第第頁高三上學期期末數學試卷（含答案解析）題號一二三四總分得分一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）已知集合，則(

)A. B. C. D.已知角的終邊經過點，則可以為(

)A. B. C. D.已知，為兩個隨機事件，，，則“，相互獨立”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件已知函數的導函數是，且，則實數的值為A. B. C. D.已知函數的部分圖象如圖，，則(

)A.

B.

C.

D.已知的展開式只有第項的二項式系數最大，設，若，則(

)A. B. C. D.給出下列命題，其中真命題為(

)A.，

B.，；

C.，，

D.是的充要條件已知函數，若存在兩個極值點，，當取得最小值時，實數的值為(

)A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）某地為響應“扶貧必扶智，扶智就扶知識、扶技術、扶方法”的號召，建立農業科技圖書館，供農民免費借閱，集了近年的借閱數據如下表：

年份年份代碼年借閱量萬冊

根據上表，可得關于的經驗回歸方程為，則(

)A.

B.借閱量，，，，的上四分位數為

C.與的線性相關系數

D.年的借閱量一定不少于萬冊下列結論正確的有(

)A.若，則

B.若，則

C.若，則

D.若，則已知函數，若將函數的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則(

)A.函數

B.函數的周期為

C.函數在區間上單調遞增

D.函數的圖象的一條對稱軸是直線已知奇函數在上可導，其導函數為，且恒成立，若在上單調遞增，則(

)A.在上單調遞減 B.

C. D.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）設，若，則

．某商場安排甲乙兩名員工，在門口為沒隨身攜帶口罩的顧客發放口罩．昨天，兩人共領到編號的個口罩，每人個，放在盒子里，自上而下依次發放，且甲乙二人發放是隨機的．若個口罩恰好發完，則不同的發放順序有

種．若函數和的圖象有且僅有一個公共點，則函數的圖象在點處的切線方程是

．如圖，在扇形中，，，點為上的動點且不與點，重合，于，于點，則四邊形面積的最大值為

．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，．

求的值

求的面積．

本小題分目前，教師職業越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業規劃之一當前，中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分已知某市年共有名考生參加了中小學教師資格考試的筆試，現從中隨機抽取人的筆試成績滿分分作為樣本，整理得到如下頻數分布表：

筆試成績人數

由頻數分布表可認為該市全體考生的筆試成績近似服從正態分布，其中，近似為名樣本考生筆試成績的平均值同一組的數據用該組區間的中點值代替．

若，據此估計該市全體考生中筆試成績高于的人數結果四舍五入精確到個位

按照比例分配的分層隨機抽樣方法，從筆試成績為和的考生中隨機抽取了人，再從這人中隨機抽取人，記成績不低于分的人數為隨機變量，求的分布列和均值．

參考數據：若∽，則，，

．本小題分已知數列中，，

求證：數列為等比數列

設，記數列的前項和為，求使得的正整數的最小值．本小題分在斜三棱柱中，為等腰直角三角形，，側面為菱形，且，點為棱的中點，，平面平面C.

證明：平面平面

求平面與平面的夾角的余弦值．

本小題分設橢圓，，是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，點在橢圓下外，且．

求橢圓的方程

若，點為橢圓上橫坐標大于的一點，過點的直線與橢圓有且僅有一個交點，并與直線，交于，兩點，為坐標原點，記，的面積分別為，，求的最小值．

本小題分已知函數．

討論函數的零點個數

記較大的零點為，求證：．答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查集合運算的知識，解答本題的關鍵是知道并集的計算方法，屬于基礎題．

