常微分方程課件奇解和包絡第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日一、包絡和奇解1包絡的定義定義1：對于給定的一個單參數曲線族：

曲線族(1)的包絡是指這樣的曲線,它本身不包含在曲線(1)中,但過這曲線的每一點有(1)中的一條曲線和它在這點相切.第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日對于給定的一個單參數曲線族：

其中為參數.若存在一條曲線滿足下列條件:(1)(2)對任意的

存在唯一的使得且與在有相同的切線.則稱為曲線族的一條包絡線,簡稱為包絡.或定義：第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日例如單參數曲線族：（其中R是常數，c是參數）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一族圓.如圖R從圖形可見,此曲線族的包絡顯然為:第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日注:并不是每個曲線族都有包絡.例如:單參數曲線族:(其中c為參數)表示一族同心圓.

如圖從圖形可見,此曲線族沒有包絡.第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日問題:對于給定的單參數曲線族:

如何判斷它是否有包絡?如果有包絡,如何求?根據定義,假設該單參數曲線族有包絡則對任意的存在唯一的使得于是得到對應關系:第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日從而得到二元函數使得若可用參數形式表示為:記則于是,第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日上任取一個固定點M,則M在某一條曲線上.由于與在M點有相同的切線,而與在M點的切線的斜率分別為與所以,有從而由于在上不同的點也在不同的上,即因此現在第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日因此,包絡線任意一點M不僅要滿足而且還要滿足把聯立方程組:中消去參數c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線稱為曲線族的c-判別曲線第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日2包絡的求法曲線族(1)的包絡包含在下列兩方程注:第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日解:記則即例1:的包絡.求曲線族第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日因此c-判別曲線包括兩條曲線(2)和(3),第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日xyO第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2:求直線族:的包絡.這里是參數,是常數.解:記則消去參數得的c-判別曲線:經驗證是曲線族的包絡.如圖:第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日Oxy第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日3奇解定義2:微分方程的某一解稱為奇解,如果在這個解的每一點還有方程的另外一個解存在.注:一階微分方程的通解的包絡一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包絡.例如:第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日4奇解的求法方程的奇解包含在由方程組注:第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日例3:求微分方程的奇解.解:從消去p(實際上p=0),得到p-判別曲線即由于方程的通解為:第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日三、克萊羅（Clairaut）方程1定義3:形如的方程，稱為克萊羅(Clairaut)方程.第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日為求它的解,令得經化簡,得2克萊羅(Clairaut)方程的求解這是y已解出的一階微分方程.第二十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日如果則得到于是,Clairaut方程的通解為:如果