第五章力學量隨時間的演化與對稱性5.1対易力學量完全集一、力學量完全集合1、定義：為完全確定狀態所需要的一組相互對易的力學量算符的最小（數目）集合稱為力學量完全集。設有一組彼此對易，且函數獨立的厄米算符?(?1,?2,...)，它們的共同本征函數記為k（假定?的本征值是分立的），k是一組量子數的籠統記號。設給定k之后就能夠確定體系的一個可能狀態，則稱(?1,?2,...)構成體系的一組力學量完全集。按照態疊加原理，體系的任何一個狀態均可以用k

來展開，即=∑ak

k若k是歸一化的，則（，）=∑|ak|2=1，式中|ak|2代表在態下測量A的概率。對于?連續譜的情況，本征值為λ連續取值，本征函數為(λ),則=∫cλ(λ)dλ例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態需要三個兩兩對易的力學量：任何一個函數都可以按動量的本征函數展開：例2：一維諧振子，只需要一個力學量就可完全確定其狀態：2、力學量完全集中力學量的個數并不一定等于自由度的數目。一般說來，力學量完全集中力學量的個數大于或等于體系的自由度數目。3、體系的任何態總可以用包含?在內的一組力學量完全集的共同本征態來展開。5.2力學量隨時間的變化5.2.1守恒量1.力學量的平均值隨時間的變化關系力學量A在(r,t)中的平均值為:因為是時間的函數?也可能顯含時間，所以ā通常是時間t的函數。為了求出ā隨時間的變化，上式兩邊對t求導

(5-4)

(5-3)由薛定諤方程，

(5-5)

(5-6)這就是力學量平均值隨時間變化的公式。若?不顯含t，即，則有如果?既不顯含時間，又與?對易（[?,?]=0），則由上式有

即這種力學量在任何態之下的平均值都不隨時間改變。可以證明：在任意態下A的概率分布也不隨時間改變。概括起來講，對于Hamilton量?不含時的量子體系，如果力學量A與?對易，則無論體系處于什么狀態（定態或非定態），A的平均值及其測量的概率分布均不隨時間改變。所以把A稱為量子體系的一個守恒量。即A的平均值不隨時間改變，我們稱力學量A為運動恒量或守恒量。守恒量有兩個特點：(1).在任何態(t)之下的平均值都不隨時間改變；(2).在任意態(t)下A的概率分布不隨時間改變。舉例1、自由粒子動量守恒，自由粒子的哈密頓算符，所以自由粒子的動量是守恒量。2、粒子在中心力場中運動：角動量守恒皆不顯含時間，，又，所以粒子在中心力場中運動時，角動量平方和角動量分量都是守恒量。

，，3、哈密頓不顯含時間的體系能量守恒5.2.2量子力學中的守恒量與經典力學中守恒量的區別1.守恒量不一定取確定值。與經典力學守恒量不同，量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態并不一定就是某個守恒量的本征態。一個體系在某時刻t是否處于某守恒量的本征態，要根據初條件決定。若在初始時刻(t=0)，守恒量A具有確定值，則以后任何時刻它都具有確定值，即體系將保持在?的同一個本征態。由于守恒量具有此特點，它的量子數稱為好量子數。但是，若初始時刻A并不具有確定值（這與經典力學不同），即(0)并非?的本征態，則以后的狀態也不是?的本征態，即A也不會具有確定值，但幾率分布仍不隨時間改變，其平均值也不隨時間改變。2.量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。例如中心力場中的粒子，l的三個分量都守性，但由于不對易，一般說來它們并不能同時取確定值（角動量l=0的態除外）3.守恒量與定態的異同1）概念不一樣。定態是能量取確定值的狀態；守恒量是特殊的力學量，要滿足一定的條件。2）性質不一樣。在定態下，一切不含時間的力學量，不管是不是守恒量，其平均值，測量值概率分布都不隨時間改變。守恒量對一切狀態，不管是否定態，其平均值，測量值概率分布都不隨時間改變。5.2.3能級簡并與守恒量的關系——守恒量在能量本征值問題中的應用1.定理：如果體系有兩個彼此不對易的守恒量F和G，即，則體系的能級一般是簡并的。證明：因為，和可有共同的本征態ψ，所以

