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與控制系統仿真第13章控制系統的根軌跡分析與校正主要內容13.1控制系統的根軌跡法分析13.1.1MATLAB根軌跡分析的相關函數13.1.2MATLAB根軌跡分析實例13.2控制系統的根軌跡法校正13.2.1根軌跡法超前校正及基于MATLAB的實例13.2.2根軌跡法滯后校正及基于MATLAB的實例主要內容（續）13.3MATLAB圖形化根軌跡法分析與設計13.3.1MATLAB圖形化根軌跡法分析與設計工具rltool13.3.2基于圖形化工具rltool的系統分析與設計實例本章小結根軌跡概念是指當開環系統某一參數從零變到無窮大時，閉環系統特征根(閉環極點)在復平面上移動的軌跡。通常情況下根軌跡是指增益K由零到正無窮大下的根的軌跡。

根軌跡方程閉環控制系統一般可用圖所示的結構圖來描述。

根軌跡方程（續）開環傳遞函數可表示為根軌跡方程（續）系統的閉環傳遞函數為根軌跡方程（續）系統的閉環特征方程為即（式8）根軌跡方程（續）在s平面上凡是滿足上式的點，都是根軌跡上的點。式8稱為根軌跡方程。式8可以用幅值條件和相角條件來表示。

幅值條件相角條件式中,分別代表所有開環零點、極點到根軌跡上某一點的向量相角之和。繪制根軌跡的基本法則

根軌跡繪制法則可用來求取根軌跡的起點和終點，根軌跡的分支數、對稱性和連續性，實軸上的根軌跡，根軌跡的分離點和會合點，根軌跡的漸近線，根軌跡的出射角和入射角，根軌跡與虛軸的交點等信息，見下表。表中以“*”標明的法則是繪制0根軌跡的法則（與繪制常規根軌跡的法則不同），其余法則不變。

繪制根軌跡的基本法則(續)繪制根軌跡的基本法則(續)繪制根軌跡的基本法則(續)繪制根軌跡的基本法則(續)繪制根軌跡的基本法則(續)13.1控制系統的根軌跡法分析13.1.1根軌跡及根軌跡法概述以繪制根軌跡的基本規則為基礎的圖解法是獲得系統根軌跡很實用的工程方法。通過根軌跡可以清楚地反映如下的信息：臨界穩定時的開環增益；閉環特征根進入復平面時的臨界增益；選定開環增益后，系統閉環特征根在根平面上的分布情況；參數變化時，系統閉環特征根在根平面上的變化趨勢等。13.1.2MATLAB根軌跡分析的

相關函數MATLAB中提供了rlocus()函數，可以直接用于系統的根軌跡繪制。還允許用戶交互式地選取根軌跡上的值。注：查閱并導讀幫助文檔

rlocus(G)rlocus(G1,G2,...)rlocus(G,k)[r,k]=rlocus(G)r=rlocus(G,k)繪制指定系統的根軌跡繪制指定系統的根軌跡。多個系統繪于同一圖上繪制指定系統的根軌跡。K為給定增益向量返回根軌跡參數。r為復根位置矩陣。r有length(k)列，每列對應增益的閉環根返回指定增益k的根軌跡參數。r為復根位置矩陣。r有length(k)列，每列對應增益的閉環根13.1.2MATLAB根軌跡分析的

相關函數[K,POLES]=rlocfind(G)[K,POLES]=rlocfind(G,P)交互式地選取根軌跡增益。產生一個十字光標，用此光標在根軌跡上單擊一極點，同時給出該增益所有對應極點值返回P所對應根軌跡增益K，及K所對應的全部極點值sgridsgrid(z,wn)在零極點圖或根軌跡圖上繪制等阻尼線和等自然振蕩角頻率線。阻尼線間隔0.1，范圍從0到1，自然振蕩角頻率間隔為1rad/s，范圍從0到10在零極點圖或根軌跡圖上繪制等阻尼線和等自然振蕩角頻率線。用戶指定阻尼系數值和自然振蕩角頻率值13.1.2MATLAB根軌跡分析的

相關函數13.1.3MATLAB根軌跡分析實例

注：演示例2已知單位反饋控制系統的開環傳遞函數，繪制系統的根軌跡，并據根軌跡判定系統的穩定性。13.1.3MATLAB根軌跡分析實例

13.1.3MATLAB根軌跡分析實例注：演示例3若單位反饋控制系統的開環傳遞函數為

繪制系統的根軌跡，確定當系統穩定時，參數的取值范圍。注：演示例4若單位反饋控制系統的開環傳遞函數為

繪制系統的根軌跡，并觀察當時的值。繪制時的系統單位階躍響應曲線。13.1.3MATLAB根軌跡分析實例注：演示例5系統方框圖如圖所示。繪制系統以k為參量的根軌跡。

