第2章自動控制系統的數學模型2.1建立動態微分方程的一般方法

2.2非線性系統微分方程模型的線性化2.3傳遞函數2.4系統動態結構圖2.5自動控制系統的傳遞函數2.6信號流圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系2.1建立動態微分方程的一般方法

微分方程

是控制系統最基本的數學模型，要研究系統的運動，必須列寫系統的微分方程。一個控制系統由若干具有不同功能的元件組成，首先要根據各個元件的物理規律，列寫各個元件的微分方程，得到一個微分方程組，然后消去中間變量，即可得到控制系統總的輸入和輸出的微分方程。昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例2.1R-L-C串聯電路昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例2.2求彈簧-阻尼-質量的機械位移系統的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統原理結構圖和質量塊受力分析圖。圖中，m為質量，f為粘性阻尼系數，k為彈性系數。mfmFF圖2圖1根據牛頓定理，可列出質量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系[需要討論的相關問題]：相似系統和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的。這是因為：若令（電荷），則例2-1的結果可變為：可見，同一物理系統有不同形式的數學模型，而不同類型的系統也可以有相同形式的數學模型。[定義]具有相同的數學模型的不同物理系統稱為相似系統。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統，在此系統中分別與為相似量。[作用]利用相似系統的概念可以用一個易于實現的系統來模擬相對復雜的系統，實現仿真研究。昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例2.3彈簧—阻尼器系統昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系電磁力矩：—安培定律電樞反電勢：—楞次定律電樞回路：—克希霍夫力矩平衡：—牛頓定律例2.4電樞控制式直流電動機昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系電機時間常數電機傳遞系數消去中間變量i,Mm,Eb可得：昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例2.5

熱水電加熱系統，如圖所示，為減小周圍空氣的熱損耗，槽壁是絕熱的，控溫元件是電動控溫開關。

根據能量守恒定律

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系其中Qh——加熱器供給的熱量；

QC——貯槽內水吸收的熱量:

Q0——熱水流出槽所帶走的熱量:

Qi——冷水進入槽帶入的熱量:

Ql——隔熱壁逸散的熱量:C—貯槽水的熱容量；V—流出槽水的流量；H—水的比熱；R—熱阻；Ti—進入槽水的溫度；T—槽內水的溫度；Te—槽周圍空氣溫度。

整理得

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系建立動態微分方程的步驟（1）根據元件的工作原理和在系統中的作用，確定元件的輸入量和輸出量（必要時還考慮擾動量），并根據需要引進一些中間變量。（2）根據各元件在工作過程中所遵循的物理或化學定律，按工作條件忽略一些次要因素，并考慮相鄰元件的彼此影響，列出微分方程。常用的定律有：電路系統的基爾霍夫定律、力學系統的牛頓定律和熱力學定律等等。（3）消去中間變量后得到描述輸出量與輸入量（包括擾動量）關系的微分方程，即元件或系統的數學模型。昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系微分方程標準形式(1)將與輸入量有關的各項寫在方程的右邊；與輸出量有關的各項寫在方程的左邊。(2)方程兩邊導數項均按降階排列。其一般形式為昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系第2章自動控制系統數學模型

2.1建立動態微分方程的一般方法

2.2非線性系統微分方程模型的線性化

2.3傳遞函數

2.4系統動態結構圖

2.5自動控制系統的傳遞函數

2.6信號流圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系2.2非線性系統微分方程模型的線性化

1、幾種常見的非線性昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系2、線性化的方法（1）忽略弱非線性環節（如果元件的非線性因素較弱或者不在系統線性工作范圍以內，則它們對系統的影響很小，就可以忽略）（2）偏微法（小偏差法，切線法，增量線性化法）

偏微法基于一種假設，就是在控制系統的整個調節過程中，各個元件的輸入量和輸出量只是在平衡點附近作微小變化。這一假設是符合許多控制系統實際工作情況的，因為對閉環控制系統而言，一有偏差就產生控制作用，來減小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡點附近。2.2非線性系統微分方程模型的線性化

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系設A(x0,y0)平衡點，函數在平衡點處連續可微，則可將函數在平衡點附近展開成臺勞級數忽略二次以上的各項，上式可以寫成其中這就是非線性元件的線性化數學模型昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系取一次近似，且令有例已知某裝置的輸入輸出特性求小擾動線性化方程。解

在工作點(x0,y0)處展開泰勒級數昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

解在處泰勒展開，取一次近似

代入原方程可得

例某容器的液位高度h與液體流入量Q滿足方程式中S為液位容器的橫截面積。若h與Q在其工作點附近做微量變化，試導出h關于Q的線性化方程。昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系在平衡點處系統滿足

上兩式相減可得線性化方程

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

如果一非線性元件輸入輸出關系如圖所示此時不能用偏微分法，可用平均斜率法得線性化方程為（3）平均斜率法昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系注意：上述幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統，對于某些嚴重的非線性，如

不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數法進行分析。昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

