第六章線性反饋系統的狀態空間綜合 已知受控系統結構參數及期望的系統運動形式或特征，確定施加于受控系統的控制規律與參數，稱為綜合。當系統以狀態空間描述以后，系統的狀態含有系統的全部運動信息，若將控制信號設計為狀態與參考信號的函數形成閉環控制，便可得到相當好的控制效果。無論在抗擾動或抗參數變動方面，反饋系統的性能都遠優于非反饋系統。在本章中，將主要討論在不同形式的性能指標下線性定常系統的反饋控制規律的綜合方法，包括建立可綜合的條件及建立控制規律及其算法。 綜合問題中的性能指標可區分為非優化型性能指標和優化型性能指標兩種類型，它們都規定著綜合所得系統運動過程的期望性能。兩者的差別是：非優化指標是一類不等式型的指標，即只要性能值達到或好于期望指標就算實現了綜合的目標；優化型指標則是一類極值型指標，綜合目的是要使性能指標在所有可能值中取極值。本章討論的綜合問題主要涉及的是非優化型指標，它們可能以一組期望的閉環系統極點作為性能指標，討論極點配置問題。系統運動的狀態也即其動態性能，主要是由系統的極點位置所決定。把閉環極點組配置到所希望的位置上，實際上等價于使綜合得到的系統的動態性能達到期望的要求。 以漸近穩定作為性能指標，主要討論各種反饋結構對系統穩定性的影響。 以使一個“多輸入——多輸出”系統實現“一個輸入只控制相應的某個輸出”作為性能指標，其相應的綜合問題即為解耦控制問題。 還有在各種擾動作用下無靜差地跟蹤參考指令的性能指標，其相應的綜合問題為魯棒控制問題（留在下一章專門討論）。 本章最后討論狀態觀測器。在狀態反饋中，假定所有狀態變量如輸出量一樣是可以得到的。實際上，這一假定通常是不成立的。因此，若我們要實現狀態反饋，則必須根據可利用的信息來產生狀態向量估值。這種建立近似狀態向量的裝置即為狀態觀測器。狀態觀測器理論的建立，拓寬了狀態反饋綜合方法的應用范圍。§6.1 常用的反饋結構及其對系統特性的影響§6.2 單輸入-單輸出系統的極點配置§6.3 多輸入-多輸出傳統的極點配置§6.4 解耦控制§6.5 狀態觀測器6.1常用的反饋結構及其對系統特性的影響

