2.3單一元件的正弦響應電阻元件的正弦響應電感元件的正弦響應電容元件的正弦響應電阻元件的正弦響應電壓電流關系功率關系電壓電流關系UmuiIm0t可見，電阻上的電壓和電流為同頻率的正弦量，二者同相。向量關系與向量圖將電路圖中電壓與電流用向量代替畫出向量圖分析多個正弦量之間的相位關系時，通常選一個正弦量作為參考正弦量，即令初相為零。歐姆定律的復數表達式功率關系瞬時功率平均功率（有功功率）瞬時功率

瞬時功率的幅值等于UI，并以2頻率發生變化且總有p

0。其波形如下圖所示：

在任意瞬時，電壓瞬時值u與電流瞬時值i的乘積，稱為瞬時功率，用字母p表示。對于電阻元件

由于電阻元件的瞬時功率在任意瞬間（除過零點外）均為正值，則R消耗功率，起著負載的作用。平均功率（即有功功率）

在一個周期內，瞬時功率的平均值，稱為平均功率,它表示電路實際消耗的功率，也稱有功功率，用Ｐ表示．0uip例：一只100電阻接入50Hz、有效值為10V的電源上，問電流是多少？若頻率改為5000Hz呢？

因電阻與頻率無關，所以，電流不會因為頻率的改變而改變。解電感元件的正弦響應電壓電流關系功率關系例題分析電壓電流關系瞬時值關系有效值關系——感抗的概念向量關系——復感抗與向量圖瞬時值關系iuLu、i為同頻率的正弦量，u在相位上超前i900有效值關系定義具有電阻的量綱感抗感抗的性質電流的阻礙能力為零―對直流相當于短路。電流的阻礙能力為無窮大―對高頻交流相當于開路。電感元件的感抗與頻率成正比。相量關系iuLL畫出相量圖：復感抗歐姆定律復數表達式電壓、電流相量關系：功率關系瞬時功率p有功功率P無功功率Q瞬時功率

知道了電壓u和電流i的變化規律及相互關系后，便可找出元件瞬時功率的變化規律

可見，p是以幅值為UI、角頻率為2變化的交變量。瞬時功率

當u

與

i

的瞬時值為同號時，p

0，電感元件取用功率(為負載)，磁能增加；當u

與

i

的瞬時值為異號時，p0，電感元件發出功率(相當于電源)，元件的磁能減少。有功功率P電感元件不消耗功率無功功率

由于電感元件在電路中沒有能量損耗，只與電源間進行能量交換，其能量交換的規模我們用無功功率Q表示:為了與有功功率有所區別,無功功率Q的單位為乏(Var)或千乏(kVar).規定無功功率為瞬時功率p的幅值UI，即例題分析

一電感交流電路，L=100mH，f=50Hz，已知：求電壓u;

求電流

i

。解并畫相量圖。

由題知，感抗為

XL=

L=2×50×0.1=31.4則由相量形式的歐姆定律知：L瞬時值(2)電流為相量圖為：

例3：指出下列各式哪些是對的，哪些是錯的?電容元件的正弦響應電壓電流關系功率關系例題分析電壓電流關系瞬時值關系有效值關系——容抗的概念向量關系——復容抗與向量圖瞬時值關系iuC電流與電壓為同頻率的正弦量，在相位上電流超前電壓90°其中：i20u有效值關系定義具有電阻的量綱容抗容抗的性質電流的阻礙能力為無窮大―對直流相當于開路電流的阻礙能力為零―對高頻交流相當于短路。電容元件的容抗與頻率成反比。向量關系iuCC畫出相量圖：復容抗歐姆定律的復數形式功率關系瞬時功率p有功功率P無功功率Q瞬時功率

由上式可見，p是一個幅值為UI，并以2的角頻率隨時間而變化的交變量，其變化波形如下圖所示。

P>0儲能；P<0放能有功功率電容元件不消耗功率無功功率

電容元件不消耗電能,只與電源之間進行能量交換,其能量交換的規模我們用無功功率Q表示:為與電感元件的無功功率進行比較，我們也設電流初相為0，即：由此可見，電容元件的無功功率即電容性無功功率是負值。例題分析