2.1建立動態微分方程的一般方法

2.2非線性系統微分方程模型的線性化

2.3傳遞函數

2.4系統動態結構圖

2.5自動控制系統的傳遞函數

2.6信號流圖第2章自動控制系統的數學模型昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系1拉普拉斯變換2傳遞函數3典型環節的傳遞函數2.3傳遞函數昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系1、復數的有關概念

（1）復數、復函數

復數復函數

例1

（2）模、相角

（3）復數的共軛

（4）解析若F(s)在s點的各階導數都存在，則F(s)在s點解析。

模相角1拉普拉斯變換昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系2、拉氏變換的定義

（1）階躍函數像原像3、常見函數的拉氏變換昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系（2）指數函數昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系（3）正弦函數昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系（1）線性性質4、拉氏變換的幾個重要定理（2）微分定理0初條件下有：昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例求解.

例求解.

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系（3）積分定理零初始條件下有：進一步有：

例求

L[t]=?解.

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例求解.

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系（4）實位移定理例解.

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系（5）復位移定理例例例昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系（6）初值定理例昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系（7）終值定理例例昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系5、用拉氏變換方法解微分方程L變換系統微分方程L-1變換昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系1)拉氏變換的定義

（2）單位階躍2)常見函數L變換（5）指數函數（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數（7）余弦函數6、拉氏變換小結昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系（2）微分定理3)L變換重要定理（5）復位移定理（1）線性性質（3）積分定理（4）實位移定理（6）初值定理（7）終值定理昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系4)拉氏反變換（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）試湊法系數比較法留數法例1已知，求解.昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系用L變換方法解線性常微分方程0初條件n>m:特征根（極點）:相對于的模態昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系用留數法分解部分分式一般有其中：設I.當無重根時昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例2已知，求解.例3已知，求解.昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例4已知，求解一.解二：昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系II.當有重根時(設為m重根，其余為單根)昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例5已知，求解.昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系1拉普拉斯變換2傳遞函數3典型環節的傳遞函數2.3傳遞函數昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

2傳遞函數

1)定義:在零初始條件下，線性定常系統輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。微分方程一般形式（通常有n≥m）：昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系微分方程一般形式：拉氏變換：傳遞函數：昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系2)傳遞函數的性質

(1)G(s)是復函數；(2)G(s)只與系統自身的結構參數有關；(3)G(s)與系統微分方程直接關聯；(4)G(s)=L[k(t)]；(5)G(s)與s平面上的零極點圖相對應。第2章自動控制系統的數學模型

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

（1）原則上不反映非零初始條件時系統響應的全部信息；（2）適合于描述單輸入/單輸出系統；（3）只能用于表示線性定常系統。傳遞函數的局限性昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系例已知某系統在0初條件下的單位階躍響應為：試求：（1）系統的傳遞函數；（2）系統的增益；（3）系統的特征根及相應的模態；（4）畫出對應的零極點圖；（5）求系統的單位脈沖響應；（6）求系統微分方程；（7）當c(0)=-1,c’(0)=0;r(t)=1(t)時，求系統的響應。解.（1）

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系(2)(4)如圖所示(3)(5)昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系(6)（7）昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系其中初條件引起的自由響應部分昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系典型環節的傳遞函數對一個結構復雜的系統，可先將其劃分成各個簡單環節，求出相應的傳遞函數，然后求整個系統的傳遞函數。這些簡單環節稱為典型環節：（1）比例環節：（2）積分環節：（3）理想微分環節：（4）慣性環節：（5）二階振蕩環節：（6）二階振蕩環節：（7）遲延環節(也稱時滯環節或滯后環節)：昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

2.1建立動態微分方程的一般方法

2.2非線性系統微分方程模型的線性化2.3傳遞函數2.4系統動態結構圖2.5自動控制系統的傳遞函數2.6信號流圖第2章自動控制系統數學模型昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系1結構圖的概念和組成1)概念將方框圖中各時間域中的變量用其拉氏變換代替，各方框中元件的名稱換成各元件的傳遞函數，這時方框圖就變成了結構圖。結構圖是一種將控制系統圖形化了的數學模型。2)組成(1)方框：有輸入信號，輸出信號，傳遞線，方框內的函數為輸入與輸出的傳遞函數，一條傳遞線上的信號處處相同。2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

(2)比較點：綜合點，相加點加號常省略負號必須標出

(3)引出點：一條傳遞線上的信號處處相等，引出點的信號與原信號相等。G(s)X(s)Y(s)2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系2結構圖的繪制

例：繪制雙T網絡的結構圖2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系畫圖時G(s)R(s)C(s)從左向右列方程組2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系將上頁方程改寫如下相乘的形式：2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系繪圖：ur(s)為輸入，畫在最左邊。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)--u1(s)-uC(s)這個例子不是由微分方程組——代數方程組——結構圖，而是直接列寫s域中的代數方程，畫出了結構圖。2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系若重新選擇一組中間變量，會有什么結果呢？(剛才中間變量為i1,u1,i2，現在改為I,I1,I2)從右到左列方程：2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系這個結構與前一個不一樣，所以選擇不同的中間變量，結構圖也不一樣，但是整個系統的輸入輸出關系是不會變的。繪圖