無論是在經典控制理論還是在現代控制理論中，反饋都是系統設計的主要方式。但由于經典控制理論是用傳遞函數來描述的，因此它只能以輸出量作為反饋量。而現代控制理論由于是采用系統內部的狀態變量來描述系統的物理特性，因而除了輸出反饋外，還可采用狀態反饋這種新的控制方式。 一、兩種反饋結構 1.狀態反饋 設有n維線性定常系統(6.1)式中分別為n維、p維和q維向量，分別為 階實矩陣。 由式可畫出該系統結構圖如圖6-1(a)所示。圖6-1(a)系統結構圖 在這里，我們研究形如 的線性狀態反饋對原線性定常動態方程的影響。其中v為p維系統參考輸入向量，K是 反饋增益矩陣。按要求，K應為實矩陣。在研究狀態反饋時，我們默認了這樣一個假定，即所有的狀態變量都是可以用來反饋的。 因此，當將系統的控制量u取為狀態變量x的線性函數(6.2)時，稱其為線性的直接狀態反饋，簡稱狀態反饋。由式(6.1)與式(6.2)可以得出加入狀態反饋后系統結構圖如圖6-1(b)所示，將式代入式可得狀態反饋系統動態方程為(6.3)其傳遞函數矩陣可表示為(6.4)圖6-1(b)加入狀態反饋后的結構圖 因此可用系統 來表示引入狀態反饋后的閉環系統。而從式可以看出輸出方程則沒有變化。 2.輸出反饋 系統的狀態常常不能全部測量到，狀態反饋方法就有一定的工程限制，在此情況下，人們常常采用輸出反饋方法。輸出反饋的目的首先是使閉環成為穩定系統，然后在此基礎上進一步改善閉環系統的性能。 當把線性定常系統的控制量u取為輸出y的線性函數(6.5)時，相應的稱為線性非動態輸出反饋，簡稱為輸出反饋。 加入輸出反饋后系統的結構圖如圖6-2所示。圖6-2輸出反饋系統由式(6.1)和式(6.5)可導出輸出反饋的狀態空間描述為(6.6)其傳遞函數矩陣則為：(6.7) 不難看出，不管是狀態反饋還是輸出反饋，都可以改變狀態的系數矩陣。但這并不是說，兩者具有等同的性能。由于狀態能完整地表征系統的動態行為，因而利用狀態反饋時，其信息量大而完整，可在不增加系統的維數的情況下，自由地支配響應特性；而輸出反饋僅利用了狀態變量的線性組合來進行反饋，其信息量便較小，所引入的串、并聯補償裝置將使系統維數增加，且難于得到任意期望的響應特性。一個輸出反饋系統的性能，定有對應的狀態反饋系統與之等同，這時只需令 ，確定狀態反饋增益矩陣是方便的；但是，一個狀態反饋系統的性能，卻不一定有對應的輸出反饋系統與之等同，這是由于令 來確定的解時，或者形式上過于復雜而不易實現，或者陣含有高階導數項而不能實現，或對于非最小相位的受控對象，如含有右極點，而選擇了右校正零點來加以對消時，便會潛藏有不穩定的隱患。不過，輸出反饋所用的輸出變量總是容易測得的，因而實現是方便的；而有些狀態變量不便測量或不能測量，需要重構，給實現帶來麻煩是需要克服的障礙。通過引入狀態觀測器，利用原系統的可測量變量和作為其輸入以獲得x的重構量，并以此來實現狀態反饋（圖6-3）。有關狀態觀測器和帶有狀態觀測器的狀態反饋系統的分析和綜合問題，將在本章的最后幾節中研究。圖6-3利用觀測器來實現狀態反饋 二、反饋結構對系統特性的影響 由于反饋引入后，系統狀態的系數矩陣有了變化，對系統的能控性、能觀測性、系統的穩定性、系統的響應等都有影響。本節我們將研究反饋對能控性、能觀測性，穩定性的影響及對閉環極點位置的影響問題。1.對能控性與能觀測性的影響對此，有如下兩個結論。 結論1狀態反饋的引入，不改變系統的能控性，但可能改變系統的能觀測性。 證設受控系統 的動態方程為

則由 狀態反饋后的系統的動態方程為首先證明：狀態反饋系統為能控的充分必要條件是受控系統為能控。 表示和的能控性判別陣分別為

和由于式中為列向量。將K表為行向量組，即令式中 均為標量，故該式表明 的列是的列的線性組合。同理有 的列是 的線性組合，如此等等。故的每一列均可表為的列的線性組合，由此可得（6.8）另一方面， 又可以看成為的狀態反饋系統，即

所以，同理可得下式（6.9）由式（6.8）和式（6.9）可導出從而能控，當且僅當能控。 再來證明狀態反饋系統不一定能保持能觀測性。對此只需舉反例說明，設為能觀測的，但不一定為能觀測。如考察系統其能觀測性判別陣

滿足 ，故 為能觀測。現引入狀態反饋，取 ，則狀態反饋系統為

其能觀測性判別陣

顯然有 ，故為不完全能觀測。而若取 ，則通過計算可知，為能觀測的。從而表明狀態反饋可能改變系統的能觀測性，這是由于人為地使配置極點和零點相對消造成的。 結論2輸出反饋的引入能同時不改變系統的能控性和能觀測性，即輸出反饋系統 為能控（能觀測）的充分必要條件是受控系統為能控（能觀測）。 證首先，由于對任一輸出反饋系統都可找到一個等價的狀態反饋系統 ,而已知狀態反饋可保持能控性，從而證明輸出反饋的引入不改變系統的能控性。 其次，表示和的能觀測判別陣分別為：

和由于， ,式中為行向量。將F表示為列向量組 ，即 則

令式中 ，為標量，該式表明 的行是 的行的線性組合。同理有的行是 的行的線性組合，如此等等。故 的每一行均可表示為的行的線性組合，由此可得(6.10)進而，可把看成的反饋系統，又有（6.11）從而，由式（6.10）和（6.11）即得

