第15章本章主要內容波的干涉

波的衍射

多普勒效應

平面簡諧波的波函數

15.2

波的能量

15.3

15.4

15.5

15.6

非線性波

15.7*

機械波的產生及特征

15.115.1機械波的產生及特征

15.1.1機械波的產生

15.1.2波的分類

15.1.4波振面和波線

15.1.3波的特征量15.1.1機械波的產生振動的傳播過程稱為波動,簡稱為波。機械振動在媒質中的傳播過程稱為機械波。產生機械波的必要條件：波源作機械振動的物體；媒質能夠傳播機械振動的彈性媒質。

波源帶動彈性媒質中與其相鄰的質點發生振動，振動相繼傳播到后面各相鄰質點，其振動時間和相位依次落后。

波動現象是媒質中各質點運動狀態的集體表現，各質點仍在其各自平衡位置附近作振動。15.1.2波的分類橫波：質點的振動方向與波的傳播方向垂直縱波：質點的振動方向與波的傳播方向平行軟繩波的傳播方向質點振動方向軟彈簧波的傳播方向質點振動方向

在機械波中，橫波只能在固體中出現；縱波可在氣體、液體和固體中出現?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。液體表面的波動情況較復雜，不是單純的縱波或橫波。15.1.3波的特征量周期T波速u波長單位時間內振動狀態(或相位)傳播的距離標準單位m/s沿波的傳播方向上,兩個相鄰的同相位質點之間的距離,稱為波長.單位m波動傳播一個波長的距離所需要的時間,稱為周期單位s波的傳播速度、波長、周期或頻率是波的特征量.關系為或

波傳播方向l波速u15.1.3波的特征量關于波速問題:波速取決于媒質的彈性(彈性模量)和媒質的慣性(密度)固體:固體可以產生切變和容變,其相應彈性模量如下計算固體的切變彈性模量固體的容變彈性模量液體和氣體:液體可以產生容變,其容變彈性模量如固體一致對于密度為的固體,在其中傳播橫波和縱波的速度為液體和氣體中傳播縱波的波速為15.1.3波的特征量關于波速問題:波速取決于媒質的彈性(彈性模量)和媒質的慣性(密度)細長棒:沿著棒的長度方向傳播縱波的波速取決于楊氏彈性模量及其慣性波速為緊張的弦上傳播的橫波的波速取決于密度和張力T為弦線單位長度的質量15.1.4波陣面和波線波前波面波線波陣面振動相位相同的點連成的面。波前最前面的波面。平面波（波面為平面的波）球面波（波面為球面的波）波線（波射線）波的傳播方向。在各向同性媒質中，波線恒與波面垂直。15.2.1平面簡諧波的波函數簡諧波:由簡諧振動的傳播所形成的波動。簡諧波又稱余弦波或正弦波，是規律最簡單、最基本的波。各種復雜的波都可以看作是許多不同頻率的簡諧波的疊加

對于機械波，若波源及彈性媒質中各質點都持續地作簡諧振動所形成的連續波，則為簡諧機械波。簡諧波的一個重要模型是平面簡諧波。

平面簡諧波的波面是平面，有確定的波長和傳播方向，波列足夠長，各質點振動的振幅恒定。15.2.1平面簡諧波的波函數XOYu一列平面簡諧波（假定是橫波）觀測坐標原點任設（不必設在波源處）波沿X軸正向傳播（正向行波）xPtxP設位于原點處質點的振動方程為Ocos()jyAOwt+

已知振動狀態以速度沿軸正向傳播。對應同一時刻，

uXtPtux()振動狀態與原點在時刻的振動狀態相同。點的因此，在設定坐標系中，波線上任一點、任意時刻的振動規律為cos()yAjwt+ux這就是沿X軸正向傳播的平面簡諧波動方程。它是時間和空間的雙重周期函數。15.2.1平面簡諧波的波函數沿X軸正向傳播的平面簡諧波動方程cos()yAwtj+ux得cos)yA2ptlxj+)nTcos)A2ptlxj+)wT2pn2puTl波動方程常用周期T波長l或頻率n的形式表達,由消去波速uT和l1分別具有單位時間和單位長度的含義，分別與時間變量和空間變量組成對應關系。

tx115.2.2波函數的物理意義cos()yAwtj+ux若給定，波動方程即為距原點處的質點振動方程xxcos()yAwtj+x2pl距原點處質點振動的初相x若給定，波動方程表示所給定的時刻波線上各振動質點相對各自平衡點的位置分布，即該時刻的波形圖。ttcos()yAwtj+x2plXYO15.2.3波動的微分方程把平面簡諧波的波函數分別對t和x求二階導數得將左邊兩式相比較有如下關系:任一平面簡諧波可以由許多不同頻率的簡諧波合成,所以對任一平面波的波函數分別求t和x的二階偏導,都可以得到右式,它反映了一切平面波的共同特征,稱為平面波的波動方程15.3波的能量現象：若將一軟繩（彈性媒質）劃分為多個小單元（體積元）上下抖動振速最小振速最大v形變最小形變最大t時刻波形t+dt在波動中，各體積元產生不同程度的

