自動控制理論方煒安徽工業大學電氣信息學院第三章時域分析法本章的主要內容12控制系統時域響應的性能指標3一階系統的暫態響應4典型輸入信號線性定常系統的時域響應二階系統的暫態響應5高階系統的暫態響應6線性系統的穩定性7安徽工業大學電氣信息學院本章的主要內容89控制系統的穩態誤差10給定穩態誤差和擾動穩態誤差11勞斯—赫爾維茨判據小參量對閉環系統性能的影響安徽工業大學電氣信息學院什么是時域分析?

指控制系統在一定的輸入下，根據輸出量的時域表達式，分析系統的穩定性、暫態和穩態性能。由于時域分析是直接在時間域中對系統進行分析的方法，所以時域分析具有直觀和準確的優點。

安徽工業大學電氣信息學院3-1典型輸入信號⒈脈沖函數：當A=1時，記為。安徽工業大學電氣信息學院理想單位脈沖函數：t0拉氏變換：安徽工業大學電氣信息學院

在實際中，如果系統的脈動輸入量值很大，而持續時間與系統的時間常數相比非常小時，可以用脈沖函數去近似表示這種脈動輸入。如脈沖電壓信號、沖擊力、陣風等。理想的脈沖函數在現實中是不存在的，它只有數學上的意義。

當描述脈沖輸入時，脈沖的面積或者大小是非常重要的，而脈沖的精確形狀通常并不重要。安徽工業大學電氣信息學院⒉階躍函數：A為階躍幅度拉氏變換：A=1時稱為單位階躍函數，記為1(t)。0tr(t)10t1(t)安徽工業大學電氣信息學院如指令的突然轉換，電源的突然接通，負載的突變等，都可視為階躍作用。發生在t=0時的階躍函數，相當于在時間t=0時，把一個定常信號突然加到系統上。安徽工業大學電氣信息學院⒊斜坡函數A=1時稱為單位斜坡函數。拉氏變換：1t0Ax(t)

斜坡函數的一階導數為常量A，這種函數表示由零值開始隨時間t作線性增長（恒速增長）的信號，故斜坡函數又稱為等速度函數。安徽工業大學電氣信息學院

實際中的跟蹤系統，如跟蹤直線飛行目標，輸入信號隨時間逐漸增減變化的系統，都可視為斜坡函數作用。

斜坡函數的一階導數為常量A，這種函數表示由零值開始隨時間t作線性增長（恒速增長）的信號，故斜坡函數又稱為等速度函數。安徽工業大學電氣信息學院⒋拋物線函數A=1時稱為單位拋物線函數。拉氏變換：

拋物線函數的二階導數為常量A，這種函數表示由零值開始隨時間t以等加速度增長的信號，故拋物線函數又稱為等加速度函數。航天飛機控制系統的輸入信號可認為接近等加速度函數。安徽工業大學電氣信息學院[提示]：上述幾種典型輸入信號的關系如下：上述幾種典型響應有如下關系：單位脈沖函數響應單位階躍函數響應單位斜坡函數響應單位拋物線函數響應積分積分積分微分微分微分安徽工業大學電氣信息學院⒌正弦函數拉氏變換：

用正弦函數作輸入信號，可以求得系統對不同頻率的正弦輸入函數的穩態響應，由此分析系統的性能。（第五章頻域分析）實際中，航行海上的船舶，受到海浪的沖擊而顛簸，其信號近似于正弦函數。安徽工業大學電氣信息學院

分析系統特性究竟采用何種典型輸入信號，取決于實際系統在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。

當系統的輸入具有突變性質時，可選擇階躍函數為典型輸入信號；當系統的輸入是隨時間增長變化時，可選擇斜坡函數為典型輸入信號。安徽工業大學電氣信息學院

時域分析以線性定常微分方程的解來分析系統的性能。3-2線性定常系統的時域響應線性常微分方程的解=齊次方程的通解

+非齊次方程的一個特解

齊次方程的通解，只與微分方程（系統本身的特性或系統的特征方程的根）有關。對于穩定的系統，當時間趨于無窮大時，通解趨于零。所以根據通解或特征方程的根可以分析系統的穩定性。