這表明輸出反饋克保持能觀測性。證畢。 2.穩定性與鎮定 狀態反饋和輸出反饋都能影響系統的穩定性。加入反饋，使得通過反饋構成的閉環系統成為穩定系統，就稱為鎮定。鑒于狀態反饋的優越性，這里只討論狀態反饋的鎮定問題。對于線性定常受控系統如果可以找到狀態反饋控制律 為參考輸入使得通過反饋構成的閉環系統

是漸近穩定的，也即其特征值均具有負實部，則稱系統實現了狀態反饋鎮定。在鎮定問題中，綜合的目標不是要是閉環系統的極點嚴格地配置到任意指定的一組位置上，而是使其配置于復數平面的左半開平面上，因此這類問題屬于極點區域配置問題，是指定極點配置的一類特殊情況。利用這一點，可以很容易導出鎮定問題的相應結論。 依據極點配置的基本定理可知，如果系統 為能控，則必存在狀態反饋增益矩陣K，使得 的全部特征值配置到任意指定的位置上。當然，這也包含了使 。因此， 為能控是系統可由狀態反饋實現鎮定的充分條件。狀態反饋鎮定的充分必要條件由下述結論給出。 結論線性定常系統是由主題反饋可鎮定的，當且僅當其不能控部分是漸近穩定的。 證明由 為不完全能控，則必可對其引入線性非奇異變換而進行結構分解：

并且對任意 可導出但知 為能控，故必存在，使 的特征值具有負實部，而狀態反饋對不能控子系統的極點毫無影響。從而即知，欲使的特征值均具有負實部，也就是上述系統由狀態反饋可鎮定的充分必要條件是：不能控部分的特征值均具有負實部。證畢。 3.極點配置問題 當反饋形式確定以后，極點配置問題就是依據希望的指定極點位置來計算反饋增益矩陣的問題。對于狀態反饋而言，單輸入系統的、反饋增益是唯一的，而多輸入系統的反饋增益陣不唯一；但無論是單輸入或多輸入系統，只要系統完全能控，則系統的極點可以實現任意配置。關于狀態反饋的極點配置問題將在6.2、6.3節中詳細介紹。6.2 單輸入-單輸出系統的極點配置

由于一個系統的性能和它的極點位置密切相關，因此極點配置問題在系統設計中是很重要的。這里，需要解決兩個問題：一個是建立極點可配置條件，也就是給出受控系統可以利用雙腿反饋而任意配置其閉環極點所應遵循的條件：另一個是確定滿足極點配置要求的狀態反饋增益矩陣K的算法。 一.極點可配置條件 我們來給出利用狀態反饋的極點可配置條件，應該說明的是，該條件既適于單輸入-單輸出系統，又適于多輸入-多輸出系統。 定理設受控系統狀態方程為（6.12）要通過狀態反饋的方法，使閉環系統的極點位于預先規定的位置上，其充分必要條件是系統（6.12）完全能控。 證明下面就單輸入-多輸出系統的情況證明本定理。這時式（6.12）中B的為一列，記為b。 先證充分性。考慮到一個單輸入能控系統通過 的坐標變換可換成能控規范型式中

即,在單輸入情況下，引入下述狀態反饋，其中 ，則引入狀態反饋向量 后狀態反饋構成的閉環系統狀態陣為（6.13）對于式（6.13）這種特殊形式的矩陣，很容易寫出其閉環特征方程由上式可見，n階特征方程中的n個系數，可通過 來獨立地設置，也就是說的特征值可以任意選擇，既系統的極點可以任意配合著。 再證必要性。如果系統 不能控，就數碼系統的有些狀態將不受u的控制。顯然引入反饋時，企圖通過控制量u來影響不能控的極點將是不可能的。至此，證明完畢。 考慮到實際問題中幾乎所有的系統都是能控的，因此通常總可以利用狀態反饋來控制系統的特征值即振型，而這正是狀態反饋的重要特征之一。 二.單輸入-單輸出系統的極點配置算法 需要解決的是狀態反饋增益矩陣的問題。這里給出一種規范算法。 給定能控矩陣對和一組期望的閉環特征值 ,要確定維的反饋增益矩陣，使 成立。 第1步：計算A的特征多項式，即 第2步：計算由 所決定的希望特征多項式，即