13.1.3MATLAB根軌跡分析實例例5求解例5求解繪制系統等效根軌跡。仍然可以利用MATLAB繪制其根軌跡。

13.2控制系統的根軌跡法校正13.2控制系統的根軌跡法校正如果性能指標以單位階躍響應的峰值時間、調整時間、超調量、阻尼系統、穩態誤差等時域特征量給出時，一般采用根軌跡法校正。根軌跡法校正的基本思路為借助根軌跡曲線進行校正。相位超前校正：如果系統的期望主導極點往往不在系統的根軌跡上。由根軌跡的理論，添加上開環零點或極點可以使根軌跡曲線形狀改變。若期望主導極點在原根軌跡的左側，則只要加上一對零、極點，使零點位置位于極點右側。如果適當選擇零、極點的位置，就能夠使系統根軌跡通過期望主導極點s1，并且使主導極點在s1點位置時的穩態增益滿足要求。13.2控制系統的根軌跡法校正相位滯后校正：系統的期望主導極點若在系統的根軌跡上，但是在該點的靜態特性不滿足要求，即對應的系統開環增益K太小。單純增大K值將會使系統阻尼比變小，甚至于使閉環特征根跑到復平面S的右半平面。為了使閉環主導極點在原位置不動，并滿足靜態指標要求，則可以添加上一對偶極子，其極點在其零點的右側。從而使系統原根軌跡形狀基本不變，而在期望主導極點處的穩態增益得到加大。13.2控制系統的根軌跡法校正13.2.1根軌跡法超前校正

及基于MATLAB的實例根軌跡超前校正的主要步驟據要求的系統性能指標，求出主導極點期望位置。觀察期望主導極點是否位于校正前的系統根軌跡。如果需要設計校正網絡，設計校正網絡。校正網絡零點的確定。可直接在期望的閉環極點位置下方（或在頭兩個實極點的左側）增加一個相位超前網絡的實零點。校正網絡零點的確定。可直接在期望的閉環極點位置下方（或在頭兩個實極點的左側）增加一個相位超前網絡的實零點。校正網絡極點的確定。確定校正網絡極點的位置，使期望的主導極點位于校正后的根軌跡上。利用校正網絡極點的相角，使得系統在期望主導極點上滿足根軌跡的相角條件。估計在期望的閉環主導極點處的總的系統開環增益。計算穩態誤差系數。如果穩態誤差系數不滿足要求，重復不述步驟。13.2.1根軌跡法超前校正

及基于MATLAB的實例13.2.1根軌跡法超前校正

及基于MATLAB的實例注：演示例10對系統進行補償，使系統單位階躍響應的超調量不超過40%，調整時間不超過4s（對于2%誤差范圍）。13.2.1根軌跡法超前校正

及基于MATLAB的實例13.2.2根軌跡法滯后校正

及基于MATLAB的實例滯后校正采用增加開環偶極子來增大系統增益。滯后校正網絡的傳遞函數為根軌跡滯后校正的基本步驟

確定系統的瞬態性能指標。在校正前的根軌跡上，確定滿足這些性能指標的主導極點的位置。計算在期望主導極點上的開環增益及系統的誤差系數。將校正前的系統的誤差系數和期望誤差系數進行比較。計算需由校正網絡偶極子提供的補償。確定偶極子的位置。需能提供補償，又基本不改變期望主導極點處的根軌跡。根軌跡法滯后校正實例注：演示例7設單位反饋系統有一個受控對象為設計滯后補償使系統滿足以下指標：

階躍響應調整時間小于5s超調量小于17%速度誤差系數為1013.3MATLAB圖形化根軌跡法分析與設計13.3.1MATLAB圖形化根軌跡法分析與設計工具rltool

MATLAB圖形化根軌跡法分析與設計工具rltool是對SISO系統進行分析設計的。既可以分析系統根軌跡，又能對系統進行設計。方便性在于設計零極點過程中，能夠不斷觀察系統的響應曲線，看其是否滿足控制性能要求，以此來達到提高系統控制性能的目的。rltool打開在MATLAB命令窗口輸入rltool命令即可打開圖形化根軌跡法分析與設計工具。也可以指定命令參數。rltool(Gk)指定開環傳遞函數rltool(Gk,Gc)指定校正環節和待校正傳遞函數rltool(Gk,Gc,LocationFlag,FeedbackSign)指定校正環節和待校正傳遞函數，并指定校正環節的位置和反饋類型LocationFlag='forward':位于前向通道LocationFlag='feedback':位于反饋通道FeedbackSign=-1:負反饋FeedbackSign=1:正反饋用戶可以通過ControlArchitecture窗口進行系統模型的修改可通過SystemData窗口為不同環節導入已有的模型可以通過CompensatorEditor的快捷菜單進行校正環節參數的修改，如增加或刪除零極點、增加超前或滯后校正環節等通過AnalysisPlots配置要顯示的不同圖形及其位置rltool基本操作13.3.2基于圖形化工具rltool

的系統分析與設計實例注：演示例12已知系統開環傳遞函數，用根軌跡設計器查看系統增加開環零點或開環極點后對系統的性能。本章小結根軌跡是指當開環系統某一參數從零變到無窮大時，閉環系統特征根（閉環極點）在復平面上移動的軌跡。通常情況下根軌跡是指增益K由零到正無窮大下的根的軌跡。根軌跡方程表達了開環傳遞函數和閉環特征方程式間的關系。根軌跡方程又可以用幅值條件和相角條件來表示。可以根據根軌跡進行系統的分析。本章小結（續）可以根據