*8三元一次方程組1．三元一次方程及三元一次方程組(1)三元一次方程：含有三個未知數，并且含未知數的項的次數都是1的方程叫做三元一次方程．(2)三元一次方程組：①定義：含有三個相同的未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫三元一次方程組．如：等都是三元一次方程組．②拓展理解：a．構成三元一次方程組中的每一個方程都必須是一次方程；b．三元一次方程組中的每個方程不一定都含有三個未知數，但方程組中一定要有三個未知數．【例1】下列方程組中是三元一次方程組的是()．A.C.B.D.解析：A，B選項中有的方程不是三元一次方程，C中含有四個未知數，只有D符合三元一次概念內涵，故選D.答案：D2．三元一次方程組的解(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右兩邊相等的三個未知數的值，叫做三元一次方程的解．和二元一次方程一樣，一個三元一次方程也有無數個解．(2)三元一次方程組的解：組成三元一次方程組的三個方程的公共解，叫做三元一次方程組的解．它也是三個數．(3)檢驗方法：同二元一次方程和二元一次方程組的檢驗方法一樣，代入檢驗，左、右兩邊相等即是方程的解．釋疑點檢驗三元一次方程組的解三元一次方程組的解是三個數，將這三個數代入每一個方程檢驗，只有這些數滿足方程組中的每一個方程，這些數才是這個方程組的解．【例2】判斷是不是方程組的解．答：__________(填是或不是)．解析：把解．代入方程組的三個方程中檢驗，能使三個方程的左右兩邊都相等，所以是方程組的答案：是3．三元一次方程組的解法(1)解法思想：解三元一次方程組的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加減消元法兩種，通過消元將三元一次方程組轉化為二元一次方程組或一元一次方程．(2)步驟：①觀察方程組中每個方程的特點，確定消去的未知數；②利用加減消元法或代入消元法，消去一個未知數，得到二元一次方程組；③解二元一次方程組，求出兩個未知數的值；④將所得的兩個未知數的值代入原三元一次方程組中的某個方程，求出第三個未知數的值；⑤寫出三元一次方程組的解．(3)注意點：①三元一次方程組的解法多種多樣，只要逐步消元，解出每一個未知數即可；②解三元一次方程組時，每一個方程都至少要用到一次，否則解出的結果也不正確．【例3】解方程組分析：觀察方程組中每個方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①，②中的未知數z的系數成倍數關系，故可用加減消元法消去字母z，然后將所得的方程與③組合成二元一次方程組，求這個方程組的解，即可得到原方程組的解．解：①×2＋②，得5x＋8y＝7，④解③，④組成的方程組解這個方程組，得把x＝3，y＝－1代入①，得z＝1，所以原方程組的解為4．運用三元一次方程組解實際問題(1)方法步驟：①審題：弄清題意及題目中的數量關系；②設：設三個未知數；③列：找出實際問題中的已知數和未知數，分析它們之間的數量關系，用式子表示，列出三個方程，組成三元一次方程組；④解：解這個方程組，并檢驗解是否符合實際；⑤答：回答說明實際問題的答案．析規律列三元一次方程組同二元一次方程組的實際應用相類似，運用三元一次方程組解決實際問題要設三個未知數，尋找三個等量關系，列出三個一次方程，組成三元一次方程組．【例4】某個三位數是它各位數字和的27倍，已知百位數字與個位數字之和比十位數字大1，再把這個三位數的百位數字與個位數字交換位置，得到一個新的三位數，新三位數比原三位數大99，求原來的三位數．解：設百位數字為a、十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為100a＋10b＋c，由題意，得化簡，得解這個方程組，得答：原來的三位數是243.5．三元一次方程組的解法技巧解三元一次方程組的基本思路是消元，即化三元為二元，從而轉化為二元一次方程組求解，在這里關鍵是消元，若能根據題目的特點，靈活地進行消元，則可把方程組解得又準確又快捷，下面介紹幾種常見的消元策略供參考．(1)先消系數最簡單的未知數，這樣可以減少運算量，簡化過程．如：中，y的系數較簡單，先消y簡單．(2)先消某個方程中缺少的未知數．若方程組中某個方程缺少某個元，把另外兩個方程結合，消去這個元，轉化為二元一次方程求解．如：因為方程①中缺少y，所以由②，③組合先消去y比較簡單．(3)先消去系數的絕對值相等(或成倍數關系)的未知數，如：三個方程中y的系數成倍數關系，因此先消去y比較簡單．