特解與微分方程和輸入有關。一般來說，當時間趨于無窮大時特解趨于一個穩態的函數。安徽工業大學電氣信息學院

系統達到穩態過程之前的過程稱為暫態過程（瞬態過程）。暫態分析是分析暫態過程中輸出響應的各種運動特性。理論上說，只有當時間趨于無窮大時，才進入穩態過程，但在進行分析時，只要輸出量的實際值與希望值之間的偏差不再超過允許的誤差范圍，就認為系統進入穩態過程。

對于穩定的系統，對于一個有界的輸入，當時間趨于無窮大時，微分方程的全解將趨于一個穩態的函數，使系統達到一個新的平衡狀態。工程上稱為進入穩態過程。系統的穩態過程和暫態過程安徽工業大學電氣信息學院穩定的控制系統的單位階躍響應曲線如圖所示：瞬態過程穩態過程瞬態過程穩態過程0tc(t)0tc(t)衰減振蕩單調變化安徽工業大學電氣信息學院

暫態過程的性能指標

通常以單位階躍響應來衡量系統控制性能的優劣和定義暫態過程的時域性能指標。我們根據衰減振蕩的階躍響應曲線來定義系統常用的暫態性能指標。3-3控制系統時域響應的性能指標安徽工業大學電氣信息學院具有衰減振蕩的暫態過程如圖所示：⒈延遲時間輸出響應第一次達到穩態值的50%所需的時間。0tc(t)⒉上升時間輸出響應第一次達到穩態值c(∞)所需的時間。或指由穩態值的10%上升到穩態值的90%所需的時間。安徽工業大學電氣信息學院0tc(t)4.調整時間3.峰值時間輸出響應超過穩態值達到第一個峰值所需要的時間。當輸出量c(t)和穩態值c(∞)之間的偏差達到允許范圍（一般取2%或5%）并維持在此允許范圍之內所需的最小時間。安徽工業大學電氣信息學院5.最大超調量（簡稱超調量）

暫態過程中輸出響應的最大值超過穩態值的百分數。0tc(t)AB安徽工業大學電氣信息學院在上述幾種性能指標中，表示瞬態過程進行的快慢，是快速性指標；而反映瞬態過程的振蕩程度，是穩定性指標。其中和是兩種最常用的性能指標。安徽工業大學電氣信息學院時間tr上升峰值時間tpAB超調量Mp=AB×100%調節時間ts安徽工業大學電氣信息學院3-4一階系統的暫態響應⒈結構圖用一階微分方程描述的控制系統稱為一階系統。-2.閉環傳遞函數可見一階系統相當于一個慣性環節，式中T為時間常數。安徽工業大學電氣信息學院單位階躍響應可見系統的輸出響應由穩態分量和暫態分量兩部分組成，當時間t→∞時，暫態分量衰減為零。這是一條單調上升的指數曲線，初始值為0，穩態值為1。0tc(t)安徽工業大學電氣信息學院一階系統的單位階躍響應具備兩個重要的特點：0.950.980.6321T2T3T4T5T00.20.40.60.81tC(t)C(∞)

可見，調整時間只與時間常數T有關。時間常數越小，系統響應越快。1）當t=T時，即當t等于時間常數T時，響應c(t)達到穩態值的63.2%。調整時間：ts=3T（對應5%誤差帶）或ts=4T（對應2%誤差帶）同樣的方法可以算出，當t=2T、3T、4T和5T時，c(t)將分別上升到86.5%、95%、98.2%和99.3%。安徽工業大學電氣信息學院一階系統的單位階躍響應具備兩個重要的特點：這也是在單位階躍響應曲線上確定一階系統時間常數的方法之一。2）響應曲線的初始斜率等于1/T。上式表明：如果系統輸出響應一直以初始速度1/T上升，則達到穩態值所需的時間恰好為T。0.950.980.6321T2T3T4T5T00.20.40.60.81tC(t)C(∞)斜率=1/T安徽工業大學電氣信息學院一階系統單位脈沖響應