第3步：計算 第4步：計算變換矩陣

第5步：求P；第6步：所求的增益陣 應說明的是，以上規范算法也適于單輸入-多輸出系統；求解具體問題也不一定化為能控規范型，可直接計算狀態反饋系統的特征多項式，式中系數均為的函數。 例6.1給定單輸入線性定常系統為： 再給定一組閉環特征值為： 易知系統為完全能控，故滿足可配置條件。現計算系統的特征多項式：

進而計算于是，可求得

再來計算變換陣或令于是同樣可得 三.狀態反饋對傳遞函數零點的影響狀態反饋在改變系統極點的同時，是否對系統零點有影響，下面對此問題作出具體分析。已知對于完全能控的單輸入-單輸出線性定常受控系統，經適當的線性非奇異變換可化為能控規范型

受控系統的傳遞函數為引入狀態反饋后的閉環系統傳遞函數為（6.15） 上述推導表明，由于與的第n列相同，故與的分子多項式相同，即閉環系統零點與受控系統零點相同，狀態反饋對的零點沒影響，唯使的極點改變為閉環系統極點。然而可能由這種情況，引入狀態反饋后恰巧使某些極點轉移到零點處而構成極、零點對消，這時既失去了一個系統零點，由失去了一個系統極點，并且造成了對消掉的那些極點（即振型）稱為不能觀測。這也是對狀態反饋可能使系統失去能觀測性的一個直觀解釋。6.3 多輸入-多輸出傳統的極點配置 設能控的多輸入-多輸出受控系統動態方程為（6.16）引入狀態反饋控制規律 ，式中K為矩陣，則閉環動態方程為（6.17）適當選擇K陣的個元素，為任意配置n個閉環極點提供了很大的自由，但通常包含大量的數值計算，K陣選擇不唯一，導致傳遞函數矩陣不唯一系統動態響應特性并不相同。這些是多變量系統極點配置問題的特點。其中一種能顯著降低K陣的計算量，它是人為地對K陣的結構加以限制，即不采用滿秩結構（），而采用單位秩結構（），這時可將多輸入-多輸出系統化為等價的單輸入系統，于是可進而采用單輸入系統的極點配置算法。另一種是化為龍伯格能控規范型的極點配置方法，依該法所選的K陣，可使系統有良好的動態響應。下面來分別介紹這兩種方法。 一.化多輸入-多輸出系統為等價單輸入系統的極點配置算法 當K陣取為單位秩結構，則K陣只有一個獨立的行或列，即令，式中為向量，為向量，于是，閉環動態方程為。 再來看單輸入-多輸出受控系統，設能控的動態方程為，，引入狀態反饋，則閉環動態方程為。顯見二者的閉環狀態陣全同，具有相同的閉環極點，故K取單位秩結構的實質就是化多輸入-多輸出系統為等價的單輸入系統，這里等價的含意是指閉環極點配置等價。 K陣取單位秩結構以后，其中含個待定元素，通常由設計者任意規定的p個元素，只待確定k的n個元素以配置n個極點。然而，化成的等價單輸入系統必須滿足能控的條件，才能以來任意配置極點，即要求

