第六章

控制系統的綜合與校正§6-1引言§6-2超前校正參數的確定§6-3滯后校正參數的確定§6-4滯后－超前校正參數的確定§6-5用希望對數頻率特性確定校正參數§6-6反饋校正參數的確定本章基本要求

(1)熟悉三種基本校正網絡的頻率特征。(2)掌握期望特征對高中低三段的要求和特點。(3)重點掌握和熟練運用三種串聯校正的設計方法和基本步驟;在正確理解三種串聯校正網絡在系統中作用的基礎上，會靈活運用校正方法。(4)掌握反饋校正的一般方法。(5)掌握根軌跡校正的一般方法。一、基本概念

當明確了被控對象后，根據技術指標來確定控制方案，進而選擇傳感器、放大器和執行機構等就構成了控制系統的基本部分，這些基本部分稱為不可變部分（除放大器的增益可適當調整，其余參數均固定不便）。當由系統不可變部分組成的控制系統不能全面滿足設計需求的性能指標時，在已選定的系統不可變部分基礎上，還需要增加必要的元件，使重新組合起來的控制系統能全面滿足設計要求的性能指標，這就是控制系統的綜合與校正問題。§6-1概述

前幾章的學習，我們討論了控制系統的各種分析方法。也就是說在已知自動控制系統的結構和參數的情況下，計算或估算系統的性能指標（即看系統能不能穩定？快速性如何？二者均可了，還要看其精度如何？）----稱為系統分析

而在工程實際中，性能指標往往是事先給定的，要求組成一個系統并選擇合適的參數，以滿足這些性能指標的要求。簡言之：

在已知被控對象，在給定性能指標的條件下，設計一個滿足給定性能指標的控制系統，這類工程問題稱為系統設計

系統設計包括選擇控制方案、傳感器、執行機構等組成一控制系統，為使系統滿足性能指標的要求，添加校正裝置----稱為系統校正（綜合）1、校正方式校正裝置可以串聯在前向通道之中，形成串聯校正也可以接在系統的局部反饋通道之中，形成并聯校正或反饋校正將校正裝置串聯在系統的輸入端稱為前置校正Gc(s)G(s)H(s)R(s)_C(s)干擾補賞校正P96圖3-142、校正方法根軌跡法校正頻率法校正3、校正的本質

從前面的分析我們知道，系統的零、極點的分布對系統的性能影響很大。

校正的本質：引入校正裝置的目的：就在于用附加零、極點辦法來實現對系統的校正。其本質：

本質就是改變原來的零、極點的分布情況。即改變系統的根軌跡或頻率特性曲線的形狀。以達到改善系統系統性能的目的。

如控制系統的輸入信號r(t)的頻率響應R(jw)有如下特性：，當w≧wm，如左圖所示，通常稱0~wm為輸入頻寬。圖6-3輸入信號的頻率特性二、輸入信號與控制系統帶寬

由于輸入信號多為低頻信號因此輸入信號的帶寬較窄。

在閉環幅頻特性上，幅值等于的頻率wb，稱為系統的截止頻率，對應的頻率范圍0~wb成為系統的頻寬。圖6-4典型閉環頻率特性例如：左圖中R(jw)為輸入信號，頻率較低；F(jw)為干擾信號，而干擾信號集中起作用的帶寬在w1~w2，剛好出與輸入信號帶寬之外，因此控制系統選擇合適的帶寬就能準確復現輸入信號又能完全抑制擾動信號f(t)。對自動控制系統如何合理的選擇帶寬是很重要的。三、基本控制規律分析1．比例（P）控制規律2．積分（I）控制規律3．比例－微分（PD）控制規律4．比例－積分（PI）控制規律5．比例－積分－微分（PID）控制規律1．比例（P）控制規律

