數字信號處理復習課計算機科學與技術學院通信系數字信號處理典型的數字信號處理系統

緒論時域離散信號和時域離散系統（時域）序列的變換域分析（傅立葉變換、z變換）

離散傅立葉變換快速傅立葉變換FFT

時域系統網絡結構

IIR濾波器的設計

FIR濾波器的設計基于DSP芯片的實現數字信號處理第1章時域離散信號和時域離散系統主要內容：1.時域離散信號(序列)2.時域離散系統3.卷積4.時域離散系統的輸入輸出描述法5.模擬信號數字處理方法第1章時域離散信號和時域離散系統一、時域離散信號(序列)常用的典型序列序列的運算第1章時域離散信號和時域離散系統一、時域離散信號(序列)常用的典型序列單位取樣序列單位階躍序列矩形序列斜變序列單邊指數序列正弦序列復指數序列時移性抽樣性單位取樣序列常用的典型序列單位取樣、單位函數、單位脈沖、單位沖激利用單位取樣序列表示任意序列單位取樣序列常用的典型序列單位階躍序列單位階躍序列與單位取樣序列關系常用的典型序列矩形序列常用的典型序列

正弦序列常用的典型序列序列的運算1．相加：2．相乘：3．移位：序列的運算序列的運算4．翻轉：5．差分：6．累加：7．尺度倍乘（壓縮、擴展）：注意：有時需去除某些點或補足相應的零值。8．序列的能量序列的運算例1-1二、時域離散系統第1章時域離散信號和時域離散系統時域離散系統x(n)y(n)離散時間系統定義線性：滿足均勻性和疊加性；時域離散系統x1(n)y1(n)時域離散系統x2(n)y2(n)時域離散系統c1x1(n)+c2x2(n)c1y1(n)+c2y2(n)線性時不變系統時不變性

常系數線性差分方程線性時不變系統1.迭代法3.零輸入響應+零狀態響應利用卷積求系統的零狀態響應2.時域經典法：齊次解+特解4.z變換法反變換y(n)解法：線性時不變系統對于線性時不變系統是因果系統的充要條件：

穩定性的充要條件：或線性時不變系統輸出x(n)y(n)線性時不變系統1.圖解法2.對位相乘求和法求卷積3.利用性質離散卷積過程：序列翻轉移位相乘取和卷積線性時不變系統思考？解卷積線性時不變系統應用實例雷達探測系統1.5模擬信號數字處理方法在緒論中已介紹了數字信號處理技術相對于模擬信號處理技術的許多優點，因此人們往往希望將模擬信號經過采樣和量化編碼形成數字信號，再采用數字信號處理技術進行處理；處理完畢，如果需要，再轉換成模擬信號。采樣定理及A/D變換器

采樣定理(時域、頻域）采樣、量化、編碼2.將數字信號轉換成模擬信號

D/A

低通濾波主要內容：１．序列的傅里葉變換及性質２．周期序列的傅里葉變換表示式３．序列的Z變換及性質

第2章時域離散信號和系統的頻域分析重點：

利用Z變換分析信號和系統的頻域特性第2章時域離散信號和系統的頻域分析第2章時域離散信號和系統的頻域分析1、序列的傅里葉變換3、序列的Z變換、性質及與序列的傅里葉變換關系序列的傅里葉變換FT性質：周期、線性、對稱、時移和頻移、卷積定理。2、序列的傅里葉級數DFS延拓與主值第2章時域離散信號和系統的頻域分析Z變換的收斂域ROC

Rx-<|z|<Rx+利用Z變換分析信號和系統的頻域特性第2章時域離散信號和系統的頻域分析第2章時域離散信號和系統的頻域分析用H(z)的極零點分布———分析系統的特性１．分析系統的因果性和穩定性系統函數H(z)收斂域即也就是說，系統函數的全部極點必須在單位圓內收斂域包括無窮遠點第2章時域離散信號和系統的頻域分析用H(z)的極零點分布———分析系統的特性２．分布分析系統的頻率特性例第2章時域離散信號和系統的頻域分析已知Ｈ(z)=(1-０.６z-1)-1，|z|>a分析：頻率響應單位抽樣響應極－零圖第3章離散傅里葉變換(DFT)主要內容:1．離散傅立葉變換2．頻域采樣定理3．DFT的應用重點：DFT物理意義第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT物理意義時域采樣第3章離散傅里葉變換(DFT)第3章離散傅里葉變換(DFT)頻域采樣第3章離散傅里葉變換(DFT)0≤k≤N-1物理意義：DFT就是對X(z)在Z平面單位圓上N點等間隔采樣使頻域離散化

頻域采樣定理恢復時域用內插公式與內插函數.

