計算機控制系統北京航空航天大學2010年3月第6章

計算機控制系統的狀態空間設計

6.1離散系統的狀態空間描述6.2離散系統的可控可觀性6.3狀態反饋控制律的極點配置設計6.4狀態觀測器設計6.5調節器設計（控制律與觀測器的組合）狀態空間方法與經典方法1.經典控制適用于SISO（單輸入／單輸出）系統，用傳遞函數G(z),G(s)描述，設計是工程、試湊方法根軌跡設計(s,z)、Bode圖設計(s=j,G=ejTW’)優點：極點位置、頻帶與系統特性直接相關局限性：無法設計MIMO（多輸入／多輸出）系統，多回路系統設計復雜2.狀態空間方法矩陣概念，微分方程、差分方程描述，適用于MIMO系統控制方法多樣化：自適應、最優、非線性、魯棒分析方法：可控可觀性，矩陣理論，線性空間，泛函仍然要用到經典理論中的基本概念：根軌跡、頻帶便于利用智能控制方法線性連續系統的狀態空間描述線性離散系統的狀態空間描述6.1.1由G(z)建立狀態方程例：(1)串行法狀態方程：兩個環節串聯(2)并行法（部分分式法）矩陣形式：A、B、C矩陣都與串行法不同(3)直接實現：Z-1的形式，分子階數低于分母令：有：選：狀態方程：幾種方法的ABC陣不同階數相同實現的傳遞函數相同輸入輸出關系相同（4）由差分方程建立狀態方程有很多種方法：可控標準型，可觀標準型，標準型等介紹一種方法，以n階SISO系統為例選狀態變量：式中：離散狀態方程：（4）由差分方程建立狀態方程例：求：F,G,C,D解：得離散狀態方程：狀態變量選擇不同，可得到不同的狀態方程和輸出方程。狀態變量的個數與系統階數相同輸入和輸出關系不變離散系統的特征方程相同z特征方程,其根為F的特征值，也是線性離散系統的極點。6.1.3采樣系統的狀態方程采樣系統：由連續系統采樣產生的離散系統，采樣后帶有零階保持器，保證采樣輸出在一個采樣周期內不變連續系統狀態方程：方框圖：連續狀態方程的解：eAt－狀態轉移陣離散狀態方程考慮一個采樣周期T，設：由連續方程的解：由于被控對象輸入為ZOH的輸出，u(t)=常值,kTt(k+1)T，因此，u(t)可以作為常值提到積分外面令（k+1)T-=,d=-d,即由kT(k+1)T,由T0

F、G矩陣的求解(1)級數展開法

若A-1存在若A-1不存在,用級數求，或MATLAB指令exp(AT)F、G矩陣的求解(2)拉氏變換法

該方法可求得F陣的解析解形式6.1.4脈沖傳遞函數陣多變量系統用脈沖傳遞函數矩陣Z變換：當x0=0,H—脈沖傳遞函數矩陣Hij(z)—第i個輸出對第j個輸入的z傳遞函數

6.1.5離散狀態方程求解（1）遞推法由x(0)引起由輸入u引起（2）Z變換法例：T＝0.1求：離散狀態方程解：(1)控制器部分設：(2)連續部分

先求A,B，再求F,G

得連續狀態方程：離散化：(3)反饋部分代入控制器第6章

計算機控制系統的狀態空間設計

6.1離散系統的狀態空間描述6.2離散系統的可控可觀性6.3狀態反饋控制律的極點配置設計6.4狀態觀測器設計6.5調節器設計（控制律與觀測器的組合）6.2離散系統的可控可觀性系統的可控可觀性是系統的基本特性，反映了系統的本質

可控：可以設計控制律，改善系統特性

可觀：可以設計觀測器，估計狀態6.2.1可控性與可達性可控性定義：

對式(6-1)所示系統，若可以找到控制序列u(k)，能在有限時間NT內驅動系統從任意初始狀態x(0)到達狀態x(N)=0，則稱該系統是狀態完全可控的。可達性定義：對式(6-1)所示系統，若可以找到控制序列u(k)

，能在有限時間NT內驅動系統從任意初始狀態x(0)到達任意期望狀態x(N)，則稱該系統是狀態完全可達的。(6-1)系統可控不等于可達，但可達一定可控判斷可控、可達性解：