(5-15)又因為所以有

(5-16)即也是的屬于同一本征值E的本征態。但由于,ψ與一般不是同一本征態。因為

(5-17)即不是的本征態，但ψ是的本征態，故ψ與是不同的量子態。但它們是的同一能級的態，故能級簡并。還可以證明：此時至少有些能級是簡并的。證明（用反證法）：設所以同理，由于故也是的屬于同一本征值En的本征態，即設體系的能級En不簡并，則、與為同一量子態，即式中Fn,Gn為常數。于是有即也是的屬于同一本征值En的本征態，設ψ為體系的任意量子態，按態疊加原理得又設所有能級都不簡并，則由于設ψ任意量子態，則，即対易，與題設矛盾。所以不可能所有能級都簡并，即至少有些能級是簡并的。2.推論：若體系有一個守恒量，而體系的某個能級不簡并（即相應的能級E只有一個本征態ψE），則ψE必為的本征態，即非簡并本征態必為某一個守恒量的本征態。證明：因為為體系有一個守恒量，則可見，均為的屬于同一本征值E的本征態。但能級E并不簡并，所以，即ψE必為的本征態。3.宇稱：.宇稱算符（空間反演算符）：作用在一個函數上，使的運算符號。即容易證明：,所以能量的本征態必為的本征態。設，做空間反演所以的本征值為，P=1時，稱為偶宇稱；P=-1時，稱為奇宇稱。5.3守恒量與對稱性的關系物理學中存在兩類不同性質的對稱性，一類是某個系統或某件具體事物的對稱性，常見的有轉動對稱、鏡像對稱、時間對稱、控件對稱、點對稱、軸對稱等；另一類是物理規律的對稱性。物體的運動規律對于時間平移、空間平移具有不變性。物理學家認為，某規律在某種變換之后，若仍能保持不變，就稱為具有對稱性，而這種變換稱為一種對稱變換。5.3.1對稱性與守恒量設體系的狀態用ψ描述，則薛定諤方程為

（5-30）作某種線性變換,其中不依賴于時間，存在逆變換，如果，即系統的哈密頓量在變換下保持不變，那么有

（5-31）由概率守恒條件，即

（5-31）得即為幺正算符。對于連續變換，考慮無窮小變換，令，則（5-33）即要求,則是厄米算符，一般稱為變換的無窮小生成元。它可以用來定義一個與變換相聯系的可觀測量。由于，得，即，觀測量就是體系的一個守恒量。5.3.2時空對稱性及其應用1.時間平移對稱和能量守恒定律當所研究的體系的哈密頓量與時間無關時，在無窮小時間平移變換下，根據體系的狀態波函數，在時間平移變換下的變化規律。可以導出時間平移算符。由

（5-34）式中（5-35）利用泰勒級數展開，得

（5-36）這里的，由于，則是體系的一個守恒量。實際上在時間平移變換下，體系的能量守恒。上面討論了體系作無窮小的時間平移變換，對于有限的小的時間平陰變換，即

（5-37）2.空間平移對稱性和動量守恒定律自由運動的哈密頓量為

（5-38）顯然做空間平移變換時，哈密頓量不會改變，考慮坐標系沿x方向作無窮小平移變換，即

（5-39）從狀態波函數在空間平移變換下的變化規律，可導出空間平移算符。

（5-40）空間平移算符為（5-41）這里，由于，是體系的一個守恒量。實際上在空間平移變換下，體系的動量守恒。

對有限大小的空間平移可以認為通過連續作無限多次無窮小平移而得到，即

（5-42）如果體系沿空間任意方向作平移，其空間平移算符為

（5-43）對于自由粒子，其哈密頓量其哈密頓量沿空間任意方向作平移均保持不變，所以空間平移不變性導致動量守恒。3.空間轉動對稱性和角動量守恒定律無論是自由粒子，還是在中心力場中的哈密頓量在空間轉動變換下都保持不變。考慮繞z軸轉動dθ,轉動后的坐標為因為dθ→0，所以從在空間轉動變換下的變化規律，可導出空間轉動算符（5-44）空間轉動算符為（5-45）這里，由于，是體系的一個守恒量。實際上在空間平移變換下，體系的角動量守恒。對有限大小的空間轉動可以認為通過連續作無限多次無窮小轉動而得到，即