第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用1.用DFT計算線性卷積則由時域循環卷積定理有

Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),0≤k≤L-1第3章離散傅里葉變換(DFT)用DFT計算循環卷積

DFT的應用第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用用DFT計算線性卷積框圖存儲空間延時第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用2.用DFT對信號進行譜分析對X(jf)在區間［0,fs］上等間隔采樣N點，采樣間隔為F參數fs

、Tp、N和F滿足如下關系式：由于NT=Tp，所以第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用2.用DFT對信號進行譜分析第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用2.用DFT對信號進行譜分析可能造成的誤差

越大，主瓣越窄函數過零點信號截短：令：則：是周期的線譜，與卷積后，頻譜將發生失真，影響其分辨率(Resolution)注意：所有有限長的信號都應看作一 無限長的信號和一矩形窗相乘的結果。關鍵是對頻域的影響。第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用1.混疊現象2.頻譜泄漏可能造成的誤差3.柵欄效應用DFT計算頻譜時，只是知道為頻率的整數倍處的頻譜。在兩個譜線之間的情況就不知道,這相當通過一個柵欄觀察景象一樣，故稱作柵欄效應。補零點加大周期，可使F變小來提高辨力，以減少柵欄效應。第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用可能造成的誤差第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用語音消噪第3章離散傅里葉變換(DFT)DFT的應用直序擴頻信號PN碼相位利用DFT實現多載波調制（OFDM）

FFT在雙音多頻（DTMF）信號中的應用第4章快速傅里葉變換(FFT)基-2FFT快速算法

重點:再考慮到WkN的以下性質:第4章快速傅里葉變換(FFT)第4章快速傅里葉變換(FFT)1

1

11-1(前一半)(后一半)點DFT點DFT-1-1-1-1-1-1

點DFT

點DFT

點DFT-1

點DFT第4章快速傅立葉變換（FFT）-1-1-1-1-1-1-1

點DFT-1

點DFT

點DFT

點DFT一個N=8點DFT分解為四個N/4點DFT的信號流圖

圖4.2.3N點DFT的第二次時域抽取分解圖(N=8)

第4章快速傅立葉變換（FFT）-1-1-1-1-1-1-1-1-1

點DFT

點DFT

點DFT

點DFT-1-1-1第4章快速傅立葉變換（FFT）

圖4.2.4N點DIT―FFT運算流圖(N=8)第4章快速傅立葉變換（FFT）圖4.2.6DIT―FFT運算和程序框圖

4.編程思想及程序框圖三層循環的功能是：

最外層（大）循環完成M次迭代過程即L=1,2,..,M級，即每次循環為一級。

中間（中）循環完成在一級中共有B個不同因子WNk對應2M-L個蝶形運算，同一個旋轉因子對應著相隔2L點的2M-L個蝶形。

最里層（?。┭h完成同一個旋轉因子不同蝶形的運算；其循環體為一個蝶形運算。FFT運算時輸出/輸入序列中必有其一要混序。第4章快速傅里葉變換(FFT)第5章時域離散系統的基本網絡結構與狀態變量分析法１．數字網絡的信號流圖表示２．IIR數字濾波器的結構３．FIR數字濾波器的結構４．狀態變量分析法主要內容對于研究這個系統的實現方法（即它的運算結構）來說，用方塊結構圖最直接也可以用信號流圖來表示

方框結構圖第5章時域離散系統的基本網絡結構與狀態變量分析法一、無限長脈沖響應基本網絡結構IIR濾波器的幾種結構形式的性能直接型只需要N級延時單元系數aibi對濾波器性能的控制關系不直接，調整不方便調整零、極點困難。級聯型每一個基本節只關系到濾波器的某一對極點和一對零點，便于準確實現濾波器的零、極點，也便于性能調整。并聯型可以單獨調整極點位置，但不能直接控制零點。在運算誤差方面，并聯型各基本節的誤差互不影響，所以比級聯型總的說，誤差要稍小一些因此當要求有準確的傳輸零點時，采用級聯型最合適后面的網絡的輸出不會流到前面，所以其運算誤差也比直接型小直接型將系統函數H(z)表達為3/1-6/1-6/13/23/51-z][nx][ny1-z1-z3級聯型將系統函數H(z)表達為一階、二階實系數分式之積3/11-z][nx][ny2/1-1-z1-z33/53/22/1-并聯型將系統函數H(z)表達為部分分式之和的形式3/11-z2/1-1-z1-z12/1-1][nx][ny2二、FIR的網絡結構1.直接型將H（Z）分解為實系數二階因子的乘積形式2.級聯型

