第一篇理論力學第7章達朗貝爾原理

第7章達朗貝爾原理

上一章以牛頓定律為基礎研究了質點和質點系的動力學問題，給出了求解質點和質點系動力學問題的普遍定理。這一章我們需要學習求解非自由質點系動力學問題的新方法——達朗貝爾原理，它是用靜力學平衡的觀點解決動力學問題，又稱為動靜法。特別是在已知的運動求約束力方面顯得尤為方便，因此在工程中得到廣泛的應用。

7.1達朗貝爾原理

7.1.1慣性力·質點的達朗貝爾原理

設非自由質點的質量為m，加速度為a，作用在質點上的主動力為F，約束力為，如圖7.1所示。根據牛頓第二定律，有將上式移項寫為

(7-1)引入記號

(7-2)式(7-1)成為

(7-3)其中，具有力的量綱，稱為質點的慣性力，它是一個虛擬力，它的大小等于質點的質量與加速度的乘積，方向與質點的加速度方向相反。

式(7-3)是一個匯交力系的平衡方程，它表示：作用在質點上的主動力、約束力和虛擬的慣性力在形式上構成平衡力系，稱為質點的達朗貝爾原理。此原理是法國科學家達朗貝爾于1743年提出的。利用達朗貝爾原理在質點上虛擬添加慣性力，將動力學問題轉化成靜力學平衡問題進行求解的方法稱為動靜法。應當指出：(1) 達朗貝爾原理并沒有改變動力學問題的性質。因為質點實際上并不是受到力的作用而真正處于平衡狀態，而是假想地加在質點上的慣性力與作用在質點上的主動力、約束力在形式上構成平衡力系。(2) 慣性力是一種虛擬力，但它是使質點改變運動狀態的施力物體的反作用力。例如，系在繩子一端質量為m的小球，速度為v，用手拉住小球在水平面內作勻速圓周運動，如圖7.2所示。小球受到繩子的拉力F，使小球改變運動狀態產生法向加速度，即 。小球對繩子的反作用力 ，這是由于小球具有慣性，力圖保持其原有的運動狀態，而對繩子施加的反作用力。

圖7.1質點的達朗貝爾原理圖7.2小球在水平面內做圓周運動(3) 質點的加速度不僅可以由一個力引起，而且還可以由同時作用在質點上的幾個力共同引起的。因此慣性力可以是對多個施力物體的反作用力。例如圓錐擺，如圖7.3所示，小球在擺線拉力和重力作用下作勻速圓周運動，有此時的慣性力為式中和分別為擺線和地球所受到小球的

反作用力。由于它們不作用在同一物體上，當

然沒有合力，但它們構成了小球的慣性力系。

圖7.3圓錐擺【例7.1】有一圓錐擺，如圖7.4所示，重為的小球系于長為的繩上，繩的另一端系在固定點O，并與鉛直線成

角。已知小球在水平面內作勻速圓周運動，試求小球的速度和繩子的拉力。解：以小球為研究對象，受有重力P，繩子的拉力以及在小球上

虛擬的慣性力，如圖7.4所示。由于小球在水

平面內作勻速圓周運動，其慣性力只有法向慣

性力，即方向與法向加速度相反。

圖7.4由質點的達朗貝爾原理得將上式向自然軸上投影，得下面的平衡方程

解得

7.1.2質點系的達朗貝爾原理設質點系由n個質點組成，其中第i個質點的質量為，加速度為，作用于該質點的主動力

、約束力、慣性力

，由質點的達朗貝爾原理第i個質點有 (7-4)式(7-4)表明：質點系中的每一個質點受到主動力、約束力、慣性力作用下在形式上處于平衡。若將作用在質點系上的力按外力和內力分，設第i個質點上的外力為、內力為，式(7-4)為

(7-5)式(7-5)表明：質點系中的每一個質點在外力、內力、慣性力

，作用下在形式上處于平衡。對于整個質點系而言，外力、內力、慣性力 在形式上構成空間平衡力系，由靜力學平衡理論知，空間任意力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢和對任一點的主矩均為零。即

(7-6)由于內力是成對出現的，內力的主矢 ，內力的主矩 。則式(7-6)為

(7-7)即質點系的達朗貝爾原理：作用在質點系上的所有外力與虛加在質點上的慣性力在形式上構成平衡力系。式(7-7)在直角坐標軸上的投影形式：(1) 空間力系：

(7-8)(2) 平面力系：

(7-9)

7.2剛體慣性力系的簡化

在應用動靜法解決非自由質點系的動力學問題時，往往需要在每個質點上虛加慣性力，當質點較多，特別是剛體時，非常不方便。因此需要對虛加慣性力系進行簡化，以便求解。下面對剛體作平移、繞定軸轉動和剛體作平面運動時的慣性力系進化簡化。

7.2.1平移剛體慣性力系的簡化

當剛體作平移時，由于同一瞬時剛體上各點的加速度相等，則各點的加速度都用質心C的加速度表示，即

，如圖7.5所示。將慣性力加在每個質點上，組成平行的慣性力系，且均與質心C的加速度方向相反，慣性力系向任一點O簡化，得慣性力系主矢為

(7-10)圖7.5剛體作平移運動慣性力系的主矩為

(7-11)式中為質心C到簡化中心O點的矢徑。若取質心C為簡化中心

，則慣性力系的主矩為

(7-12)當簡化中心不在質心C處，其主矩 。結論：剛體作平移時，慣性力系簡化為通過質心的一個合力，其大小等于剛體的質量和加速度的乘積，方向與加速度方向相反。

7.2.2定軸轉動剛體的慣性力系簡化

這里只限于剛體具有質量對稱平面且轉軸垂直與此對稱平面的特殊情形。當剛體作定軸轉動時，先將剛體上的慣性力簡化在質量對稱平面上，構成平面力系，再將平面力系向轉軸與對稱平面的交點O簡化。軸心O為簡化中心，如圖7.6所示，慣性力系的主矢為