彈性形變，具有

彈性勢能pEr各體積元以變化的振動速率上下振動，具有振動動能Ekr總能量15.3波的能量動能動能計算勢能計算波函數波在傳播過程中,任一時刻體元的動能和勢能不僅大小相等,而且相位也相同上式中s為棒的截面積,,且波速15.3波的能量能量密度波在一周期中的能量波的強度一個波長平均能量能量按周期平均能量按波長平均能量介質中單位體積的能量單位時間內通過垂直于波速u的單位橫截面積上的平均能量W/m2us15.4波的干涉干涉

駐波

波的干涉

波的疊加原理

15.4.1

15.4.2

15.4.315.4.1波的疊加原理

幾列波在同一介質中傳播時,在相遇處每列波仍然保持各自原有的特性(波長、頻率、振動方向等）。相遇處質點的振動，是各列波單獨傳播時在該點引起的振動的合成，這種波動傳播的獨立性稱為波的獨立性原理，或波的疊加原理15.4.2波的干涉波的干涉是在特定條件下波疊加所產生的現象。若有兩個波源振動頻率相同振動方向相同振動相位差恒定

它們發出的波列在媒質中相遇疊加時，疊加區域中各質點所參與的兩個振動具有各自的恒定相位差，某些質點的振動始終加強，某些質點的振動始終減弱或完全相消。這種現象稱為波的干涉。能產生干涉現象的波稱為相干波其波源稱為相干波源15.4.2波的干涉相干振動合成相干振動合成分別引起

P

點的振動2pr1ly1

A1coswt+(j1)y2

A2coswt+(j22pr2l)合振動

y

y1+y2

Acos(wt+j)AA12A22A1A2cos2j2j12p++()r2r1ljarctanj12pr1l)(A1sin+j22pr2l)(A2sinj12pr1l)(A1cos+j22pr2l)(A2cosA2()A1()A()Pr1r2y10

A10cos(wt+j1)y20

A20cos(wt+j2)兩相干波源的振動方程21ss15.4.2波的干涉相干振動合成分別引起

P

點的振動:y1

A1coswt+(j1)y2

A2coswt+(j22pr1l2pr2l)合振動

y

y1+y2

Acos(wt+j)A2()A1()A()Pr1r2y10

A10cos(wt+j1)y20

A20cos(wt+j2)兩相干波源的振動方程21ss1AA2A22A1A2cos2++j2j12p()r2r1lp21rljwt()+1p2rljwt()+22jr故空間每一點的合成振幅A保持恒定。jr

P點給定，則恒定。

y1y2

兩振動的相位差相長與相消干涉AA12A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l合成振動的振幅最大+2pkjrr2r12plj2j1（0,1,2,)k...當時maxA12A+Ajrr2r12plj2j1當（0,1,2,)k...時+2pk()+1合成振動的振幅最小minA12AA15.4.2波的干涉15.4.2波的干涉波程差表達式AA2A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l若j2j1即兩分振動具有相同的初相位則取決于兩波源到P點的路程差，稱為波程差djr12rrdr2r12pl+2pkjr（0,1,2,)k...當時即d12rr+kl則合成振動的振幅最大maxA12A+A

波程差為零或為波長的整數倍時，各質點的振幅最大，干涉相長。r2r12pl+pjr（0,1,2,)k...當時則合成振動的振幅最小即2k()+12d12rr+l2k()+1minA12AA

波程差為半波長的奇數倍時，各質點的振幅最小，干涉相消。15.4.3駐波波干涉是特定條件下的波疊加，駐波是特定條件下的波干涉。條件：兩列相干波振幅相等相向傳播發生干涉現象：干涉區域中形成的駐波各質點的振幅分布規律恒定形成一種非定向傳播的波動現象uAl正向行波uAl反向行波2AAmaxAmin0l2波腹波節,15.4.3駐波駐波形成圖解t=