線性相位結構是FIR系統的直接型結構的簡化網絡結構，特點是網絡具有線性相位特性，比直接型結構節約了近一半的乘法器。如果系統具有線性相位，它的單位脈沖響應滿足下面公式:（5.5.1）

3.線性相位結構式中，“＋”代表第一類線性相位濾波器;“－”號代表第二類線性相位濾波器。第5章時域離散系統的網絡結構第5章時域離散系統的網絡結構4、頻率取樣型結構流圖0NW1-zH[0]y(n)1/Nx(n)Nz--1-NW1-zH[1])1(--NNW1-zH[N-1]6.1數字濾波器的基本概念6.2模擬濾波器的設計6.3用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器6.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器6.5數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計第6章無限脈沖響應數字濾波器的設計

經典濾波器從功能上分又可分為：低通濾波器（LP):Lowpassfilter帶通濾波器(BP):Bandpassfilter高通濾波器(HP):Highpassfilter帶阻濾波器(BS):Bandstopfilter

1．數字濾波器的分類經典濾波器現代濾波器總起來可以分成兩大類：FIR濾波器IIR濾波器數字濾波器從實現的網絡結構或者從單位脈沖響應長度分兩類：根據濾波器對信號的處理作用選頻濾波器其他濾波器低通巴特沃斯濾波器的設計步驟

(1)根據技術指標Ωp,αp,Ωs和αs，求出濾波器的階數N。(2)求出歸一化極點pk，得到歸一化傳輸函數Ha(p)。(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s)。

設計模擬濾波器

設計高通、帶通和帶阻模擬濾波器的一般過程是:(1)通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉換為相應的低通濾波器指標；(2)設計相應的低通系統函數Q(p)；(3)對Q(p)進行頻率變換，得到希望設計的濾波器系統函數Hd(s)。IIR濾波器設計方法有間接法和直接法間接法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。設計步驟是：先設計過渡模擬濾波器得到系統函數Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。直接法直接在頻域或者時域中設計數字濾波器，由于要解聯立方程，設計時需要計算機輔助設計。FIR常用的設計方法有窗函數法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。

3．數字濾波器設計方法概述

設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)將Ha(s)進行逆拉氏變換得到ha(t)：(6.3.2)1.脈沖響應不變法原理設模擬濾波器的傳輸函數為Ha(s),其單位沖激響應是ha(t)(6.3.3)對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統函數H(z)：(6.3.4)對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：

模擬頻率Ω和數字頻率ω之間的關系。令s=jΩ，z=ejω,并代入（6.4.3）式,得到:（6.4.5）2、用雙線性變換法（6.4.3）5.數字濾波器設計IIR數字低通濾波器的步驟。（1）確定數字低通濾波器的技術指標：通帶邊界頻率ωp、通帶最大衰減

p、阻帶截止頻率ωs、阻帶最小衰減

s。（2）將數字低通濾波器的技術指標轉換成相應的模擬低通濾波器的技術指標。這里主要是邊界頻率ωp和ωs的轉換，

p和

s指標不變。如果采用脈沖響應不變法，邊界頻率的轉換關系為（6.4.6）如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉換關系為（3）按照模擬低通濾波器的技術指標設計過渡模擬低通濾波器。（4）用所選的轉換方法，將模擬濾波器Ha(s)轉換成數字低通濾波器系統函數H(z)。（6.4.7）預畸變第7章有限脈沖響應數字濾波器的設計7.1線性相位FIR數字濾波器的條件和特點7.2利用窗函數法設計FIR濾波器7.3利用頻率采樣法設計FIR濾波器7.5IIR和FIR數字濾波器的比較(7.1.1)(7.1.2)

式中，Hg(ω)稱為幅度特性，θ(ω)稱為相位特性。注意：這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)為ω的實函數，可能取負值，而|H(ejω)|總是正值。對于長度為N的h(n)，傳輸函數為FIR濾波器時域約束條件：h(n)=±h(N－n－1)和相位函數θ(ω)=－ωτ群延遲:7.1線性相位FIR數字濾波器的條件和特點表7.1.1線性相位FIR數字濾波器的時域和頻域特性一覽截斷逼進一、設計思想7.2窗函數法設計數字濾波器

