第2章材料力學基礎材料力學的基本概念2.1軸向拉伸和壓縮2.2剪切與擠壓2.3圓軸扭轉2.4

工程中有各種各樣的結構或機械，不管其結構多么復雜，它們都是由一個個構件組合而成的。

任何構件在外力作用下，它的幾何形狀和尺寸大小都會發生一定程度的改變，如各種機床的刀具、車床的主軸（見圖2.1）等，它們在外力增加到一定程度時會發生破壞。

構件的過大變形和破壞，都會影響工程結構的正常工作。為了保證工程結構在載荷作用下正常工作，要求每個構件具有足夠的承載能力，承載能力的大小主要由強度、剛度、穩定性3個方面來衡量。圖2.1車床的主軸2.1材料力學的基本概念2.1.1構件的承載能力

機械和工程結構都是由許多構件組合而成的，任何一個構件都是用某種材料制成的。

承載能力主要由以下3個方面的指標來衡量，如表2.1所示。名稱含義指標要求實例強度構件抵抗破壞的能力構件承載后不發生破壞時構件應具有的足夠強度起重用的鋼絲繩在起吊額定重量的重物時不能斷裂；車床主軸在正常工作時不能折斷等剛度構件抵抗變形的能力構件承載后不發生過大變形時構件應具有的足夠的剛度如車床主軸在保證足夠強度的同時，還需要有足夠的剛度，否則過大的變形，會影響工件的加工精度表2.1 構件安全性指標穩定性桿件維持其原有平衡形式的能力構件應具有足夠的穩定性，以保證在規定的使用條件下不喪失穩定性而破壞螺旋千斤頂中的螺桿和內燃機中配氣機構的挺桿當壓力增大到一定程度時，桿件就會突然變彎，失去原來的直線平衡形式2.1.2材料力學的任務

在設計一個構件時，除了保證構件安全工作外，同時還要考慮經濟方面的要求。2.1.3桿件變形的基本形式

工程中大多數構件，如軸、絲杠和螺栓等都是縱向尺寸（長度）遠大于橫向尺寸的材料，在材料力學上將這類構件稱為桿。

如果桿的軸線為曲線稱為曲桿，如果桿的軸線為直線，稱為直桿。

若直桿各橫截面都相等，這種桿件稱為等橫截面直桿。

它是材料力學研究的基本對象。

桿件在不同的受力情況下，會產生各種不同的變形。

基本變形形式有4種，如表2.2所示。

對于工程中比較復雜的桿件變形，也只是這幾種基本變形形式的組合。續表2.2軸向拉伸和壓縮2.2.1軸向拉伸和壓縮時的內力1．內力

桿件在外力作用下產生變形，其內部的一部分對另一部分的作用稱為內力。

拉壓桿上的內力又稱為軸力。

這種內力將隨外力增大而增大，當外力增大到一定限度時，桿件就會發生破壞。2．截面法

將受外力作用的桿件假想地切開來用以顯示內力，并以平衡條件來確定其合力的方法，稱為截面法。圖2.2受拉桿件受力分析

綜上所述，求桿件內力的方法—截面法可概述如下。（1）截開沿欲求內力的截面，假想把桿件分成兩部分。（2）代替取其中一部分為研究對象，畫出其受力圖。在截面上用內力代替移去部分對留下部分的作用。（3）平衡列出平衡方程，確定未知的內力。注意

軸力符號的規定為拉伸時N為正（N的指向背離截面）；壓縮時N為負（N的指向朝向截面）。2.2.2拉伸和壓縮時橫截面上的應力1．應力

有兩根桿件材料相同，一根較細，一根較粗。

在相同外力作用下，較細那根構件容易破壞。

因此，需綜合內力和橫截面面積兩個因素才能正確反映桿件的強度。

工程上常用應力來衡量構件受力的強弱程度。

應力是指構件在外力作用下，單位面積上的內力。2．正應力

垂直于橫截面上的應力，稱為正應力，用

表示，即

=N/A

式中

—橫截面上的正應力，單位為MPa；

N—橫截面上的內力（軸力），單位為N；

A—橫截面的面積，單位為mm2。2.2.3拉伸（壓縮）時橫截面上的應變1．絕對變形和相對變形

現在我們研究圖2.5所示的軸向尺寸的變化。圖2.5桿件受拉和受壓絕對變形與桿的原長有關，為了消除桿件原長度的影響，采用單位原長度的變形量來度量桿件的變化程度，稱為相對變形，又稱為應變。用ε表示，則