具有比例控制規律的控制器稱為比例控制器，又叫P調節器，因為比例控制器的輸出信號能成比例地反映其輸入信號，所以其運動方程為2．積分（I）控制規律

具有積分控制規律的控制器稱為積分控制器，又稱為I調節器。I控制器的輸出信號能成比例地反映其輸入信號的積分，即—r(s)C(s)m(s)3．比例－微分（PD）控制規律

具有比例加微分控制規律的控制器稱為比例－微分控制器，又稱為PD控制器，其輸出信號與其輸入信號的關系為例6-1

設具有PD控制器的控制系統，是分析比較加比例微分控制規律對系統性能的影響。R(s)_C(s)解：在沒有加PD控制器時，給定系統的閉環特征方程為：舉例R(s)_C(s)

從特征方程中看出，該系統的阻尼比為0，此時系統的輸出C(t)為一不衰減的等幅振蕩曲線，系統處于理論上的臨界穩定狀態，實際上是一種不穩定狀態。當系統加入PD控制器后，此時系統的特征方程為：R(s)_C(s)R(s)_C(s)可見系統是穩定的：這是因為系統加入PD控制器后，提高了給定系統的阻尼比，使特征方程的s項的系數由原來的0變化到大于0（即特征方程的各項系數均存在，由原來的缺項變到不缺項）而系統的阻尼比可以通過調節PD控制器中的kp和來實現。微分環節只對動態有反應，而對無變化和變化極其緩慢的輸入信號，沒有控制作用，即相當于開路因此微分環節不能單獨使用。微分環節對輸入的高頻信號反應特別敏感，而噪聲等干擾信號大多為高頻信號，因此容易堵塞放大器，對控制不利。注意4．比例－積分（PI）控制規律

具有比例－積分控制規律的控制器，稱為比例－積分控制器，又稱為PI控制器.PI控制器的輸出信號能同時成比例地反應其輸入信號和它的積分，即例6-2

設如下圖所示的單位反饋系統的不可變部分的傳遞函數為：試分析PI控制器對改善給定系統穩定性能的作用解：由上圖可見，在未加入PI控制器前，系統的開環傳遞函數為：R(s)C(s)—此時系統為1型系統（含一個積分環節），當系統加入PI控制作用后，系統的開環傳遞函數為：

可見系統無差度由1提高到2。由無差度理論可知，無差度的提高，可使系統的穩定性提高，使系統的穩定性能改善。設系統的輸入信號r(t)=Rt，未加入PI控制器時，系統的穩態誤差為：求穩態誤差刻有多種方法:查表的方法在未加入PI控制器使系統為1型系統，系統的輸入信號位r(t)=Rt，1型系統的開環增益即為速度誤差系數，所以：求系統的誤差傳遞函數E(s)/R(s)，然后再由拉斯變換的終值定律，求穩態誤差R(s)C(s)—求速度誤差系數的的方法求穩態誤差可見未加入PI控制器時，系統在給定輸入作用下的穩態誤差為一常數（R/k0)當系統加入PI控制后，系統的開環傳遞函數為（變為Ⅱ系統）：

由此可見在無差度為1的系統中加入PI控制器，可以消除速度信號作用下的穩態誤差，所以說PI控制器可以改善系統的穩態性能。系統的穩態誤差為采用PI控制器后。控制系統的特征方程為：T、Ti、kp、k0皆為正數，所以在上面的特征方程中，變量s的各次冪的系數也將全部大于零，滿足系統穩定的必要條件所以合理的選擇上述各參數，采用PI控制器的1型系統完全可以做到既保證閉環的穩定性又能提高系統的穩態質量（精度）。PI控制器的作用

在保證系統穩定的基礎上，提高系統的無差度，從而使系統的穩態性能得以改善。這是因為PI控制器相當于在系統中增加了一個位于原點的開環極點和一個位于[s]平面左半面的開環零點。而位于原點的極點可以提高系統的無差度，減少系統的穩態誤差，從而改善系統的穩態性能，負零點可以減少系統的阻尼比，從而減少PI控制器極點對系統穩定性和動態過程的不利影響。5．比例－積分－微分（PID）控制規律