（5-46）繞任意軸轉θ角的轉動算符為

（5-47）5.4全同性原理1.全同粒子1)定義：在量子力學中，人們把固有性質如電何、質量、磁矩、自旋等內稟屬性完全相同的粒子，稱為全同粒子。2)全同粒子特點：全同粒子在本質上是不可區分的。3）全同性原理在全同粒子體系中，兩全同粒子相互代換，不引起體系狀態的改變。a.全同粒子體系的哈密頓算符具有交換不變性。由N個全同粒子組成的體系，第i個粒子的坐標和自旋用表示，體系的哈密頓算符為將i和j對換，體系的哈密頓算符保持不變。即體系的薛定諤方程為：

（5-49）（5-48）

b.交換算符Pij。交換算符Pij表示第i個粒子和第j個粒子相互代換的運算。即（5-50）式中ψ是任意波函數，哈密頓量具有交換不變性。得（5-51）Pij與H対易，Pij不顯含時間，Pij是守恒量，并且與H有共同的本征函數，交換后的波函數，與交換前的波函數只能相差一個常數，因此

（5-52）

（5-53）

因此，可見，全同粒子波函數滿足下列條件之一c全同粒子體系波函數的對稱性不隨時間變化。結論：描寫全同粒子體系狀態的波函數只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱（或反對稱）態上，則它將永遠處于對稱（或反對稱）態上。——波函數的特性。2.全同粒子的分類全同粒子的分為：Fermi（費密子）子和Bose（玻色）子（1）Bose子凡自旋為?整數倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函數對于交換兩個粒子總是對稱的，遵從Bose統計，故稱為Bose子。如光子（自旋為1），處于基態的氦原子（自旋為零），

粒子（自旋為0）；由玻色子組成的全同粒子體系的波函數是對稱的。如：g光子（s=1）；介子（s=0）。（2）Fermi子凡自旋為?半奇數倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函數對于交換兩個粒子總是反對稱的，遵從費米-狄拉克統計，故稱為Fermi子。如電子、質子、中子~；由費密子組成的全同粒子體系的波函數是反對稱的。例如：電子、質子、中子（s=1/2）等粒子。5.4.2全同粒子組成的體系波函數的構造1.兩個全同粒子組成的體系兩個全同粒子體系對稱和反對稱波函數的構成(1)、兩個全同粒子（忽略它們的相互作用）Hamilton量表示為

(5-55)

h(q)表示單粒子的Hamilton量。h(q1)與h(q2)形式上完全相同，只不過q1q2互換而已。顯然

(2)、單粒子波函數

h(q)的本征方程為

（5-56）k為單粒子能量，k(q)

為相應的歸一化單粒子波函數，k代表一組完備的量子數。(3)、交換簡并設兩個粒子中有一個處于k1態，另一個處于k2態，則k1(q1)k2(q2)與k1(q2)k2(q1)對應的能量都是k1+k2。這種與交換相聯系的簡并，稱為交換簡并。但這兩個波函數還不一定具有交換對稱性。(4)、滿足對稱條件波函數的構成對于Bose子，要求波函數對于交換是對稱的。這里要分兩種情況：(a)，歸一化的對稱波函數可如下構成：

(5-57)(b)，歸一化波函數為：

(5-58)是歸一化因子。(5)、對于Fermi子，要求波函數對于交換是反對稱的。歸一化的波函數可如下構成：

(5-59)由上式可以看出，若，則，即這樣的狀態是不存在的。這就是著名的Pauli不相容原理。*注：兩個函數的和差可以構成對稱或反對稱波函數。討論：(1)、若兩個Fermior所處狀態相同，則，即這樣的狀態是不存在的。說明兩個全同費米子不能處于同一狀態，這就是著名的Pauli不相容原理在兩個費米子組成的體系中的表述，可以證明這一原理對于由多個全同費米子組成的體系也是成立的。它可以表述為：不允許有兩個全同的Fermi子處于同一個單粒子態。在全同費米子組成的體系內，不可能有兩個或兩個以上的粒子處于同一狀態。(2)、k1(q1)k2(q2)與k1(q2)k2(q1)本來是屬于二重簡并能級k1+k2的兩個態，但是，由于波函數的對稱性的要求限制了只能用或，因而消除了簡并；*注：由于對稱性的要求，消除了交換簡并。2.N個全同粒子組成的體系N個全同粒子組成的體系，粒子間的相互作用忽略，體系的哈密頓算符為

(5-60)單個粒子的薛定諤方程為

(5-61)………體系的薛定諤方程為(5-62)體系的能級和波函數為(5-63)