例1：把一個25μF的電容元件接到頻率為50Hz，電壓有效值為10V的正弦電源上，問電流是多少？如保持電壓值不變，而電源頻率改為5000Hz，這時電流將為多少？iuC解：當

f=50Hz時當

f=5000Hz時

可見，在電壓有效值一定時，頻率愈高，則通過電容元件的電流就愈大。例2：在圖示正弦交流電路中，已知表Ａ的讀數為Ｉ=5A，表Ａ１的讀數Ｉ1=4A，試求電路中表Ａ２的讀數Ｉ2=？因為兩條支路元件性質相同，所以，電流同相。因為兩條支路元件性質相同，所以，電流同相。元件電路符號ｕｉ關系

關系復數歐姆定律向量圖RLC小結（電壓電流關系）RiuiuCiuL小結（功率關系）元件電路符號UI關系有功功率P無功功率QRU=RIUI=RI2=U2/R0LU=XLI0UI=XLI2=U2/XLCU=XCI0-UI=-XCI2=-U2/XCRiuiuCiuL2.4R、L、C串聯電路

的正弦響應電壓電流關系阻抗與復阻抗功率與功率因數例題分析電壓電流關系iuuLLuRuCRC瞬時值關系由KVL得：電壓電流關系

同頻率的正弦量相加，得出的仍為同頻率的正弦量。

—KVL的相量表達式相量關系電壓電流關系通過相量圖計算由電壓相量組成一個直角三角形，稱為電壓三角形，利用這個電壓三角形，可求得電源電壓的有效值。與電流間的相位差電壓超前于電流電壓電流關系電壓三角形阻抗與復阻抗由定義：阻抗具有電阻的量綱，它對電流起著阻礙的作用阻抗阻抗與復阻抗阻抗三角形阻抗與復阻抗定義仍具有電阻的量綱。電抗歐姆定律的復數表達式與電路元件參數有關，其值決定了電路的性質。電抗電抗復數形式的歐姆定律討論

在RLC串聯電路中，當R0時，感抗XL與容抗XC的大小對電路性質的影響。

電路端電壓超前電流角。在這種電路中電感的作用比電容的作用大，電路呈感性。UL>UC討論UL<UC電路端電壓滯后電流角。在這種電路中電容的作用比電感的作用大，電路呈容性。討論

由于電路中感抗的作用和容抗的作用相互抵消，總電壓和總電流同相，電路呈純電阻特性，這種現象稱為諧振。XL=XCX=XL-XC=0UL=UC，串聯電路的等效復阻抗

對于串聯交流電路，其總的等效復阻抗等于各元件復阻抗的代數和，即：uiZ1Z2Z3注意：復阻抗不是相量，它沒有對應的正弦量，僅僅是個復數計算量，字符上面不打點。瞬時功率瞬時功率消耗或吸收功率釋放功率有功功率P只有電阻消耗功率無功功率Q視在功率可見：有功功率和無功功率分別與R和X對應，即：電阻消耗功率，電抗交換功率。定義視在功率單位為伏安（VA）或（KVA）視在功率

由視在功率、有功功率和無功功率也可以組成一個三角形,其圖形如下

視在功率也稱為設備的容量。功率三角形電壓、阻抗、功率為相似直角功率因數iuuLLuRuCRC例：

40Ω電阻與一電阻為20Ω、電感為250mH的電感線圈和28μF的電容器相串聯后，外接220V，50Hz的正弦交流電源，如圖所示。求該電路的電流和各元件的電壓，設電壓的初相為零，畫出相量圖并寫出各電壓、電流的瞬時值表達式；求有功功率P和無功功率Q。分析