由比例、積分、微分基本規律組合起來的控制器，簡稱為PID控制器。這種組合具有三種單獨控制規律各自的特點，其輸出信號與輸入信號之間關系為：由上式可求得PID控制器的傳遞函數由上式可見PID控制器可使系統的無差度增加，因此可以提高系統的穩態性能。另PID控制器還給系統提供了兩個負實零點，相當于增加了兩個一階微分環節（超前環節）這樣可以提高系統的相位裕度，進而提高系統的相對穩定性。在前面的學習中我們知道：相位裕度(r)增加，%減小，從而使ts下降，提高了快速性。也就是說合理調節PID控制器參數后，既可以提高系統的穩定性、又可提高系統的動態性能。因此在要求較高的系統中多采用PID控制器。一、超前校正及其特性§6-2超前校正參數的確定（PD控制器）PD的時域描述1PD控制器對正弦輸入信號的穩態響應仍為同頻率的正弦信號輸出的正弦信號將在相位上超前于輸入信號一個角度，其超前相角是微分時間常數和角頻率的函數，其最大超前相角為900

可見，PD控制器是具有超前特性的元件，所以稱之為超前校正裝置。

在控制系統中，使用具有相位超前特性的控制器作為系統特性校正裝置的校正形式稱為超前校正。在實際運用中，常常采用帶慣性的PD控制器作為超前校正元件，它們的傳遞函數為：它可以通過無源網絡或有源網絡來實現。無源網絡相位超前裝置

將以上方程組進行拉氏變換變換，得到系統的結構框圖1/R1R1CSR2uruc_

可見超前校正裝置是由比例、微分加慣性環節組成。由上式-1/aT零點極點[s]

改變a、T可改變零、極點的位置，即改變頻率特性兩個轉折頻率間的相對位置，從而獲得適當的正相位移。-1/T

從圖中可見零點離虛軸近，極點離虛軸遠。所以超前環節對輸入信號具有明顯的微分作用。所以稱為PD控制器。超前環節的Bode圖正好在兩轉折頻率的幾何中點處。在w=wm處對數幅頻特性

超前角的最大值為若確定了最大補賞角，則可反過來確定參數a。很多書中給出了a和得關系曲線，以及數據關系。

當值較小時，由于最大超前相移較小，故超前校正作用不大；當的取值介于5至20之間時，增加較快，其值為42°～65°，也較大，從而超前作用顯著，這也是在確定超前校正參數時較常采用的依據；當取時，隨值增加變化較小，故的方案極少采用。二、超前校正舉例用頻率法進行超前校正的一般步驟根據穩態誤差要求，確定控制系統的型別和開環增益K。利用已知的開環增益，計算待校正系統的頻率頻率響應根據要求的剪切頻率與相位裕度，由下式計算超前校正環節應當提供的最大超前相位角

由最大超前相位角，利用式（6-2）確定校正裝置的參數a。此時要保證由，確定，為了充分發揮超前校正裝置的相角超前特性，希望對應的角頻率與校正后的剪切頻率重合，即，以保證系統的響應速度。顯然，成立的條件是：

由上式求出，如果等于或近似等于要求的，擇取進行下一步的計算，如果與要求的相差較大，那么必須先按的要求，由（圖6-5）出a，然后在計算出相應的，最后檢驗是否滿足相位裕度的要求。由a，根據（6-3）確定T.驗算以校正的系統是否滿足要求，如不滿足按上述方法再來直到滿足要求為止例

設某控制系統不可變部分的傳遞函數為：要求系統具有如下性能指標開環增益相角裕度幅值裕度剪切頻率解：1）根據誤差的要求取

2）確定開環增益kc后，計算未校正前的

從上面的解題中可見，未校正前的系統幅值裕度滿足要求，其它兩項不滿足要求。因此需要采用超前校正。作出校正前的Bode圖。此時的Wc=6.2rad/s[-20][-40]r=17.9010lga3）計算串聯超前校正裝置必須提供的最大超前角