一階系統的單位脈沖響應曲線是一條單調衰減的指數曲線。只包含瞬態分量！！！安徽工業大學電氣信息學院

一階系統在單位斜坡信號輸入作用下，誤差自零開始按指數規律增長，最終趨于常值T。一階系統單位斜坡響應0t

經過足夠長的時間(≥4T)，輸出增長速率近似與輸入相同；安徽工業大學電氣信息學院一階系統單位加速度響應

一階系統在加速度函數輸入作用下，其誤差隨時間推移而增長，直到無限大。安徽工業大學電氣信息學院閉環極點（特征根）：-1/T安徽工業大學電氣信息學院⒈結構圖用二階微分方程描述的控制系統稱為二階系統。它是控制系統常見的組成形式，許多高階系統在一定的條件下常近似地用二階系統來表征。-2.閉環傳遞函數3.5二階系統的暫態響應安徽工業大學電氣信息學院2.閉環傳遞函數這是典型二階系統的傳遞函數，其中安徽工業大學電氣信息學院

二階系統單位階躍響應特征方程為：特征根為：當不同時，特征根和階躍響應有不同的形式。安徽工業大學電氣信息學院負阻尼（ξ<0）極點實部大于零，響應發散，系統不穩定。

-1<ξ<0振蕩發散ξ<-1單調發散特征根為：安徽工業大學電氣信息學院特征根為一對共軛虛根

當時，

此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以稱為無阻尼振蕩頻率。無阻尼情況特征根為：安徽工業大學電氣信息學院特征根為一對具有負實部的共軛復根當時，特征根為：此時階躍響應為衰減振蕩過程。安徽工業大學電氣信息學院當時，階躍響應為衰減振蕩過程欠阻尼情況極點的負實部決定了指數衰減的快慢；虛部是振蕩頻率，稱為阻尼振蕩頻率。安徽工業大學電氣信息學院特征根為兩個相等的負實根當時，特征根為：階躍響應為非振蕩單調上升過程。臨界阻尼情況t=0時切線斜率為0。安徽工業大學電氣信息學院特征根為兩個不相等的負實根當時，特征根為：

階躍響應為非振蕩單調上升過程，但上升速度比臨界阻尼時緩慢。安徽工業大學電氣信息學院特征根為兩個不相等的負實根當時，特征根為：階躍響應為非振蕩單調上升過程，但上升速度比臨界阻尼時緩慢。

過阻尼情況安徽工業大學電氣信息學院

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統。其阻尼比、極點分布和單位階躍響應如下圖所示：安徽工業大學電氣信息學院隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變為有衰減的正弦運動，當時c(t)呈現單調上升運動(無振蕩)。

02468101200.20.40.60.811.21.41.61.82=00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0=21.5wntc(t)反映實際系統的阻尼情況，故稱為阻尼比。安徽工業大學電氣信息學院典型二階系統的性能指標欠阻尼情況

稱為阻尼角到虛軸的距離：到實軸的距離：到原點的距離：極點分布圖0與負實軸夾角：安徽工業大學電氣信息學院典型二階系統的性能指標0tc(t)欠阻尼情況安徽工業大學電氣信息學院典型二階系統的性能指標當時，⒈上升時間欠阻尼情況增大或減小，均能減小，從而加快系統的初始響應速度。安徽工業大學電氣信息學院⒉峰值時間整理得：由于出現在第一次峰值時間，取n=1，有：增大或減小，均能減小，從而加快系統的初始響應速度。閉環極點離實軸越遠，峰值時間越小。安徽工業大學電氣信息學院⒊最大超調量將峰值時間代入得最大超調量只和阻尼比有關，越大，越小。安徽工業大學電氣信息學院00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100越大，超調量越小安徽工業大學電氣信息學院⒋調節時間可見，寫出調節時間的表達式是困難的。可利用包絡線進行近似計算當t≥ts時|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%10響應曲線總在一對包絡線之內。包絡線為安徽工業大學電氣信息學院近似計算：