(4)整體代入消元，如：將方程③左邊變形為(x＋y＋z)＋(x－y)－y＝18，作整體代入便可消元求解．(5)整體加減消元：如：在三個方程中，根據未知數x，z的系數特點，可用②＋③－①整體加減消元法來解得y的值．再逐步求解．【例5－1】解方程組分析：因為方程①中缺少未知數y項，故而可由②，③組合先消去y，再求解．解：②×3＋③，得11x＋10z＝35，④解由①，④組成的方程組解得⑤把⑤代入②，得y＝，所以原方程組的解為【例5－2】解方程組分析：經觀察發現①中的5x－15y＝5(x－3y)，這就與②有了聯系，因此，①可化為5(x－3y＋2z)－6z＝38，把②整體代入該方程中，可求出z的值，從而易得x與y的值．解：由①，得5(x－3y＋2z)－6z＝38，④把②整體代入④，得5×10－6z＝38.解這個方程，得z＝2，把z＝2分別代入①，②中，得⑤解⑤，得所以原方程組的解是【例5－3】解方程組分析：方程組中每個未知數均出現了三次，且含各未知數的項系數和均為1，故可采用整體相加的方法．解：①＋②＋③，得x＋y＋z＝17，④再由④分別減去①，②，③各式，分別得z＝3，x＝6，y＝8.所以原方程組的解是6.三元一次方程組的應用歸類三元一次方程組的應用和二元一次方程組的應用類似，也主要包括兩類：(1)構造方程組，通過解方程組解決問題．主要有以下幾種情況．①根據某些數學概念構造方程組，如：2x4my16－5n與x3n＋62my是同類項，根據同類項定義列方程求未知數m，n.②運用非負數的性質構造方程組．如：如果(x＋y－2)2＋|y＋z－4|＋|x－y＋2|＝0，那么x＝__________，y＝__________，z＝__________.根據題意列出三元一次方程組求解．③已知方程的解的情況求未知系數．如：關于x，y的二元一次方程組的解，也是方程3x＋2y＝17的解，則m的值是？根據題意構造一個以x，y，m為未知數的三元一次方程組求解．點評：這類問題的實質是變相的解方程組問題．(2)列方程解應用題，根據實際生活中的情景，列方程組解決實際問題．【例6－1】如果方程組中，x與y的和為2，則m的值是()．A．16B．4C．2D．8解析：方法一：因為x與y的和為2，即x＋y＝2，所以與解這個方程組，求出m＝4.組成一個三元一次方程組方法二：也可以先解求出x，y的值(含m)，再把解得的x，y的值代入x＋y＝2中，求出m.方法三：把x＝2－y代入答案：B解含y，m的二元一次方程組．【例6－2】如果|x－2y＋1|＋|z＋y－5|＋(x－z－3)2＝0，那么x＝__________，y＝__________，z＝__________.解析：根據非負數的和為0，各式都為0，列出三元一次方程組化簡，得解這個方程組，得x＝5，y＝3，z＝2.答案：5327．運用三元一次方程組求代數式的值解三元一次方程組是對消元思想和方法的綜合的、全面的運用，另一方面是將來學習二次函數的必備知識，在本章中，經常出現一類求代數式值的問題，如：已知代數式ax2＋bx＋c，當x分別取1,0,2時，式子的值分別是0，－3，－5，求當x＝5時，代數式ax2＋bx＋c的值．解法：分別將x＝1,0,2代入代數式ax2＋bx＋c中，得到一個三元一次方程組解這個三元一次方程組，求出系數a，b，c的值，再將x＝5回代，再求出當x＝5時，式子ax2＋bx＋c的值．【例7－1】已知x＋2y＋3z＝54,3x＋2y＋2z＝47，2x＋y＋z＝31，那么代數式x＋y＋z的值是()．A．17B．22C．32D．132解析：將三個三元一次方程組成方程組，整體求法，將三個式子相加，得6x＋6y＋6z＝132，兩邊都除以6，解，得x＋y＋z＝22.B正確，故選B.答案：B【例7－2】在等式y＝ax2＋bx＋c中，當x分別取1,2,3時，y的值分別為3，－1,15.則a＝__________，b＝______，c＝______；當x取4時，y的值為______．解析：把x＝1,2,3分別代入y＝ax2＋bx＋c中，得三元一次方程組解這個三元一次方程組得所以等式是y＝10x2－34x＋27，把x＝4代入y＝10x2－34x＋27中，得y＝51.答案：10－3427518.含比例方程的方程組的解法三元一次方程組中，有一類方程，含有比例式子，如這類方程組的解法有兩種方式，一是把方程組根據比例的性質進行化簡，化為一般的三元一次方程組，按常規思路進行解決；二是設參數法，如在上面的方程組中設每一份為k，則x＝3k，y＝2k，z＝1.6k，把它們分別代入③中，得3k＋2k＋1.6k＝66.即6.6k＝66，解得k＝10，所以x＝30，y＝