方法一：由正弦定理得：sinAcosBsinBcosA=sin

2Asin所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A=180°-2B，即：A=B或A+B=90°，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.方法二：sinAcosBcosAsinB=a2b2化簡：b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2)，所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，所以a=b或a2+b2=c2，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.19.(12分)(2023·錦州高二檢測)風(fēng)景秀美的鳳凰湖畔有四棵高大的銀杏樹，記作A，B，P，Q，湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近.欲測量P，Q兩棵樹和A，P兩棵樹之間的距離，現(xiàn)可測得A，B兩點間的距離為100m，∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°，如圖所示.則P，Q兩棵樹和A，P兩棵樹之間的距離各為多少？【解析】在△PAB中，∠APB=180°-(75°+60°)=45°，由正弦定理得APsin60°=100sin45°?在△QAB中，∠ABQ=90°，所以AQ=1002.∠PAQ=75°-45°=30°，由余弦定理得PQ2=(506)2+(1002)2-2×506×1002cos30°=5000，所以PQ=5000=502因此，P，Q兩棵樹之間的距離為502m，A，P兩棵樹之間的距離為20.(12分)(2023·三明高一檢測)已知在△ABC中，C=2A，cosA=34，且2BA→(1)求cosB的值.(2)求AC的長度.【解析】(1)因為C=2A，所以cosC=cos2A=2cos2A-1=1所以sinC=378，sinA=所以cosB=-cos(A+C)=sinA·sinC-cosA·cosC=916(2)因為ABsinC=BC因為2BA→·CB所以|BA→||所以BC=4，AB=6，所以AC=B=16+36-2×4×6×【補償訓(xùn)練】在△ABC中，AB→·AC→=83(1)求sin2B+C2+cos2A(2)若b=2，S△ABC=3，求a的值.【解析】(1)因為AB→·AC→=所以|AB→|·|=83×12|AB所以cosA=43所以cosA=45，sinA=3所以sin2B+C2=1-cos(B+C)2+2cos=1+cosA2+2cos2A(2)因為sinA=35，由S△ABC=1得3=12×2c×35，所以a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5×45所以a=13.21.(12分)(2023·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=π4，b2-a2=12c(1)求tanC的值.(2)若△ABC的面積為3，求b的值.【解題指南】(1)根據(jù)正弦定理可將條件中的邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，再將式子作三角恒等變換即可求解.(2)根據(jù)條件首先求得sinB的值，再結(jié)合正弦定理以及三角形面積的計算公式即可求解.【解析】(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-sin2A=12即sin2B-12=12sin所以-cos2B=sin2C又因為A=π4，所以B+C=3π4，2B=所以-cos2B=sin2C=2sinCcosC，即2sinCcosC=sin2C，所以(2)由tanC=2，C∈(0，π)，得sinC=255，cosC=又因為sinB=sin(A+C)=sinπ=sinπ4cosC+cosπ=310由正弦定理得c=22因為A=π4，1所以bc=62，所以b=3.22.(12分)(2023·鄭州高二檢測)已知向量m=3sinx4,1，n=cosx4,co(1)若f(x)=1，求cos2π3(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足acosC+12c=b，【解析】由題意得，f(x)=3sinx4cosx4+cos=32sinx2+12cos=sinx2+π(1)由