(7-13)慣性力系的主矩為

(7-14)其中，為剛體對垂直于質量對稱平面轉軸的轉動慣量。

圖7.6定軸轉動剛體圖7.7平面運動剛體結論：具有質量對稱平面且轉軸垂直于此對稱平面的定軸轉動剛體的慣性力系，向轉軸簡化為一個力和一個力偶。此力的大小等于剛體的質量與質心加速度的乘積，方向與質心加速度方向相反，作用線通過轉軸；此力偶矩的大小等于剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積，轉向與角加速度轉向相反。當轉軸通過質心時，質心的加速度

，

，則慣性力系簡化為質心上的一個力矩。即

(7-15)

7.2.3平面運動剛體慣性力系的簡化

設剛體具有質量對稱平面，且剛體上的各點在與對稱平面保持平行的平面內運動。此時剛體上的慣性力簡化在此對稱平面內的平面力系。由平面運動的特點，取質心C為基點，如圖7.7所示，質心的加速度為

，繞質心C轉動的角速度為，角加速度為，慣性力系的主矢為：

(7-16)慣性力系的主矩為： (7-17)其中，為過質心且垂直于質量對稱平面的軸的轉動慣量。結論：具有質量對稱平面的剛體，在平行于此平面運動時，剛體的慣性力系簡化為在此平面內的一個力和一個力偶。此力大小等于剛體的質量與質心加速度的乘積，方向與質心加速度方向相反，作用線通過質心；此力偶矩的大小等于剛體對通過質心且垂直于質量對稱平面的軸的轉動慣量與角加速度的乘積，轉向與角加速度的轉向相反。【例7.2】均質圓柱體A的質量為m，在外緣上繞有一細繩，繩的一端B固定不動，如圖7.8(a)所示，圓柱體無初速度地自由下降，試求圓柱體質心的加速度和繩的拉力。圖7.8解：對圓柱體A進行受力分析，作用其上的力有：圓柱體的重力

，繩的拉力，作用在圓柱質心的虛擬慣性力和，即

(a)其方向如圖7.8(b)所示。列平衡方程為 (b) (c)式(a)代入式(b)和式(c)，并聯立求解，得圓柱體的角加速度和繩的拉力為圓柱體質心的加速度為【例7.3】如圖7.9(a)所示，均質圓盤的質量為，由水平繩拉著沿水平面作純滾動，繩的另一端跨過定滑輪B并系一重物A，重物的質量為。繩和定滑輪B的質量不計，試求重物下降的加速度，圓盤質心的加速度以及作用在圓盤上繩的拉力。解：以圓盤為研究對象，作用在圓盤上的力有重力，繩的拉力，法向約束力，摩擦力，虛擬慣性力和。虛擬慣性力和為其方向如圖7.9(b)所示，r為圓盤的半徑。

(a) (b)(c)圖7.9列平衡方程為 (a)再以重物A為研究對象，作用在重物A上的力有重力

，繩的拉力，虛擬慣性力。虛擬慣性力為其方向如圖7.9(c)所示。列平衡方程為

(b)式(a)和式(b)聯立，并注意

，解得重物下降的加速度為圓盤質心的加速度為作用在圓盤上繩的拉力為

7.3本章小結

1. 質點的慣性力其中，慣性力是一個虛擬力。2. 質點的達朗貝爾原理作用在質點上的主動力、約束力和虛擬的慣性力在形式上構成平衡力系。即3. 質點系的達朗貝爾原理作用在質點系上的所有外力與虛加在質點上的慣性力在形式上構成平衡力系。即平衡力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢和對任一點的主矩均為零。主矢：主矩：4. 質點系達朗貝爾原理的投影形式(1) 空間力系：

(2) 平面力系：5. 剛體慣性力系的簡化(1) 平移剛體慣性力系的簡化：其中，慣性力系簡化為通過質心的一個合力。(2) 定軸轉動剛體的慣性力系簡化：當轉軸通過質心時，定軸轉動剛體的慣性力系簡化為質心上的一個力矩。即(3) 平面運動剛體慣性力系的簡化：

，

7.4習題

7-1物體A重為，放在水平面上，與水平面的摩擦系數f，物體B重為，滑輪C的細繩連接物體A和物體B，如圖所示。滑輪C的質量和軸承的摩擦不計，試求當物體B下降時，物體A的加速度和細繩的拉力。7-2兩重物重為

和 ，連接如圖所示，并由電動機A拖動，如電動機的繩的拉力為3kN，滑輪的重量不計，試求重物P的加速度和繩FD的拉力。

習題7-1圖習題7-2圖7-3如圖所示的輪軸質心位于O處，對軸的轉動慣量為。在輪軸上系有兩個質量為和的物體，若此輪軸順時針轉動，試求輪軸的角加速度和軸承的動約束力。7-4如圖所示的質量為的物體A下落時，帶動質量為的均質圓盤B轉動，不計支架和繩子的重量以及軸處的摩擦，

，圓盤B的半徑為R。試求固定端的約束力。

習題7-3圖 習題7-4圖7-5 均質桿長為l，重為P，由鉸鏈A和繩索支持，如圖所示。若連接點B的繩索突然斷了，試求鉸支座A的約束力和點B的加速度。7-6 如圖所示的長方形均質板，邊長為

， ，質量為27kg，用兩個銷子A和B懸掛。若突然撤去銷子B，試求此瞬時均質板的角加速度和銷子A的約束力。

習題7-5圖 習題7-6