對于拉桿，

為正值；對于壓桿，

為負值。

是無單位的，通常用百分比表示。2．胡克定律

桿件拉伸或壓縮時，其變形和應力間存在著一定的關系。

實驗表明，當桿件橫截面上的正應力不超過某一限度時，桿的正應力與軸向線應變成正比，這一關系稱為胡克定律，即材料名稱碳鋼合金鋼灰鑄鐵銅及其合金鋼鋁合金橡膠E值196～216186～20678.5～15773～128703表2.3 常用材料的E值2.2.4拉伸（壓縮）時的應力—

應變曲線1．低碳鋼拉伸時的應力—應變曲線

試件在受到緩慢施加的拉力作用下，試件逐漸被拉長（伸長量用L來表示），直到試件斷裂為止。

這樣得到F與L的關系曲線，稱為拉伸圖或F—L曲線，如圖2.6所示。圖2.6低碳鋼拉伸圖圖2.7低碳鋼拉伸變形

—

曲線①彈性階段②屈服階段③強化階段④頸縮階段2．鑄鐵拉伸時的應力—應變曲線

從灰口鑄鐵拉伸時的

—

圖可以看

出是一段微彎的曲線，如圖2.8所示。

無明顯直線部分，表明應力與應變的關系不符合胡克定律，但在應力較小時，可近似以直線代替曲線。

也就是說，在較小應力時仍近似符合胡克定律，從而可確定彈性模量E的值。圖2.8灰鑄鐵拉伸變形圖3．低碳鋼壓縮時的應力—應變曲線4．鑄鐵壓縮時的應力—應變曲線

綜上，塑性材料和脆性材料力學性能的主要區別如下。（1）塑性材料斷裂前既有明顯的塑性變形又有明顯的屈服現象，而脆性材料在變形很小時突然斷裂，無屈服現象。（2）塑性材料在拉伸和壓縮時的比例極限、屈服極限和彈性摸量均相同，因塑性材料一般不允許達到屈服極限，所以其抵抗拉伸和壓縮的能力相同。脆性材料抵抗拉伸的能力遠低于其抵抗壓縮的能力。2.2.5拉伸和壓縮的強度條件和應用1．許用應力和安全系數

為保證構件具有足夠的強度，構件在外力作用下的最大工作應力必須小于材料的極限應力。2．構件在拉伸和壓縮時的強度條件

為保證拉（壓）桿不致因強度不夠而失去正常的工作能力，必須使其最大工作應力不超過材料在拉伸（壓縮）時的許用應力[

]，即

N/A≤[

]式中[

]

—許用應力，單位為MPa；

N

—橫截面上的內力，單位為N；

A

—橫截面的面積，單位為mm2。2.3剪切與擠壓2.3.1剪力和切應力

在工程實際中，有很多承受剪切的構件，如鉚釘、鍵和銷等連接件，都是剪切變形的工程實例。

圖2.12（a）所示為一鉚釘連接的簡圖。

切應力的計算公式為

式中—切應力，單位為MPa；

Q

—剪切面上的剪力，單位為N；

A

—剪切面面積，單位為mm2。圖2.12鉚釘連接的簡圖2.3.2擠壓應力

機械中受剪切作用的連接件，在傳力的接觸面上，由于局部承受較大的壓力，而出現塑性變形，這種現象稱為擠壓。

擠壓應力在擠壓面上的分布也很復雜，工程中近似認為擠壓應力在擠壓面上均勻分布，如圖2.13（c）所示，則bs

=

P/Abs

式中bs

—擠壓應力，單位為MPa；

P

—擠壓面上的作用力，單位為N；

Abs

—擠壓面面積，單位為mm2。

為了簡化計算，一般取通過圓柱直徑的平面面積（即圓柱的正投影面面積）作為擠壓面的計算面積，如圖2.13（d）所示。圖2.13螺栓連接2.3.3剪切和擠壓強度條件和應用1．抗剪強度條件