由于實際響應曲線的收斂速度比包絡線的收斂速度要快，因此可用包絡線代替實際響應來估算調節時間。即認為響應曲線的包絡線進入誤差帶時，調整過程結束。10包絡線為安徽工業大學電氣信息學院當較小時，近似取，且所以調節時間近似與成反比。閉環極點離虛軸越遠，越小。安徽工業大學電氣信息學院阻尼比是二階系統的一個重要參數，用它可以間接地判斷一個二階系統的暫態品質。[總結]在的情況下階躍響應為單調變化曲線，無超調和振蕩，但長。當時，輸出量作等幅振蕩或發散振蕩，系統不能穩定工作。

在的情況下階躍響應為衰減振蕩，暫態性能較好。安徽工業大學電氣信息學院在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調量大，調節時間長，暫態性能差。最大超調量只與有關，所以一般根據來選擇。

在之間，調節時間和超調量都較小。工程上常取作為設計依據，稱為最佳阻尼比。

安徽工業大學電氣信息學院[解]：①閉環傳遞函數為：[例]：如圖所示系統，試求：①和;②和③若要求，當T不變時K=?安徽工業大學電氣信息學院③當T不變時，T=0.25，②安徽工業大學電氣信息學院過阻尼：x>1欠阻尼：0<x<1無阻尼：x=0臨界阻尼：x=1

二階系統單位脈沖響應安徽工業大學電氣信息學院過阻尼：x>1欠阻尼：0<x<1臨界阻尼：x=1無阻尼：x=0

二階系統單位斜坡響應安徽工業大學電氣信息學院為s平面上零點和極點到虛軸距離之比

具有零點的二階系統的暫態響應安徽工業大學電氣信息學院增加閉環零點：影響暫態分量的初始幅值和相位；

不影響衰減系數和阻尼振蕩頻率。安徽工業大學電氣信息學院當α=時，即為無零點的二階系統階躍響應曲線。當其它條件不變時，附加一個閉環零點：超調量上升時間、峰值時間安徽工業大學電氣信息學院α越小,附加零點的影響越大。若x=0.5時，若α>4，則零點可忽略不計。安徽工業大學電氣信息學院在前向通道中串聯比例微分環節安徽工業大學電氣信息學院增加了系統的阻尼比!!結論:1、在欠阻尼二階系統的前向通道中加入比例微分環節后，將使系統的阻尼比增加，有效地減小原二階系統階躍響應的超調量。2、由于閉環系統傳遞函數中加入了一個零點，縮短了調整時間。安徽工業大學電氣信息學院系統的閉環傳遞函數為：用微分負反饋改善系統的性能。--如下圖所示。為使，求的值。并計算加入微分負反饋后的暫態指標。

安徽工業大學電氣信息學院

顯然，加入了微分負反饋后，不變，而增加了倍。安徽工業大學電氣信息學院這時的暫態性能指標為：上例中，若要求，則：和加入微分負反饋前比較：超調量減小，調整時間減小。安徽工業大學電氣信息學院高階系統的傳遞函數為：寫成零極點形式：其單位階躍響應的拉氏變換為：3-6高階系統的暫態響應安徽工業大學電氣信息學院

可見，c(t)不僅與（閉環極點）有關，而且與系數 有關（這些系數都與閉環零、極點有關）。

所以，高階系統的單位階躍響應取決于閉環系統的零、極點分布。安徽工業大學電氣信息學院對于閉環極點全部位于s左半平面的高階系統（否則系統不穩定），指數衰減項（極點為實數）和衰減正弦項（極點為共軛復數）的衰減快慢取決于極點離虛軸的距離。遠，衰減的快；近，衰減的慢。所以，近極點對暫態響應影響大。[定性分析]：若極點遠離原點，則系數小；極點靠近一個零點，遠離其他極點和零點，系數小；極點遠離零點，又接近原點或其他極點，系數大。系數取決于零、極點分布。安徽工業大學電氣信息學院衰減慢且系數大的項在暫態過程中起主導作用。