直接根據集合的并集運算即可求解．【解答】解：

集合，，

，

故選D．

2.【答案】

【解析】【分析】本題考查了任意角的三角函數的定義．【解答】解：因為點在角的終邊上，

所以，，的終邊在第四象限，

則，

則．

故選D．

3.【答案】

【解析】【分析】本題考查了獨立性與條件概率的關系與充要條件及其判斷，屬于基礎題?！窘獯稹拷猓撼浞中宰C明：若，相互獨立，則，，故充分性成立；

必要性證明：若，化簡得，故必要性也成立

4.【答案】

【解析】【分析】本題考查導數的運算，屬于簡單題．

根據導數的運算法則求解即可．【解答】解：由函數，可得，且，

則，

則實數的值為．

故選D．

5.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查根據三角函數的部分圖像求解析式，正弦函數的圖象和性質．【解答】解：由圖可知，，則，

又，，

由圖可知，所以，所以，

所以，

因為，所以，

令，解得：

關于對稱，則，則，

則．

6.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了二項式定理的應用考查賦值法，屬于基礎題．

由題意得，，，，再令，令，即可得到結果．【解答】解：由題意得，，，，

，

令，得，

令，得，．

故選C．

7.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷，考查充要條件的判斷，屬于基礎題．

利用對數函數的單調性判斷；利用當時不等式成立判斷；利用當時，不等式不成立判斷；利用指數函數的單調性判斷．

【解答】

解：對于選項A，，所以該命題是假命題；

對于選項B，當時，所以該命題是假命題；

對于選項C當時，左邊，右邊，所以該命題是假命題；

對于選項D．時，時，

所以是的充要條件，所以該命題是真命題．

8.【答案】

【解析】【分析】本題考查了利用導數研究函數的單調性，極值與最值．【解答】解：

由題意可知是方程的兩根，所以．

則，

令，

所以，

因為，所以在上單調遞增，

所以取最小值時，取最小值，

令，，

令，

所以在上單調遞增，又且，

所以在內存在唯一的根，則，

即，即，

所以在單調遞減，在上單調遞增，

所以，所以，

所以取最小值，即取最小值時，．

9.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查回歸直線方程和相關系數，屬于基礎題．

根據題意，對各選項逐項判斷即可得解．【解答】解：把代入，可得，所以A正確；

由百分位數的定義知，，，，，的上四分位數為，所以B正確；

因為，所以與正相關，所以，所以C正確；

把代入得，然而萬冊是預測值，不是精確值，所以D錯誤．

10.【答案】

【解析】【分析】本題考查了不等式性質，涉及指數函數，對數函數三角函數的性質，屬于基礎題．【解答】解：由可得，即，而是增函數，所以成立，故A正確

由，可得，故，所以不成立，如，，故B錯誤

當，時，滿足，，故不成立，故C錯誤

由可知，所以，

而在上單調遞增，所以，故D正確．

11.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查三角函數的圖象變換，三角函數的周期性，單調性和對稱性．【解答】解：若將的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，

得到函數，再向右平移個單位長度，得到函數故A正確，

最小正周期為：，故B正確，

當時，，為單調遞增函數，故C正確，

當時，，故D錯誤．

12.【答案】

【解析】【分析】本題考查函數的奇偶性與周期性的應用，考查導數中的單調性問題，屬于較難題．

舉反例，當時，在上單調遞增，可判斷根據函數的奇偶性易得，可判斷選項B；將條件轉化為，賦值，，，即可判斷選項C；因為函數為奇函數，所以函數為偶函數，因此有：，賦值，，即可判斷．【解答】解：當時，滿足題目中的條件，但在上單調遞增，故A錯誤．

因為函數為奇函數，所以，取得，故選項B正確；

因為在上恒成立，

將中的換成，可得：．

所以有．

取得：，所以．

取得：，所以．

，所以，故選項C正確；

由可得：，即．

取得：．

將中的換成，可得．

因為函數為奇函數，所以函數為偶函數，因此有：．

取得：，可得；

取得：，可得；，所以，故選項D正確．

故選BCD．

13.【答案】

【解析】【分析】本題考查了指數對數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【解答】解：正實數滿足，