0t=

T

/

8t=

T

/

4t=

3T

/

8t=

T

/

2t=

5T

/

8t=

3T

/

4t=

7T

/

8t=

T

YOXAXA2OY在同一坐標系XOY中正向波反向波+)駐波1yy2y點擊鼠標，觀察在一個周期T

中不同時刻各波的波形圖。每點擊一次，T8時間步進合成駐波y12yy+15.4.3駐波為簡明起見，j1j20,設改寫原式得并用wn2plwu2py1cosA2p()txln2y+cosA2p()txln由正向波反向波cos()Awt+uxy1cos()2yAwt+uxj1j2+駐波方程數學描述y12yy+駐波cosA2p()xltn+cosA2p()tn+xl注意到三角函數關系ab2coscoscos(a+b(((+cosab(2Acos2pxl(cos2ptn得y駐波方程(2Acos2pxl(cos2ptny駐波方程OXY2l2l波節波腹波腹處振幅最大cos2pxl1,波節處振幅最小cos2pxl0,xk2l+k12(),...0,,xk21()l4++k12(),...0,,它的絕對值表示位于坐標x處的振動質點的振幅。即描述振幅沿X軸的分布規律。振幅分布因子n諧振動因子駐波中各質點均以同一頻率作簡諧振動。15.4.3駐波駐波的相位特點駐波的能量特點同一時刻,相鄰兩波節之間的各質點的振動相位相同,波節兩側的各質點的振動相反；駐波不是振動相位的傳播過程，駐波的波形不發生定向傳播最大其它各質點同時通過平衡位置時波節體積元不動，動能Ek0其它各質點同時到達最大位移時波腹其它質點的動能Ek=0波節處形變最大勢能Ep,波腹附近各點速度最大Ek波節及其它點無形變Ep0駐波的能量不作定向傳播，其能量轉移過程是動能與勢能的相互轉移以及波腹與波節之間的能量轉移。聲源水空氣聲源水玻璃由波密媒質到波疏媒質界面反射由波疏媒質到波密媒質界面反射當形成駐波時反射界面上總是出現波腹反射界面上總是出現波節振源固定端反射軟繩自由端反射總是出現波腹總是出現波節當形成駐波時由入射波與反射波產生駐波“半波損失”與15.5波的衍射

15.5.1惠更斯—菲涅耳原理

惠更斯原理：介質中波動傳播到的各點，都可以看成是發射子波的波源，其后的任一時刻，這些子波的包絡面就是新的波陣面。

惠更斯—菲涅耳原理：介質中波動傳播到的各點，都可以看成是發射子波的波源，其后的任一時刻，這些子波的包絡面就是新的波陣面，波陣面上的每一點不僅可以看成是發射子波的波源，而且這些子波波源是相干波源，它們發出的子波是相干波，相干波的干涉決定波的強度。15.5波的衍射

15.5.2波的衍射

當波長與障礙物可比擬的時候，波就可以繞過障礙物而傳播，并且子波的包跡組成新的波振面15.5波的衍射

15.5.3波的反射和折射反射：因為在同一介質中波速相同，所以有折射：在兩種介質中相等時間內有15.6多普勒效應

當觀察者與波源之間有相對運動時，觀察者所測得的頻率不同于波源頻率的現象，稱為多普勒效應。

設觀察者和波源在同一直線上運動波在媒質中的傳播速率（取決于媒質的性質，與波源運動無關）uvs波源相對于媒質的運動速率先明確幾個頻率概念波源在單位時間內振動的次數n（1）波源的頻率（3）波的頻率n單位時間內通過介質中某點的整波的個數觀察者相對于媒質的運動速率vR單位時間內接收到的次數（2）觀察者接收的頻率nR分別討論下述四種情況觀察者所測得的nR（1）（2）相對于介質波源靜止、觀察者運動.相對于介質鳳察者靜止、波源運動（3）相驪于介質波源和鳳察者同時運動15.6多普勒效應1.相對于介質波源靜止觀察者以成向波源運動。vR如果波源靜止觀察者背離波源運動，觀察者測得的頻率為1()uvRnvR觀察者每秒接收到的整波數，即觀察者測得的頻率為lTuu+u+1()+u觀察者測得的頻率是波源的振動頻率的倍。1()+uvRnRvRvRnvRvs0sul波源的振動頻率觀察者測得的頻率vRnvR1.相對于介質觀察者靜止、波源以運動。vs213213132一列等間距的小石子等時先后落入水中，先看一個普通現象波陣面分布是一系列偏心圓。它們所激起的水波的（點擊鼠標）激勵的移動方向波面間距較窄波面間距較寬若在空氣中