2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系3結構圖的等效變換（1）串聯G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

(2)并聯G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系(3)反饋這是個單回路的閉環形式，反饋可能是負，可能是正，我們用消去中間法來證明。G(s)H(s)E(s)R(s)C(s)2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

以后我們均采用Ф(s)表示閉環傳遞函數，負反饋時，Ф(s)的分母為1＋回路傳遞函數，分子是前向通路傳遞函數。正反饋時，Ф(s)的分母為1－回路傳遞函數，分子為前向通路傳遞函數。單位負反饋時2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系4結構圖等效變換方法1)三種典型結構可直接用公式2)相鄰綜合點可互換位置3)相鄰引出點可互換位置注意:1)不是典型結構不可直接用公式2)引出點綜合點相鄰，不可互換位置2.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系引出點移動G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H12.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系G2H1G1G3綜合點移動向同類移動G1G2G3H1G12.4系統動態結構圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

2.1建立動態微分方程的一般方法

2.2非線性系統微分方程模型的線性化

2.3傳遞函數

2.4系統動態結構圖

2.5自動控制系統的傳遞函數

2.6信號流圖第2章自動控制系統數學模型昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系2.5自動控制系統的傳遞函數1系統的開環傳遞函數2閉環系統的傳遞函數3閉環系統的偏差傳遞函數

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系1系統的開環傳遞函數控制系統的典型結構:

前向通道傳遞函數、與反饋通道傳遞函數的乘積稱為系統的開環傳遞函數，相當于昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

2閉環系統的傳遞函數1)給定輸入作用下的閉環傳遞函數

令,系統結構圖等效為

系統輸出對輸入的閉環傳遞函數為

易知

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

2閉環系統的傳遞函數2)擾動輸入作用下的閉環傳遞函數

令,系統結構圖等效為

系統輸出對擾動作用的閉環傳遞函數為

系統在擾動作用下的輸出為

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

2閉環系統的傳遞函數3)給定輸入和擾動輸入同時作用下系統的總輸出根據線性系統的疊加原理，系統在多個輸入作用下，其總輸出等于各種輸入單獨作用所引起的輸出分量的代數和，系統的總輸出為昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

3閉環系統的偏差傳遞函數

偏差是指給定輸入信號與主反饋信號之間的差值，用表示，即

其拉氏變換為

研究各種輸入作用下所引起的偏差變化規律時，常用偏差傳遞函數來表示。

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

3閉環系統的偏差傳遞函數1)給定輸入作用下的偏差傳遞函數

令，此時與之比稱為偏差對給定作用下的閉環傳遞函數，簡稱閉環系統的偏差傳遞函數，用表示，由得

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

3閉環系統的偏差傳遞函數2)擾動輸入作用下的偏差傳遞函數

令，此時與之比稱為偏差對擾動作用下的閉環傳遞函數，簡稱擾動偏差傳遞函數，用表示，由有

昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

3閉環系統的偏差傳遞函數3)給定輸入和擾動輸入同時作用下的總偏差

根據線性系統的疊加原理，可求出系統在給定輸入和擾動輸入同時作用下的總偏差為不難發現，閉環傳遞函數都具有相同的分母，即這正是閉環控制系統的本質特征。通常把這個分母多項式稱為閉環系統的特征多項式，而將其等于零形成的方程稱為閉環系統的特征方程。閉環特征方程的根稱為閉環系統的特征根或閉環系統的極點。昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系

2.1建立動態微分方程的一般方法

2.2非線性系統微分方程模型的線性化

2.3傳遞函數

2.4系統動態結構圖

2.5自動控制系統的傳遞函數

2.6信號流圖第2章自動控制系統數學模型昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系2.6信號流圖1術語介紹

1)節點結構圖中所有的引出點，比較點稱節點。2)前向通路從輸入到輸出，并與任何一個節點相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各傳遞函數的乘積，叫前向通路增益。3)回路起點和終點在同一節點，且與其他節點相交不多于一次的閉合通路叫單獨回路，回路中所有傳遞函數的乘積叫回路增益。昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系4)不接觸回路相互間沒有公共節點的回路稱為不接觸回路。2梅遜公式

任一結構圖中，某個輸入對某個輸出的傳遞函數為2.6信號流圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系式中：n為前向通路的條數Pk為第k條前向通路增益

Δ為系統特征式Δ=1-（所有單獨回路增益之和）+（所有每兩個互不接觸回路增益乘積之和）-（所有三個互不接觸回路增益乘積之和）+……Δk為第k條前向通路特征式的余子式，即將第k條前向通路去掉，對余下的圖再算一次Δ。或在Δ中把與該前向通路相接觸的回路增益置為0后所余下的部分。2.6信號流圖昆明理工大學信息工程與自動化學院自動化系梅遜公式例R-CR(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=