（從圖中可以看出當Wc取10rad/s時，需要補上的角度要跟大些，所以這里要增加一個）4）由確定校正裝置的參數a由（6-13）式得：得：由（6-2）式變形有由于a=5~20校正效果最佳，所以取a=85)由確定根據（6-17）式有從上式中，求得：？為什么要如此計算，目的在于獲得最大補償角6）由a、確定T由（6-3）式得：7）驗算已校正系統的性能指標

顯然校正后的剪切頻率為：Wc=10rad/s，故校正后的相位裕度為這類問題如果利用Matlab，是非常方便的（1)繪制未校正前的Bode圖，對照要求的性能指標分析系統校正后系統的開環傳遞函數為：Matlab程序%清除內存變量clear;num=[20];den=conv([10],[0.51]);%繪制未校正系統的Bode圖figure(1)bode(num,den);grid%計算未校正系統頻率應[Gm0,Pm0,Wg0,Wc0]=margin(num,den);disp('marginofoldsystem');kg0=20*log10(Gm0);Pm0,Wg0,Wc0,kg0%未校正系統的單位階躍響應圖num=[20];den=conv([10],[0.51]);[numb,denb]=cloop(num,den);step(num,denb)未校正前：Kg0=Inf，Pm0=17.96420，Wc0=6.185，Wg0=Inf

由仿真結果可見，相位裕度與剪切頻率不滿足要求，故需校正，為提高系統的相位裕度，所以采用超前校正裝置。（2）驗算校正系統的性能指標Matlab程序：num=[20];den=conv([10],[0.51]);num1=conv(num,[0.2832,1]);den1=conv(den,[0.0354,1]);%繪制已校正系統的Bode圖figure(2)bode(num1,den1);grid;%計算[Gm,Pm,Wg,Wc]=margin(num1,den1);disp('marginofnewsystem');kg=20*log10(Gm);Pm,Wg,Wc,kg運行上面的程序后，得知：Kg=Inf，Pm=61.3210，Wg=Inf，Wc=10.9224從以上運行結果可見，通過超前校正后系統的性能指標全部得到的滿足。%清除內存變量clear;num=[20];den=conv([10],[0.51]);%繪制未校正系統的Bode圖figure(1)bode(num,den);gridnum=[20];den=conv([10],[0.51]);num1=conv(num,[0.2832,1]);den1=conv(den,[0.0354,1]);num2=[0.2832,1];den2=[0.0354,1];%繪制已校正系統的Bode圖holdonbode(num1,den1);bode(num2,den2);校正前后bode圖的比較觀察校正前后，系統地單位階躍響應通過simulink建模觀察%G(s)=20/s(0.5s+1)-Gx(s)=20(0.2832s+1)/s(0.5s+1)(0.0354s+1)num=20;den=[0.510];[numb,denb]=cloop(num,den)%未校正前step(numb,denb)numx=conv([0.28321],[20]);denx=conv([0.03541],[0.510]);[numxb,denxb]=cloop(numx,denx);%校正后holdonstep(numxb,denxb)通過Malta編程觀察由此可見系統通過超前校正，系統的平穩性和快速行均得到明顯的改善三、超前校正的特點利用超前校正可提高系統的相對穩定性，因為加入一個相位超前環節，使相位裕度提高，提高了系統的相對穩定性。超前校正緩解可提高系統的快速性，因為r增加是系統的Mr和%量下降。Ts減小。超前環節可提高系統穩定性。采用PD控制器，其微分作用相當于增大系統的阻尼比，系統穩定性提高。§6-3滯后校正參數的確定一、滯后校正及滯后校正元件的特征如前所述的PI控制器的運動方程為：則PI控制器的傳遞函數為：