剪切面上最大切應力，即抗剪強度τmax不得超過材料的許用切應力，即max=Q/A≤[]

式中τmax

—剪切面上的最大切應力，單位為MPa； Q

—剪切面上的剪力，單位為N；A

—剪切面截面積，單位為mm2；

[]

—許用切應力，單位為MPa。

許用切應力

[]

可通過試驗測得。2．抗擠壓強度條件擠壓面上的最大擠壓應力不得超過擠壓許用應力，即

bsmax

=

P/Abs≤

式中bsmax

—最大擠壓應力，單位為MPa；

P

—擠壓力，單位為N；

Abs

—擠壓面面積，單位為mm2；

—許用擠壓應力，單位為MPa。3．抗剪和抗擠壓條件的應用

工程中為使機器中關鍵零件或貴重零件不致損壞，而把機器中某個次要零件設計成機器中最薄弱的環節。注意（1）由于受剪零件同時伴有擠壓作用，因此在校核強度時，不僅要計算抗剪強度，還要計算擠壓強度；（2）在進行3類強度問題計算前，先明確計算類別，再根據強度條件進行計算；（3）解題步驟為：先用截面法求內力，然后用強度條件進行相關問題的計算。4．提高連接件強度的主要措施

提高連接件強度的主要措施如下。（1）增加連接件的數量，加大承載面積；（2）通過增加連接件剪切面數量，加大承載面積。2.4圓軸扭轉2.4.1扭轉的概念

工程中，很多傳動機構中的回轉體都會產生扭轉變形。

在工程計算中，作用于軸上的外力偶矩往往不是直接給出其數值，而是給出軸所傳遞的功率P（kW）和軸的轉速n（r/min），通過計算得出外力偶矩m

=

9

550P/n

（N·m）2.4.2扭矩、扭矩圖1．扭矩

圓軸在外力偶矩作用下發生扭轉變形，其橫截面上將產生內力。圖2.18圓軸扭轉變形圖2.19右手螺旋法則2．扭矩圖

當軸上承受多個外力偶矩作用時，各橫截面上的扭矩是不同的。

為了確定最大扭矩的所在位置，以便分析危險截面，常需畫出扭矩隨截面位置變化的圖形，這種圖形稱為扭矩圖。

扭矩圖橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示各橫截面上扭矩的大小。圖2.20傳動軸2.4.3圓軸扭轉的應力1．圓軸扭轉變形

取一等直圓軸，在它的表面劃出一組平行于軸線的縱向線和一組代表橫截面的圓周線，形成許多矩形格子。

圖2.21圓軸扭轉變形2．圓軸扭轉時的應力（1）切應力分布規律圓軸橫截面上任一點的切應力與該點所在圓周的半徑成正比，方向與過該點的半徑垂直，切應力最大處發生在半徑最大處。應力分布規律如圖2.22所示。圖2.22圓軸橫截面上應力分布規律（2）切應力計算公式根據靜力學關系導出切應力計算公式為

式中

—切應力，單位為MPa；

MT

—橫截面上的扭矩，單位為kN·m；

—橫截面上任意一點的半徑，單位為mm；

IP

—橫截面的極慣性矩，單位為mm4。當

=R時，切應力最大，即令IP/R=Wn，于是上式可改為式中Wn

—抗扭截面系數，單位為mm3。3．圓軸抗扭截面模量計算公式

機器中軸的橫截面通常采用實心圓和空心圓兩種形狀。

它們的極慣性矩Ip和抗扭截面系數Wn計算公式如下。（1）實心圓軸（設直徑為D）

極慣性矩

抗扭截面系數

（2）空心圓軸（設軸的外徑為D，內徑為d）

極慣性矩

抗扭截面系數

式中，

=

d/D。2.4.4圓軸扭轉的強度計算為保證圓軸的正常工作，應使危險截面上最大工作剪應力max不超過材料的許用剪應力[

]。由此得圓軸扭轉的強度條件為

式中max

—最大切應力，單位為MPa；

MT

—橫截面上的扭矩，單位為kN·m；

Wn

—抗扭截面系數，單位為mm3；[

]