存在一對離虛軸最近的共軛極點；附近無零點；其他極點距虛軸的距離是它的5倍以上。[主導極點]：滿足下列條件的極點稱為主導極點。

主導極點在c(t)中的對應項衰減最慢，系數最大，系統的瞬態性能指標主要由它決定。具有主導極點的高階系統可近似為二階系統。安徽工業大學電氣信息學院利用主導極點的概念可以對高階系統的特性做近似的估計分析。

在近似前后，確保輸出穩態值不變；在近似前后，暫態過程基本相差不大。高階系統近似簡化原則：安徽工業大學電氣信息學院例如：如果：則：說明：假設輸入為單位階躍函數，則簡化前后的穩態值如下安徽工業大學電氣信息學院3-8線性系統的穩定性一、穩定的基本概念穩定是控制系統的重要性能，也是系統能夠正常運行的首要條件。設系統處于某一平衡狀態。在外部干擾作用的影響下，離開了該平衡狀態。當干擾作用消失后，如果經過足夠長的時間它能自動回復到原來的初始平衡狀態，則稱這樣的系統為穩定的系統。否則為不穩定的系統。注意：以上定義只適用于線性定常系統。安徽工業大學電氣信息學院外加擾動(a)穩定(b)不穩定注意：穩定性是控制系統自身的固有特性，取決于系統本身的結構和參數，與輸入無關。安徽工業大學電氣信息學院大范圍穩定:不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統都能夠恢復到原有的平衡狀態。(a)大范圍穩定安徽工業大學電氣信息學院(b)小范圍穩定否則系統就是小范圍穩定的。對于線性系統，小范圍穩定大范圍穩定。安徽工業大學電氣信息學院不穩定安徽工業大學電氣信息學院臨界穩定：若系統在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統處于臨界穩定狀態。注意：經典控制論中，臨界穩定也視為不穩定。安徽工業大學電氣信息學院二、線性定常系統穩定的充要條件假設系統在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，此時系統的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應，這相當于系統在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t→∞時，若：系統（漸近）穩定。安徽工業大學電氣信息學院理想脈沖函數作用下

R(s)=1對于穩定系統,t

時,輸出量

c(t)=0。安徽工業大學電氣信息學院由上式知：如果pi和i均為負值,

當t時,c(t)0。安徽工業大學電氣信息學院線性定常系統穩定的充要條件系統特征方程的根（即閉環極點）全部具有負實部。或者說，特征方程的根應全部位于s平面的左半平面。穩定區不穩定區臨界穩定s平面

注意：穩定性是線性定常系統的一個屬性，只與系統本身的結構參數有關，與輸入輸出信號無關，與初始條件無關；只與極點有關，與零點無關。安徽工業大學電氣信息學院對于一階系統，只要都大于零，系統是穩定的。對于二階系統，只要都大于零，系統穩定。（負實根或實部為負）

因此，可以根據求解特征方程式的根來判斷系統穩定與否。可見，對于一階和二階線性定常系統，系統穩定的充要條件是其特征方程式的各項系數均為正值。安徽工業大學電氣信息學院對于三階或以上系統，特征方程式的各項系數均為正值只是系統穩定的必要條件而非充分條件。高階系統特征方程式的求解很麻煩，用代數穩定判據就可以不必求解出特征根而判斷出系統特征根實部的正負，從而判斷系統是否穩定。安徽工業大學電氣信息學院3-9勞斯—赫爾維茨判據使用勞斯判據判斷系統穩定性的步驟如下：1.列出系統特征方程式式中各項系數均為實數，且使a0>0。2.判斷各項系數是否都為正值特征方程式各項系數均為正值是系統穩定的必要條件。一、勞斯判據安徽工業大學電氣信息學院3.如果所有系數都是正的，則可以將多項式系數按下列格式列出勞斯陣列表（勞斯表）勞斯表的前兩行由特征方程的系數組成。第一行為1，3，5，…項系數組成，第二行為2，4，6，…項系數組成。安徽工業大學電氣信息學院安徽工業大學電氣信息學院