（1）在理想特性不連續點ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度近似等于WRg(ω)主瓣寬度4π/N。（2）通帶內產生了波紋，最大的峰值在ωc－2π/N處。阻帶內產生了余振，最大的負峰在ωc+2π/N處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數的幅度譜有關，WRg(ω)旁瓣幅度的大小直接影響Hg(ω)波紋幅度的大小。

以上兩點就是對hd(n)用矩形窗截斷后，在頻域的反映，稱為吉布斯效應。這種效應直接影響濾波器的性能。通帶內的波紋影響濾波器通帶的平穩性，阻帶內的波紋影響阻帶內的衰減，可能使最小衰減不滿足技術指標要求。當然，一般濾波器都要求過渡帶愈窄愈好。加窗影響：吉布斯（Gibbs）效應：用一個有限長的序列h(n)去代替hd(n)，肯定會引起誤差，表現在頻域就是引起過渡帶加寬以及通帶和阻帶內的波動，尤其使阻帶的衰減小，從而滿足不了技術上的要求。這種吉布斯效應是由于將hd(n)直接截斷引起的，也稱為截斷效應。

調整窗口長度N只能有效地控制過渡帶的寬度，而要減少帶內波動以及增大阻帶衰減，只能從窗函數的形狀上找解決問題的方法。構造新的窗函數形狀，使其譜函數的主瓣包含更多的能量，相應旁瓣幅度更小。旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動減小，從而加大阻帶衰減。但這樣總是以加寬過渡帶為代價的。7.2.2典型窗函數介紹

1．矩形窗（RectangleWindow）wR(n)=RN(n)其幅度函數為2．三角形窗（BartlettWindow）旁瓣峰值：

n=－13dB；過渡帶寬度：Bg=4π/N;

阻帶最小衰減：s=－21dB3．漢寧（Hanning）窗——升余弦窗

4．哈明（Hamming）窗——改進的升余弦窗5．布萊克曼（Blackman）窗6．凱塞—貝塞爾窗（Kaiser-BaselWindow）凱塞—貝塞爾窗是一種參數可調的窗函數，是一種最優窗函數。表7.2.26種窗函數的基本參數用窗函數法設計FIR濾波器的步驟如下：根據對過渡帶及阻帶衰減的指標要求，選擇窗函數的類型，并估計窗口長度N。

(2)構造希望逼近的頻率響應函數Hd(ejω)

就是選擇Hd(ejω)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）(3)計算hd(n)(4)加窗得到設計結果：h(n)=hd(n)w(n)7.2.3用窗函數法設計FIR濾波器的步驟例7.2.1

用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設計FIR低通濾波器，設N=11,ωc=0.2πrad。例7.2.2

用窗函數法設計線性相位高通FIRDF，要求通帶截止頻率ωp=π/2rad，阻帶截止頻率ωs=π/4rad，通帶最大衰減

p=1dB，阻帶最小衰減

s=40dB。一、設計思想7.3頻率采樣法設計FIR濾波器

頻率采樣法設計步驟

（1）根據阻帶最小衰減

s選擇過渡帶采樣點的個數m。（2）確定過渡帶寬度Bt，估算頻域采樣點數（即濾波器長度）N。如果增加m個過渡帶采樣點，則過渡帶寬度近似變成(m+1)2π/N。當N確定時，m越大，過渡帶越寬。如果給定過渡帶寬度Bt，則要求(m+1)2π/N≤Bt

，濾波器長度N必須滿足如下估算公式:（7.3.15）

（3）構造一個希望逼近的頻率響應函數:設計標準型片斷常數特性的FIR數字濾波器時，一般構造幅度特性函數Hdg(ω)為相應的理想頻響特性，且滿足表7.1.1要求的對稱性。（4）按照（7.3.1）式進行頻域采樣:（7.3.16）（7.3.17）并加入過渡帶采樣。過渡帶采樣值可以設置為經驗值，或用累試法確定，也可以采用優化算法估算。（5）對H(k)進行N點IDFT，得到第一類線性相位FIR數字濾波器的單位脈沖響應：

（7.3.18）

（6）檢驗設計結果。如果阻帶最小衰減未達到指標要求，則要改變過渡帶采樣值，直到滿足指標要求為止。如果濾波器邊界頻率未達到指標要求，則要微調Hdg(ω)的邊界頻率。上述設計過程中的計算相當繁瑣，所以通常借助計算機設計。從性能上，IIR濾波器系統函數的極點可位于單位圓內的任何地方，因此零點和極點相結合，可用較低的階數獲得較高的選擇性，