求該電路的電流和各元件的電壓。設電壓的初相位為零畫出相量圖并寫出各電壓電流的瞬時值表達式；求P和Q。向量表示RiuLuRuCRCuRＬ例題分析例題分析因為題中已設電壓初相為零例題分析同理注意：并聯交流電路的分析計算并聯電路總的等效復阻抗例3.求下圖電路中，A0和V0的讀數。克格勃A0V1A1-j1010A100V-jXCj55V0克格勃A0V1A1-j1010A100V-jXCj55V0解：以u1為參考相量畫相量圖，如右下圖電感支路的電流：即V0的讀數為141.4V。2.5正弦交流電路的頻率響應頻率特性的概念和定義RLC電路的頻率特性頻率特性的概念和定義

如果電源的頻率發生變化，則上述各量都會發生變化，我們稱各電量隨頻率發生變化的關系曲線為頻率特性。

對于線性電路，當激勵（輸入）為正弦量，穩態時，響應（輸出）亦為同頻率的正弦量。激勵響應頻率特性的定義X恒定f：0→∞Y和y隨f變化線性電路頻率特性的定義定義:頻率特性幅頻特性相頻特性

諧振的定義：在含有電感電容元件的電路中，如果滿足某種條件使電路的總電壓和總電流同相，整個電路呈電阻性，cos=1，我們把電路的這種狀態稱為諧振狀態（簡稱諧振）。RLC電路的頻率特性

每一個電路都有自己的頻率特性，而且，在不同的激勵和響應下，其頻率特性也不相同。在RLC串聯電路中，最具特色的頻率特性是電壓與電流之間的頻率特性。串聯諧振并聯諧振串聯諧振RLC串聯諧振的條件：RLCui或電源電壓u與電路中的電流i同相，電路發生諧振諧振條件——諧振頻率——諧振角頻率

由此可見，要使電路達到諧振可以通過調節電路參數和電源頻率來實現。如：調節L、C或電源的頻率f。RLC串聯諧振的特點因為串聯諧振發生在XL=XC處，所以，諧振時電路的阻抗最小，呈電阻性。由于阻抗最小，所以，在電壓有效值一定時，電路中電流將達到最大值。如果電路中電阻很小，則總電流會很大。如果由于電感上的電壓和電容上的電壓遠遠大于電源電壓，所以，我們稱串聯諧振為電壓諧振。注意：電力工程中應避免串聯諧振的發生為了衡量電路中元件電壓比電源電壓高出的倍數，我們引入了品質因數Q這個物理量。定義:

可見，Q值越高，電容（電感）元件兩端的電壓就比電源電壓高得越多。R越小，Q值就越大。

諧振時，電路呈電阻性。所以，電源供給的能量全部被電阻消耗，電路中，cosφ=1，電路和電源之間沒有能量的交換，電路中能量的交換只在電感與電容之間進行。畫出電路的幅頻特性如下設：U的大小一定，則I()曲線見右圖所示。串聯諧振的應用

串聯諧振在無線電工程中應用廣泛，利用諧振的選頻性對所需頻率的信號進行選擇和放大,而對其它不需要的頻率加以抑制。為通頻帶上限截止頻率下限截止頻率諧振選頻的說明收音機的調諧接收電路L1LC0.707I0I0

f下

f0f上fI0I0

f下

f0f上fQ大Q小

無線電信號經天線接受，由L1耦合到L上。調節電容C，對所需頻率信號發生串聯諧振，則其輸出端信號最強，而沒有選中的頻率信號則盡量的加以抑制削減，從而達到選擇信號的目的。Q值越大，諧振曲線越尖銳，選擇信號的能力就越強。等效電路LCe2e0e1f2f0f1R并聯諧振電容器與線圈的并聯電路，其等效阻抗為RLCuiiCiL通常線圈電阻很小，諧振時一般有L>>R，則上式為上式分母中虛部為零時產生諧振，可得諧振頻率為即與串聯諧振頻率公式相同并聯諧振的特征(1)由復阻抗公式諧振時電路的阻抗為達到最大值，比非諧振時要大。在電源電壓一定的情況下，電路中的諧振電流有最小值。即例如：若已知C=0.02μF，L=20μH，R=0.5Ω，可見，在一個只有0.5Ω電阻的LC并聯電路中，諧振時呈現出2000Ω的阻抗。(3)各并聯支路電流為(2)電路的總電壓與總電流同相(=0)；因此，并聯諧振也稱電流諧振IL或