用同樣的方法，求取表中其它行的系數，一直進行到第n+1行（s0行）為止。為了簡化數值計算，可以用一個正數去除或乘某一行的各項，并不改變穩定性的結論。安徽工業大學電氣信息學院4.根據勞斯表中第一列各元素的符號，用勞斯判據來判斷系統的穩定性

勞斯判據的內容如下：系統穩定的充要條件是勞斯表第一列各元素均為正數。如果第一列系數中有負數，則系統不穩定，且第一列系數符號的改變次數等于特征方程式的根在s平面右半部分的個數。安徽工業大學電氣信息學院例1：特征方程為：，試判斷穩定性。[解]：勞斯表為：系統穩定的充要條件為：均大于零且安徽工業大學電氣信息學院例2：系統的特征方程為：-130（2）100（）勞斯表第一列有負數，系統是不穩定的。其符號變化兩次，表示有兩個極點在s的右半平面。[解]：勞斯表為：安徽工業大學電氣信息學院5.兩種特殊情況1）勞斯表某一行中的第一列項等于零，但其余各項不全為零或者沒有其余項。[處理方法]

用一個很小的正數ε來代替這個零，并據此計算出陣列中的其余各項。如果上下兩項的符號相同，則說明系統存在一對虛根，系統處于臨界穩定狀態；如果不同，表明有一次符號變化，系統不穩定。安徽工業大學電氣信息學院若則例：特征方程式為：，試判斷穩定性。[解]：勞斯表為：故第一列有兩次符號變化，s右半平面有兩個極點，系統不穩定。安徽工業大學電氣信息學院2）勞斯表某一行中所有的系數都為零，表明在s平面內存在大小相等但位置徑向相反的根，至少要下述幾種情況之一出現，如：大小相等，符號相反的一對實根；或一對共軛虛根；或對稱于實軸的兩對共軛復根。大小相等符號相反的實根共軛虛根對稱于實軸的兩對共軛復根安徽工業大學電氣信息學院2）勞斯表某一行中所有的系數都為零[處理方法]可將不為零的最后一行的系數組成輔助方程，并以此輔助方程式對s求導所得方程的系數代替全零的行。

大小相等，位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到，而且根的數目總是偶數（輔助方程應為偶次數的）。安徽工業大學電氣信息學院[例]：168168輔助方程為：求導得：用1，3，0代替全零行即可。或因為第一列元素都大于零，所以系統是穩定的。第一列元素都大于零，說明s右半平面沒有閉環極點。但出現了全零行，表明系統有共軛虛數極點。安徽工業大學電氣信息學院[例]：輔助方程為：此時系統是臨界穩定的。控制工程上認為是不穩定的。系統的共軛虛數極點可由輔助方程求出。解得：安徽工業大學電氣信息學院設系統特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時會出現零行?2出現零行怎么辦?3如何求對稱的根?②由零行的上一行構成輔助方程:①

有大小相等符號相反的特征根時會出現零行s2+1=0對其求導得零行系數:

2s1211繼續計算勞斯表1第一列全大于零,所以系統穩定錯啦!!!勞斯表出現零行系統一定不穩定求解輔助方程得:

s1,2=±j由綜合除法可得另兩個根為s3,4=-2,-3安徽工業大學電氣信息學院設系統的特征方程式為：則系統穩定的充要條件是：，且由特征方程系數構成的赫爾維茨行列式的主子行列式全部為正。古爾維茨行列式的構造：主對角線上的各項為特征方程的第二項系數至最后一項系數，在主對角線以下各行中各項系數下標逐次減小，在主對角線以上各行中各項系數下標逐次增加。當下標大于n或小于0時，行列式中的項取0。

赫爾維茨行列式：二、赫爾維茨判據安徽工業大學電氣信息學院以4階系統為例使用赫爾維茨判據：赫爾維茨行列式為：穩定的充要條件是：安徽工業大學電氣信息學院三、代數判據的應用

