小學六級數教案21枚舉本教程共講枚舉法我們在課堂上遇到的數學問題般都可以列出算式求出結果。但在數學競賽或生活中卻經常會遇到一些有趣的題目于找不到計算它們的算式似乎無從下手但是如果題目所述的情況或滿足題目要求的對象能夠被一一列舉出來或能被分類列舉出來那么問題就可以通過枚舉法獲得解決所謂舉法，是根據目要求將符合要求結果不復、不漏地一一列出來，而解決問題方法。例1小明和小紅玩擲骰子的游戲，共有兩枚骰子，一起擲出。若兩枚骰子的點數和為7，則小明勝；若點數和為8，則小紅勝。試判斷他們兩人誰獲勝的可能性大。分析與將兩枚骰子的點數和分別78的各種情況都列舉出來，就可得到問題的結論。用a＋b表示第一枚骰子的點數為a，第二枚骰子的點數是b的情況。出現7的情況共有6種，它們是：1＋6，2，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。出現8的情況共有5種，它們是：2＋6，3，4＋4，5＋3，6＋2。所以，小明獲勝的可能性大。注意，本題中若認為出現7的情況有1＋6，2＋5，3＋4三種，出現8的情況有2，3＋5，4＋4也是三種，從而得“兩人獲勝的可能性一樣大”，那就錯了。例2數一數，右圖中有多少個三角形。分析與：圖中的三角形形狀、大小都不相同，置也很凌亂，不好數清楚為了避免數數過程中的遺漏或重復我們將圖形的各部分編上號/8（見右圖），然后按照圖形的組成規律，把三角形分成單個的、由兩部分組成的、由3部分組成的……再一類一類地列舉出來。單個的三角形有6個：1，2，3，5，6，8。由兩部分組成的三角形有4個：（1，2），，6），（4，6），（5，7）。由三部分組成的三角形有1個：（5，7，8）。由四部分組成的三角形有2個：（1，3，5），（2，6，7，8）。由八部分組成的三角形有1個：（1，2，4，5，6，7，8）。總共有6＋4＋1＋2＋1=14（個）。對于這類圖形的計數問題，分類型數是常用的方法。例3在算盤上，用兩顆珠子可以表示多少個不同的四位數？分析與：珠一個表示5，下珠一個表示1。分三類枚舉：兩顆珠都是上珠時，可表示，5050，5500三個數；兩顆珠都是下珠時，可表示，1010，1100，2000四個數；一顆上珠一顆下珠時可表示5010510010051050，1500，6000七個數。一共可以表示3＋4＋7=14（個）四位數。由例1看出，當可能的結果較少時，可以直接枚舉，即將所有結果一一列舉出來當可能的結果較多時就需要分類枚舉分類枚舉是我們需重點學習掌握的內容分類一定要包括所有可能的結果這樣才能不遺漏，并且類與類之間不重疊，這樣才能不重復。/8例4有一只無蓋立方體紙箱，將它沿棱剪開成平面展開圖。那么，共有多少種不同的展開圖？分析與：我們將展開圖按最長一行有多少個正方（紙箱的面來分類，可以分為三類：最長一行有4個正方形的有2種，見圖（1）（2）；最長一行有3個正方形的有5種，見圖（3）～（7）；最長一行有2個正方形的有1種，見圖（8）。不同的展開圖共有2＋5＋1＝8（種）。例5小明的暑假作業有語文、算術、外語三門，他準備每天做一門，且相鄰兩天不做同一門如果小明第一天做語文五天也做語文那么，這五天作業他共有多少種不同的安排？分析與：本題是分步進行一項工作每步有若干種選擇求不同安排的種（有一步差異即為不同的安排這類問題簡單一些的可用乘法原理與加法原理來計算本題中由于限定條件較多難列出算式計算。但是我們可以根據實際的安排對每一步可能的選擇畫出一個樹枝狀的圖，非常直觀地得到結果。這樣的圖不妨稱為“枚舉樹”。由上圖可知，共有6種不同的安排。/8例6一次數學課堂練習有3道題，老師先寫出一個，然后每隔5分鐘又寫出一個。規定：）每個學生在老師寫出一個新題時，如果原有題還沒有做完，那么必須立即停下來轉做新題；）做完一道題時，如果老師沒有寫出新題那么就轉做前面相鄰未解出的題解完各題的不同順序共有多少種可能？分析與與例5類似是分步完成一項工作步有若干種可能，因此可以通過畫枚舉樹的方法來求解。但必須考慮到所有可能的情形。由上圖可知，共有5種不同的順序。說明：必須正確理解圖示順序的實際過程。如左上圖的下一個過程，表示在第一個5分鐘內做完了第1題，在第二個5分鐘內沒做完第2題，這時老師寫出第3題，只好轉做第3題，做完后再轉做第2題。例7是否存在自然數n，使得n2＋n＋2能被3整除？分析與：枚舉法通常是對有限種情況進行枚舉是本題討論的對象是所有自然數自然數有無限多個那么能否用枚舉法呢？我們將自然數按照除以3的余數分類有整除余1和余2三類這樣只要按類一一枚舉就可以了。當n能被3整除時，因為n2，n都能被3整除，所以（n2＋n）÷3余2；當n除以3余1時，因為n2，n除以3都余1，所以（n

2

＋n）÷3余1；當n除以3余2時，因為n

2

÷3余1，n÷3余2，所以（n

2

＋n）÷3余2。因為所有的自然數都在這三類之中，所以對所有的自然n（n

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＋n＋2）都不能被3整除。練習1.10種。/8解：6=1＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9種。解一天吃完有1（10兩天吃完有種（4，（5，5），，4），（7，3）；三天吃完有3種：（3，3），（3，4，3），（4，3）。共1+5+3=9（種）。3.8種。解如下圖所示只有個小矩形豎放的有3種有3個小矩形豎放的有4種，5個小矩形都豎放的有1種。共3＋4＋1=8（種）。4.6個。解15個球分成數量不同的四堆的所有分法有下面種，3，9），（1，2，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），，3，5，6），（2，3，6）。可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有個球。5.10個。提示：由一塊、兩塊、三塊、四塊組成的三角形依次有，3，2，1個，共有4＋2＋1＝10（個）。6.6種。提示：將各盤獲勝者寫出來，可畫出枚舉樹如下：/87.14種。提示：按四封信的完成順序可畫出枚舉樹如下：練習將6拆成兩個或兩個以上的自然數之和，共有多少種不同拆法？小明有塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那么共有多少種不同的吃法？用五個的小矩形紙片覆蓋右圖的2×5的大矩形有多少種不同蓋法？4.15個球分成數量不同的四堆，數量最多的一堆至少有多少個球？5.數數右圖中共有多少個三角形？甲、乙比賽乒乓球，五局三勝。已知甲勝了第一盤，并最終獲勝。問：各盤的勝負情況有多少種可能？經理有4封信先后交給打字員，要求打字員總是先打最近接到的信，比如打完第3封信時第4封信還未到，此時如果第2封信還未打完，/8那么就應先打第2封信而不能打第1封信字員打完這4封信的先后順序有多少種可能？答案與提示

練習211.10種。解：6=1＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9種。解一天吃完有1（10兩天吃完有種（4，（5，5），，4），（7，3）；三天吃完有3種：（3，3），（3，4，3），（4，3）。共1+5+3=9（種）。3.8種。解如下圖所示只有個小矩形豎放的有3種有3個小矩形豎放的有4種，5個小矩形都豎放的有1種。共3＋4＋1=8（種）。4.6個。解15個球分成數量不同的四堆的所有分法有下面種，3，9），（1，2，8，）（1，2，5，