IC與總電流I0的比值為并聯諧振電路的品質因數且當時，(4)當LC并聯電路由電流源供電時，由于電路諧振時阻抗最大，則得到的諧振電壓也最大；而在非諧振時，電路端電壓較小。這種特性也具有選頻作用，且Q越大選頻作用越強。電壓源供電并聯諧振曲線電流源供電并聯諧振曲線RLCiSiCi12.6功率因數的提高功率因數提高的意義提高功率因數的方法應用舉例功率因數提高的意義（1）使電源容量得到充分利用（2）減小輸電線上的電壓降和功率損耗，提高輸電效率

當電源電壓U和輸送的有功功率P一定時，若cosφ低，則輸電線上的電流就大。由于輸電線本身具有阻抗，因此，將導致輸電線路上阻抗壓降增大，同時輸電線路上的功率損耗也增加。若提高電路功率因數的方法

通常情況下，供電系統的功率因數低主要是由于電感負載造成的。而電感負載的電流滯后電壓，使電路中存在一個滯后電壓900的無功電流分量。因此，提高電路（而非負載）功率因數的方法：是在電感負載兩端并聯電容器產生一個超前于電壓90o的無功電流分量，以補償滯后電壓90o的無功電流分量，使線路上的總電流減小。并聯電容器提高功率因數的分析與計算如圖為電感性負載其功率因數為：cosφ1，為了將電路的功率因數提高到cosφ2，并聯電容C。畫相量圖

從相量圖可見，并聯電容器后，總電流由原來的IRL變成了I，其模值減小了，而且與電壓的相位差也由原來的φ1減小為φ2，則cosφ2>cosφ1但是必須注意

（1）并聯電容器前后，原負載支路的工作狀態沒有任何變化，負載電流仍然是IRL，原感性負載的功率因數仍然是cosφ1。因此，提高功率因數是就整個電路對原電路而言的。

（2）線路總電流的減小是由于并聯電容后總電流的無功分量減小的結果。而電流的有功分量在并聯電容前后并無改變。

因此，若需將電路的功率因數從cosφ1提高到cosφ2，就可以從相量圖中求出所需要的并聯電容的大小。

從相量圖上可見應用舉例

例1.單相感應電動機接到50Hz，220V供電線上，吸收電功率700W，功率因數cos1=0.7。今并聯一電容器以提高電路的功率因數至0.9，求所需電容。解：因為U=220V可選用耐壓為500V、電容量為25F的電容器。求出未補償時的電流I1和補償后的電流I2

如下

如果再將功率因數提高到1，則有：

可見，當功率因數較高時，要再提高功率因數，則所需要的電容量并不小，提高功率因數的效率不高，通常并不須要把電路的功率因數提高到1。交流電路分析計算舉例R1=3ΩR2=8ΩXL=4ΩXC=6Ω求：（1）i、i1、i2（2）P解:(1)已知R1R2jXL-jXC總電流I

也可以這樣求：R1R2jXL-jXC（2）功率P的計算R1R2jXL-jXCP=UIcos=220×49.2cos26.5o=9680WP=I12R1+I22R2=442×3+222×8=9680WP=UI1cos53o+UI2cos（-37o）=9680W方法1方法2方法3例題電路如圖所示，已知R=R1=R2=10Ω，L=31.8mH，C=318μF，f=50Hz，U=10V，試求（1）并聯支路端電壓Uab；（2）求P、Q、S及COSXL=2πfL=10Ω解：Z1=10＋j10ΩZ2=10－j10Ω+-uRR2R1CL+--uabab+-R+--Z1Z2abＰ＝ＵIcos=10×0.5×1