判定控制系統的穩定性例：系統的特征方程為：，判斷系統的穩定性。[解]：勞斯表如下：因為，但勞斯表第一列不全為正，所以，系統不穩定。由于勞斯陣第一列有兩次符號變化，所以系統在s右半平面有兩個極點。

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分析系統參數變化對穩定性的影響利用代數穩定性判據還可以討論個別參數對穩定性的影響，從而求得這些參數的取值范圍。若討論的參數為開環放大系數K，則使系統穩定的最大K稱為臨界放大系數KL

。安徽工業大學電氣信息學院例：已知系統的結構圖，試確定系統的臨界放大系數。解：閉環傳遞函數為：特征方程為：安徽工業大學電氣信息學院勞斯表：要使系統穩定，必須①系數皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數特征方程為：安徽工業大學電氣信息學院

確定系統的相對穩定性（穩定裕量）利用勞斯和赫爾維茨穩定性判據確定的是系統穩定或不穩定，即絕對穩定性。在實際系統中，往往需要知道系統離臨界穩定有多少裕量，這就是相對穩定性或穩定裕量問題。安徽工業大學電氣信息學院

確定系統的相對穩定性（穩定裕量）利用實部最大的特征方程的根p（若穩定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離表示系統穩定裕量。

作的垂線，若系統的極點都在該線的左邊，則稱該系統具有的穩定裕度。一般說，越大，穩定程度越高。可用代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-赫爾維茨判據進行判穩。若穩定，則稱系統具有的穩定裕度。安徽工業大學電氣信息學院例：系統特征方程為：。行全為零，以它上面的行組成輔助方程。對輔助方程求導，用其系數代替行，其系數為1。有一對共軛虛根，所以系統的穩定裕量恰為1。用勞斯判據可知它是穩定的。判斷它是否具有穩定裕量a=1。令則：12安徽工業大學電氣信息學院3-10小參量對閉環系統性能的影響小參量：一般指在系統中相對于那些數值大的時間常數而言的小時間常數。例如：處理高階系統時，根據閉環主導極點的概念，可將高階系統視為二階系統。研究小參量處理問題的目的和意義：

簡化數學模型、使系統的階次降低小參量處理問題：在某種前提條件下，用各種方法，或將其忽略不計，或將其做變通處理，使數學模型降階或簡化成易于應用線性系統理論的近似形式。安徽工業大學電氣信息學院一、將小參量忽略不計使模型降階的分析1、對于開環系統忽略小參量只需考慮系統的時間常數的數值相對大小這一條件即可。例如：開環系統的傳遞函數為安徽工業大學電氣信息學院安徽工業大學電氣信息學院2、對于閉環系統忽略小參量不僅需考慮系統的時間常數的數值相對大小，而且還必須考慮系統的開環放大系數（或開環增益）。安徽工業大學電氣信息學院由代數穩定判據可求得系統穩定的條件是如果只考慮時間常數的數值相對大小,將T忽略不計,將系統數學模型從三階降為二階,則系統總是穩定的。但實際情況并非如此。

只有當選定的系統開環增益比臨界開環增益小很多時，可以考慮令T=0，將系統進行降階處理。安徽工業大學電氣信息學院安徽工業大學電氣信息學院安徽工業大學電氣信息學院閉環控制系統忽略小參量的前提條件：

（1）系統中時間常數相對值的大小（2）必須同時考慮系統的開環增益

當系統的開環增益比臨界開環增益小很多時，系統中時間常數相對值很小的參數可以近似為零。安徽工業大學電氣信息學院二、處理小參量應注意的問題1、常見的近似式2、近似式成立的條件（1）存在相對較大的時間常數；（2）開環增益比臨界開環增益小很多。安徽工業大學電氣信息學院

3-11控制系統的穩態誤差

一、誤差及穩態誤差的定義系統誤差：輸出量的希望值和實際值之差。即系統穩態誤差：當t→∞時的系統誤差，用表示。即--+安徽工業大學電氣信息學院系統偏差：系統的輸入和主反饋信號之差。即系統穩態偏差：當t→∞時的系統偏差，用表示。即--+3-11控制系統的穩態誤差安徽工業大學電氣信息學院

