第二章§2一、選擇題1．函數f(x)＝3－2x在x＝1處的導數為()A．3 B．－3C．2 D．－2解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(3－21＋Δx－1,Δx)＝－2，故答案為D.答案：D2．下列點中，在曲線y＝x2上，且在此點處的切線傾斜角為eq\f(π,4)的是()A．(0,0) B．(2,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析：首先計算曲線y＝x2在點x0處的導數f′(x0)＝2x0，然后令f′(x0)＝2x0＝taneq\f(π,4)＝1得x0＝eq\f(1,2)，可知答案為D.答案：D3．設函數f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，則a＝()A．－1 \f(1,2)C．1 \f(1,3)解析：eq\f(a－1＋Δx3＋a,Δx)＝3a－3aΔx＋a(Δx)2當Δx→0時，3a＝3，∴a答案：C4．曲線y＝x3＋x－2在點P的切線平行于直線y＝4x－1，則此切線的方程為()A．y＝4x B．y＝4x－4C．y＝4x＋8 D．y＝4x或y＝4x－4解析：設P(x0，y0)是曲線的切點，由導數的定義可求得：f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，因為在點P的切線與直線y＝4x－1平行，所以3xeq\o\al(2,0)＋1＝4.解得x0＝1或x0＝－1，則點P坐標為(1,0)或(－1，－4)，所以所求的切線方程為y＝4x－4或y＝4x.答案：D二、填空題5．已知曲線f(x)＝eq\f(1,2)x2－2上一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，則過點P的切線的傾斜角為__________．解析：過點P的切線的斜率k＝f′(1)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(1,2)1＋Δx2－2－\f(1,2)×12＋2,Δx)＝1，設過點P的切線的傾斜角為α，則tanα＝1.又∵α∈[0，π)，∴α＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)6.如圖，函數y＝f(x)的圖像在點P處的切線方程是y＝－2x＋9，P點的橫坐標是4，則f(4)＋f′(4)＝________________.解析：由導數的幾何意義知f′(4)＝－2，由點P在切線y＝－2x＋9上知yP＝－2×2＋9＝1.∴點P的坐標為(4,1)，∴f(4)＝1，∴f(4)＋f′(4)＝1＋(－2)＝－1.答案：－1三、解答題7．在曲線y＝x2上分別求一點P使得曲線在該點處的切線滿足以下條件：(1)平行于直線y＝4x－5；(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0.解析：由y＝x2，得Δy＝(x0＋Δx)2－xeq\o\al(2,0)＝2x0Δx＋(Δx)2，eq\f(Δy,Δx)＝2x0＋Δx.當Δx無限趨近于0時，2x0＋Δx無限趨近于2x0，∴f′(x0)＝2x0.設P(x0，y0)是滿足條件的點．(1)因為切線與直線y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．(2)因為切線與直線2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·eq\f(1,3)＝－1，得x0＝－eq\f(3,2)，y0＝eq\f(9,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4))).8．已知曲線C的方程f(x)＝x3.(1)求曲線C在點(1,1)處的切線方程；(2)求曲線C過點(1，－4)的切線方程；(3)求曲線C過點(1,1)的切線方程．解析：f′(x0)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(x0＋Δx3－x\o\al(3,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))[3xeq\o\al(2,0)＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(2,0).(1)f′(1)＝3×12＝3，∴曲線在點(1,1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.(2)點(1，－4)不在曲線上，設切點為(x0，y0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x\o\al(3,0)，,k＝3x\o\al(2,0)＝\f(y0＋4,x0－1)，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝8，))則k＝12.所以切線方程為y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16.(3)點(1,1)在曲線上，①若切點就是(1,1)，則切線方程為y＝3x－2.②若切點不是(1,1)，設切點為(x0，y0)(x0≠1)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x\o\al(3,0)，,k＝3x\o\al(2,0)＝\f(y0－1,x0－1)，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(1,2)，,y0＝－\f(1,8)，))則k＝eq\f(3,4).所以切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－1)，即y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4).綜合①②，曲線C過(1,1)點有兩條切線y＝3x－2和y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4).9．拋物線y＝eq\f(1,4)x2在點M(2,1)處的切線與x軸相交于N，O、F分別為該拋物線的頂點、焦點．(1)求MN的方程；(2)求四邊形OFMN的面積．解析：(1)由導數的幾何意義知切線的斜率k＝f′(2)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0