則，

，

，，

則．

故答案為：．

14.【答案】

【解析】【分析】本題考查了排列組合的綜合應用，屬于中檔題．

先將個口罩均勻分成兩組，然后分給甲乙兩個人，自上而下依次發放，故順序固定，注意甲乙兩個的個口罩不一樣，所以需要進行排列?！窘獯稹拷庀葘€口罩均勻分成兩組，然后分給甲乙兩個人，自上而下依次發放，故順序固定，

故共有種，

故答案為．

15.【答案】

【解析】【分析】解：的導數為，

的導數為，

設，則，

，即，化簡得

，

聯立消得，，

令，

可得在上單調遞增，又

在上有唯一零點，

方程有唯一解，即，

則，．

故，切線的斜率為，切線的方程為．

故答案為：【解答】本題考查了切線方程的求法，屬于中檔題。

16.【答案】

【解析】【分析】本題考查了三角恒等變換，屬于中檔題．【解答】解：因為，，，，

所以，，，

則四邊形的面積為

，

當，即時，四邊形的面積取到最大值．

17.【答案】解：由正弦定理知，

又，所以，

所以，所以．

由知，

，

記的面積為因為，

所以

．

故的面積為．

【解析】本題主要考查了三角恒等變換，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式．

18.【答案】解：由題意，，

此時，故，

所以該市全體考生中筆試成績高于的人數約為人．

進入面試的考生中筆試成績位于、的人數之比為，則抽取的人中成績不低于分的人數為，所以隨機變量的取值為，，．

，，，

所以的分布列為

所以．

【解析】本題主要考查正態分布曲線及其性質，屬于中檔題．

依據表格中數據可得計算出，根據，由估計該市全體考生中筆試成績高于的人數，再根據題意計算的分布列即可。

19.【答案】解：由得，

所以，

因為，則是公比為的等比數列．

由得．

所以，

所以．

所以，因為與互素，所以．

因為

，

所以正整數的最小值為．

【解析】本題考查了等比數列的判斷，數列的綜合應用問題，屬于中檔題．

20.【答案】解：證明：分別取，的中點和，連接，，，

因為，分別是，的中點，所以，且，

因為點為棱的中點，所以，且，

所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以．

因為，是的中點，所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，所以平面，

因為平面，所以平面平面．

因為側面為菱形，且，所以為正三角形，所以，

由知平面平面，所以，，兩兩垂直設，則．

以為坐標原點，，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則，，，，

所以，，，

設平面的法向量為，

則令，得．

設平面的法向量為，

則令，得，

則，，

所以平面與平面的夾角的余弦值為．

【解析】本題主要考查直線與平面垂直，平面與平面垂直二面角的平面角的向量求法，考查空間想象能力，轉化思想和計算能力．

21.【答案】解：因為點在橢圓上，所以，

因為點在橢圓外，且，所以，即，

由解得，，所以橢圓的方程為．

解法一：設點，，并設直線．

將直線代入方程得，即，

因為直線與橢圓有且僅有一個交點，所以，即．

直線的方程為直線的方程為，

聯立方程得，同理得，

所以．

所以，，

所以

，

令，則，

當且僅當，即時取等號．

故當時，取得最小值．

解法二：當直線斜率存在時，設直線的方程為，

聯立得，

因為直線與橢圓有且僅有一個交點，所以，即．

由題意得直線，的直線方程分別為，，設，

由得，同理得，

所以，

又當直線斜率不存在時也滿足．

所以

同理可得，

又因為，由對稱性不妨設，則，

設，則，，

所以，

當且僅當時，取得最小值．

解法三：設點，，則直線，與軸的交點為，

由于直線，，

聯立方程得，

聯立方程

則

，

同理：

，

由此，，所以，其中

所以

．

【解析】本題考查了直線與橢圓的綜合應用，屬于難題。

22.【答案】解：的定義域為，．

，

令，則，所以單調遞減．

因為，，由此可得存在唯一，使得．

所以在單調遞增，在單調遞減，所以，

又，所以存在，使得．

所以在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減．

因為