—許用切應力，單位為MPa。

受靜載荷作用時，[

]與[

]之間存在以下關系。

對于塑性材料[

]

=（0.5～0.6）[

]

對于脆性材料[

]

=（0.8～1.0）[

]2.4.5提高軸抗扭能力的方法

由扭轉強度條件max=MT/Wn≤[

]可知，要提高軸的抗扭能力就必須提高軸的強度。

要提高軸的強度必須從以下兩方面考慮。 1．合理選用截面，提高軸的抗扭截面系數Wn 2．合理安排受力情況，降低最大扭矩

除了抗扭強度的影響外，對許多軸來說，還要考慮剛度對抗扭能力的影響，即在軸滿足強度條件下，還要使軸避免產生過大扭轉變形。

我們把抗扭轉變形的能力稱為抗扭剛度，提高抗扭剛度的方法有以下3種。（1）合理安排受力，降低最大扭矩。（2）合理選擇截面，提高抗扭剛度。（3）在強度條件許可的條件下，選擇剛度大的材料。2.5直梁彎曲2.5.1概述1．彎曲的概念

在工程結構和機械零件中，存在大量的彎曲問題，如橋式起重機橫梁在載荷和自重作用時，汽車用的鋼板彈簧以及火車的車軸在受到橫向載荷作用時，都會產生彎曲變形。

以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁。注意

彎曲變形的特點是桿件所受的力是垂直于梁軸線的橫向力，在其作用下梁的軸線由直線變成曲線。2．平面彎曲

工程中大多數梁的橫截面都具有對稱性，梁的軸線和截面縱向對稱軸所決定的平面稱為縱向對稱面，如圖2.24所示。圖2.24梁的平面彎曲3．梁的類型

據約束特點對支座簡化，分為下列3種基本形式。（1）簡支梁（2）懸臂梁（3）外伸梁圖2.25橋式起重機橫梁圖2.26車刀圖2.27車床主軸4．梁上外力形成

梁上外力包括載荷和支座兩部分，梁上的載荷常見形式有以下3種。（1）集中力F，單位是N或kN。（2）集中力偶M，單位是N·m或kN·m。（3）均勻分布載荷q，單位是N/m或kN/m。

工程上，作用在梁上的載荷是已知的，而支座反力是未知的，必須通過靜力平衡方程求得。2.5.2梁的內力—剪力和彎矩

梁的內力包括剪力FQ和彎矩M，下面以圖2.28（a）所示的簡支梁為例加以說明。梁在C點受集中力F。（1）求梁上所受約束力（2）用截面法求得內力

①在截面m?m處假想地把梁切為兩段，取左端為研究對象，如圖2.28（b）所示。

②建立平衡方程

由此可以看出，彎曲時，梁的橫截面上產生兩種內力，一個是剪力，另一個是彎矩。圖2.28簡支梁受力分析注意

彎矩符號的規定。如圖2.29所示，梁彎曲成凹面向上時，橫截面上的彎矩為正；彎曲成凸面向下時，彎矩為負。圖2.29彎矩符號的規定2.5.3彎矩圖

一般情況下，在梁的不同截面上，彎矩是不相同的，并隨著橫截面位置的不同而改變。圖2.30齒輪軸2.5.4彎曲正應力1．純彎曲

圖2.31（a）所示的梁AB段，各橫截面上的剪力為零，而彎矩為常量。

只有彎曲作用而沒有剪力作用的梁，稱為純彎曲梁。圖2.31直梁彎曲2．應力的分布規律

取一矩形截面梁，在其表面畫上橫向線1-1、2-2和縱向線ab、cd，然后在梁的縱向對稱平面施加一對大小相等、方向相反的力偶時，使梁產生純彎曲變形。注意

正應力的分布規律為橫截面上各點正應力的大小，與該點到中性軸的距離成正比。

如圖2.32所示，在中性軸處正應力為零，離中性軸最遠的截面上，上、下邊緣正應力最大。

正應力沿截面高度按直線規律分布。圖2.32正應