從PI控制器的傳遞函數容易看出，其分子提供相位超前角度小于分母提供的相位滯后角度，就是說總相位是滯后的。因此PI控制器具有滯后特性的元件，稱為滯后校正裝置，

從PI控制器的傳遞函數的表達式，可見PI控制器可提高系統無差度，從而提高系統的精度，降低穩態誤差。

在控制系統中，當采用具有相位滯后特性的控制器作為系統的校正裝置，這種校正形均稱為滯后校正。在實際運用中，采用近似PI控制器實現串聯滯后校正，其傳遞函數為：（6-5）式近似PI控制器可由無源網絡和有源網絡實現滯后校正裝置的頻率特性為：根據上式繪制的Bode圖如下圖所示

與超前校正環節類似，最大滯后角發生在1/T和1/bT的幾何中點處。滯后角的最大值為：二、滯后校正舉例滯后校正的一般步驟根據穩態誤差要求,確定開環增益以K；利用已知的開環增益，計算校正系統的頻率響應判斷未校正系統在動態特性方面是否滿足性能指標的要求如果上一步求出的，則由下式計算未校正系統在要求的剪切頻率處的相位裕度。若大于或略大于要求的相位裕度，則未校正系統在動態特性方面已滿足性能指標的要求，采用串聯滯后校正就能全面滿足性能指標的要求。4）根據對相角裕度的要求，確定剪切頻率如果未校正系統不能滿足相位裕度以及幅值裕度指標的要求就應該在未校正的相頻特性上找到這樣一個頻率，對應的相角等于必要的相位裕度。這里所說的必要的相位裕度等于性能指標要求的相位裕度再加上的相位增量，追加相位增量的目的是補償串聯滯后校正裝置在剪切頻率處產生的相角滯后。例

設某控制系統不可變系統部分的開環傳遞函數為：一般，于是，5）根據下列關系確定滯后校正裝置的參數b和T要求系統的具有如下性能指標：開環增益k=5s-1。相位裕度r>400。幅值裕度kg(dB)>10dB。剪切頻率Wc>0.4rad/s。試確定串聯滯后校正裝置的參數解：（1）計算考慮開環增益的未校正系統的頻率響應%未校正前的階躍響應圖num=[5];den=conv([110],[0.51]);[numb,denb]=cloop(num,den);step(numb,denb)我們可以通過Matlab方便的進行驗證%未校正系統bode圖num=[5];den=conv([110],[0.51]);bode(num,den)（2）計算未校正系統在要求的剪切頻率Wc處的相位裕度[r(Wc)]

就是若將未校正系統的剪切頻率放在要求的wc處，此時得相位裕度為：可見采用滯后校正是可行的。（3）依據對相角增量的要求，確定剪切頻率Wc未校正前的Bode圖如下：Wco=1.8ro=12.90Wc=0.4r=56.9o20lgb本例留12o的相角增量：（4）由Wc確定由（圖6-8）有：（5）由確定T根據經驗公式取（6）驗算已校正系統的性能指標校正后的系統開環傳遞函數為：校正后的相位裕度為：利用Matlab繪制校正后的bode圖%校正前后的bode圖num=[5];den=conv([110],[0.51]);bode(num,den)holdonnumx=conv(num,[11.91]);denx=conv(den,[1191]);bode(numx,denx)%校正后的bode圖num=[5];den=conv([110],[0.51]);numx=conv(num,[11.91]);denx=conv(den,[1191]);bode(numx,denx)%校正前后的bode圖num=[5];den=conv([110],[0.51]);bode(num,den)holdonnumx=conv(num,[11.91]);denx=conv(den,[1191]);bode(numx,denx)%校正裝置的bode圖num=[5];numj=[11.91];denj=[1191];holdonbode(numj,denj)利用Matlab繪制校正后以及的bode圖校正前后的階躍響應曲線%校正前的階躍響應曲線num=[5]