對任意控制序列u(k)，x(2)=x(3)=…=x(k)0,系統可控

對任意控制序列u(k)，不存在x(N)0,系統不可達可達肯定可控（x(N)＝0是任意x(N)的特例

）例：離散系統可控可達應滿足的條件1.可達性條件利用迭代法

為使惟一存在，應滿足下述充分必要條件：（1）x是n維向量，N=n，對n階系統，至少有N步控制（2）必須滿足：可得控制序列：WR－可達陣離散系統可控及可達應滿足的條件2.可控性條件為使上述線性方程組有解，必須若F是可逆的，則或N=n可控陣系統狀態完全可控的充分必要條件，與連續系統條件一致可控性與可達性一致由于采樣系統的狀態轉移陣F=eAT可逆，故采樣系統的可達性與可控性一致。若F-1不存在，用定義判。可控性由系統結構決定，不能通過改變狀態變量、順序或增加控制序列來改變X(N)=0可控性與可達性都描述了系統的結構特性，兩者之間略有差別。對于采樣系統，可控性與可達性是等價的，可用可達性矩陣判斷可控性與可達性。對于純離散系統，若F是可逆的，可控性與可達性等價。若F是奇異的，系統可控不一定可達；系統可達則一定可控，這時應當用定義去判斷系統的可控性與可達性。系統可控性是由系統結構決定的，簡單地改變狀態變量的選取或增加控制序列的步數都不能改變系統可控性。如果系統不可控，也就沒有必要去尋求控制作用，惟一的辦法是修改系統結構和參數，使F、G構成可控對。如果n階系統可控，一般在至多n個采樣周期內即可找到所需控制序列。但前提是控制序列不受限。離散系統可控及可達的有關說明需要指出的是，即使系統是可控的，只有當控制信號的幅值不受限制時，才能確保在至多n個采樣周期內將任意初始狀態轉移到原點。否則，可能會需要更多的采樣周期。例：分析下圖所示系統的可控性，設采樣周期T=1s。若控制量，情況又如何？

解：連續系統狀態方程為

因此，該系統是可控的，在控制量u(k)不受限制情況下，至多需要2個采樣周期即可將任意初始狀態x(0)轉移到原點若u(k)幅值受限，|u(k)

|<=1,此時若仍要求，離散狀態方程

只有當初始狀態x1(0)和x2(0)都處于平行四邊形內部時，才可保證在兩個采樣周期內將系統初始狀態轉移到原點；當初始狀態處于四邊形的外部時，則可能需要更多個采樣周期才能將初始狀態轉移到原點。

6.2.2可觀性與可重構性一般系統的輸出維數p<n狀態的維數，不是全部狀態可測量有時候需要用輸出量構造狀態量（狀態觀測器），條件是系統可觀應用廣泛：傳感器故障下的狀態量估計，利用輸出量估計狀態量的值，實現全狀態反饋

信息重構6.2.2可觀性與可重構性可觀性定義：如果可以利用系統輸出y(k)，在有限的時間NT內確定系統的初始狀態x(0)，則稱該系統是可觀的。

系統的可觀性只與系統結構及輸出信息的特性有關，與控制無關，為此，以后可只研究系統的自由運動：離散系統：6.2.2可觀性可觀性判據：離散系統：

已知

，為使x(0)有解，要求：

(1)N＝n，利用y的N步值(2)唯一確定x(0)是系統可觀的充分必要條件由y可以確定x(0),從而可以唯一確定x(N)系統可觀，一定可重構F-1存在時，可觀＝可重構采樣系統F=eAT,F-1存在以后只講可控，可觀，不再講可達，可重構可重構性定義：如果可以利用系統輸出y(k)，在有限的時間NT內確定系統的初始狀態x(N)，則稱該系統是可重構的。X(N)可探測,但不一定知道全部x（0…k）的值例：研究可觀性解：令離散：系統可觀若：系統不可觀已知，求可微分或差分唯一得到已知，求，需要積分，解不唯一，所以不可觀6.2.3可控可觀性與系統結構的關系1.與傳遞函數的關系系統組成部份S1:可控可觀S2:不可控不可觀S3:可控不可觀S4:可觀不可控系統脈沖傳函傳遞函數只反映了系統中可控可觀那部分狀態S1的特性。離散狀態方程(1)若分子和分母無相消因子，則系統的狀態完全可控(3)若分子和分母無相消因子，則系統的狀態完全可控可觀。若有相消，則可能是狀態不完全可控，也可能是狀態不完全可觀，也可能是狀態既不完全可控又不完全可觀。(2)若分子和分母無相消因子，則系統的狀態完全可觀系統不完全可控可觀：G(z)中發生了零極對消一個n階系統，G(z)有p<n個極點時，一定有零極對消例：研究可控可觀性解：可控陣若可控：可觀陣：當b=a+1時，系統不可控，不可觀發生了全部零極對消系統既不可控，也不可觀2.可控可觀與系統模態的關系離散系統：有各異特征根1,…,n進行相似變換：P－系統的特征向量陣式中：可得：若中第i行全為0，不可控若中第j列全為0，不可觀上例中：令:得：模態不出現在y中，不可觀模態與u無關，不可控6.2.4可控可觀性與采樣周期的關系計算機控制系統＝采樣系統采樣系統可控可觀連續系統可控可觀，反之不一定對于采樣系統，若原連續系統是可控及可觀的，采樣系統仍然可控可觀的充分條件是：對連續系統任意2個相異特征根λp、λq，下式應成立：若連續系統的特征根無復根時，則采樣系統必定是可控及可觀的。例：研究可控可觀性1.連續系統

系統可控可觀

2.離散系統(由L反變換得到):當:

系統為不可控不可觀的(1)K為奇數，k=1不可控，不可觀

(2)K為偶數，k=2

不可控，不可觀

3.傳遞函數連續：離散：（1）k為奇數：cosT=cosk=-1

有一對零極對消，不可控或不可觀將原映射在z=-1處被采樣信號振蕩周期：,采樣周期：脈沖響應：不可控：G(z)比G(s)少一個極點，c(k)與c(t)差別大不可觀：c