對單位反饋系統，給定作用即為輸出量的希望值，，偏差等于誤差,--+--+對非單位反饋系統，給定作用只是希望輸出的代表值，，偏差不等于誤差。安徽工業大學電氣信息學院偏差和誤差之間存在一定的關系：這里是基于控制系統在理想工作情況下得到的。--+

我們將偏差代替誤差進行研究。除非特別說明，以后所說的誤差就是指偏差；穩態誤差就是指穩態偏差。

安徽工業大學電氣信息學院-+①給定作用下的誤差傳遞函數-二、穩態誤差的計算安徽工業大學電氣信息學院-+②擾動作用下的誤差傳遞函數+安徽工業大學電氣信息學院③給定和擾動同時作用下的誤差表達式安徽工業大學電氣信息學院-+教材中定義的擾動作用下的誤差傳遞函數安徽工業大學電氣信息學院

這時，不考慮擾動的影響。可以寫出系統的給定誤差：3-12給定穩態誤差和擾動穩態誤差一、給定穩態誤差終值的計算-+安徽工業大學電氣信息學院對穩定的系統，可利用拉氏變換的終值定理計算穩態誤差只有穩定的系統，才可計算穩態誤差。安徽工業大學電氣信息學院例:系統結構圖如圖所示，當輸入信號為單位斜坡函數時，求系統在輸入信號作用下的穩態誤差；調整K值能使穩態誤差小于0.1嗎？-解：只有穩定的系統計算穩態誤差才有意義,所以先判穩系統特征方程為由勞斯判據知穩定的條件為：由穩定的條件知：不能滿足的要求安徽工業大學電氣信息學院使用拉氏變換終值定理計算穩態誤差終值的條件是:

sEr(s)在s平面右半平面及虛軸上除了坐標原點是孤立奇點外必須解析,即sEr(s)的全部極點除坐標原點外應全部位于s左半平面。如給定輸入為正弦函數時，r(t)=sinwt在s平面的全部虛軸上不解析，就不能使用終值定理去求取系統的穩態誤差終值。安徽工業大學電氣信息學院顯然，與輸入和開環傳遞函數有關。一、給定穩態誤差終值的計算安徽工業大學電氣信息學院式中：——開環放大系數；——積分環節的個數；

——開環傳遞函數去掉積分和比例環節假設開環傳遞函數的形式如下：安徽工業大學電氣信息學院可見給定作用下的穩態誤差與外作用有關；與時間常數形式的開環增益有關；與積分環節的個數有關。安徽工業大學電氣信息學院系統的型號（開環傳遞函數的型）按開環傳遞函數中積分的個數將系統進行分類。當，無積分環節，稱為0型系統當，有一個積分環節，稱為Ⅰ型系統當，有二個積分環節，稱為Ⅱ型系統安徽工業大學電氣信息學院式中：稱為靜態位置誤差系數；

當輸入為時（單位階躍函數）安徽工業大學電氣信息學院

穩態誤差為零的系統稱為無差系統，為有限值的稱為有差系統。的大小反映了系統在階躍輸入下的穩態精度。越大，越小。所以說反映了系統跟蹤階躍輸入的能力。

在單位階躍作用下，0型系統()為有差系統，Ⅰ型以上的系統()為無差系統。安徽工業大學電氣信息學院穩態誤差為零的系統稱為無差系統，為有限值的稱為有差系統。

在單位階躍作用下，0型系統()為有差系統，Ⅰ型以上的系統()為無差系統。有差系統安徽工業大學電氣信息學院當輸入為時（單位斜坡函數）式中：稱為靜態速度誤差系數；

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的大小反映了系統在斜坡輸入下的穩態精度。越大，越小。所以說反映了系統跟蹤斜坡輸入的能力。安徽工業大學電氣信息學院當輸入為時（單位斜坡函數）有差系統安徽工業大學電氣信息學院當輸入為時（單位加速度函數）式中：