但怎樣才能使一個能控的多輸入-多輸出受控系統，化成一個能控的等價單輸入受控系統呢？這里要用到循環矩陣的概念。 1.循環矩陣及其屬性 如果系統矩陣A的特征多項式等同于其最小多項式，則稱其為循環矩陣。或者說，預解矩陣 不可簡約，即與之間無公因子，則為循環矩陣。它有如下一些特征： 1).將循環矩陣化為約當規范型后，每一個不同的特征值僅有一個約當塊； 2).如果的所有特征值兩兩相等，則必定是循環矩陣； 3).若A為循環矩陣，其循環性是指：必存在一個向量b，使向量組可張成一個n維空間，即能控； 4).若能控，且A為循環陣，則對幾乎任意的 維實向量，使單輸入系統的矩陣對為能控（這也是可化為等價單輸入系統任意配置極點的充要條件）； 5).若A為非循環陣，但能控，則對幾乎任意的實矩陣K，為循環陣。 下面我們僅對特性1)作一證明。其余特性可由讀者自行推導。 證明設為A的兩兩相異的特征值，其重數分別為，則可知A的特征多項式：(6.18)再表A的約當規范型為：(6.19)且有 ， 現令 ，則由矩陣理論可知（也即A）的最小多項式為(6.20) 于是，利用循環矩陣的定義，并由（6.16）和（6.18）即知：A為循環矩陣，當且僅當，也即A的約當規范型中每一個不同的特征值僅有一個約當塊。至此，證明完畢。 下面通過舉例來補充說明。設 ，則 ，故A為循環矩陣。此時 顯見與 之間無公因子。有則A則為循環矩陣。設則這里，，故A為非循環矩陣。 已知多輸入-多輸出系統A、B分別為易知能控且A為循環矩陣。其等價的單輸入系統 其只需滿足及便能保證能控。唯有或/和時，不能控，故有屬性4。 設A、B分別為，易知能控，但A為非循環矩陣。引入任意的狀態反饋矩陣如 ，其中為任意非零值，其閉環狀態陣為，其特征值兩兩相異，故為循環矩陣，可以此修正的受控對象來進一步化為等價的單輸入系統，即保障了的能控性，故有屬性5。通常的結構盡可能簡單，數值盡可能小，便可滿足循環性要求。于是對非循環的受控對象的極點配置問題需分兩步進行：第一步引入消去A的非循環性，顯然這不會改變受控對象的能控性， 是能控矩陣對；第二步再引入單位秩狀態反饋矩陣來配置極點。對原受控對象來說，總的狀態反饋矩陣K為 2.多輸入-多輸出系統極點配置定理 若（6.16）所示受控對象能控，則通過線性狀態反饋 可對的特征值任意配置，式中K為實常矩陣。 證若A為非循環矩陣，現引入使得(6.21)式中是循環的。因為能控，所以 能控。因而存在一個維實向量使得也能控。 現引入另一狀態反饋，且取，其中k是實向量。于是式(6.21)成為由于能控，則借助于選擇k，就能任意配置 的特征值。將狀態反饋與狀態反饋合起來，便得 （為K反饋矩陣）于是定理得證。見圖6-4。若不能控，則將它們變換成，這時任何狀態反饋向量都不能影響的特征值。因此我們判定，能夠任意配置的特征值之充分必要條件是能控。圖6-4多變量動態方程的狀態反饋 3.極點配置算法步驟 給定能控矩陣對和一組期望的閉環特征值 要確定維反饋增益矩陣K，是式 成立。 第1步：判斷A是否為循環矩陣。若不是，消去一個階常陣使為循環，并定義；若是，則直接選取 ； 第2步：對于循環矩陣，通過適當選取一個維實常向量，使得也能控； 第3步：對于等價單輸入問題，利用單輸入極點配置問題的算法，求出增益向量k； 第4步：當A為循環時，所求增益矩陣；當A為非循環時，所求增益矩陣則為；

容易看出，在這一算法中，和的選取不是唯一的，有著一定的任意性。從工程實現的角度而言，通常總是希望使得和的選取以達到K的各個元素為盡可能地小。但是總的來說，由這種算法得到的K的各反饋增益值往往偏大。 二.化多輸入-多輸出系統為龍伯格能控規范型的極點配置算法 由第3章可知，能控的多輸入-多輸出系統可化為龍伯格能控規范型，其的對角線上的塊陣，均為維數由能控性指數集確定的友矩陣，當引入狀態反饋陣以后，其仍為結構形式相同的龍伯格能控規范型。若將希望閉環極點按該規范型對角線上塊陣的維數進行分組，分別確定各組的多項式，便可構造僅含友矩陣的對角線分塊矩陣 ,它作為希望的閉環狀態陣，經與相比較便能確定陣諸元。為了敘述簡便，結合一個的一般性例子來說明算法步驟。 第1步：把能控矩陣對化成龍伯格能控規范型，例如

其中S為線性變換矩陣 第2步：把給定的期望閉環特征值按龍伯格能控規范型的對角線塊陣的維數，相應地計算構造希望的閉環狀態陣：希望特征多項式為第3步：由與相比較確定，其中令 ，故為 第4步：據下列各式計算化為龍伯格能控規范型的變換矩陣：

式中為能控性指數集。求并按行分塊，第1行塊含行，…，第m行塊含行；再由各行塊的末行按規則構造變換矩陣。其中、記為第5步：所求的狀態反饋增益矩陣即為

這種計算過程是很規范化的。計算過程中，主要的計算工作為計算變換陣和導出龍伯格能控規范型。而且，由這一算法所求得的K陣諸元的數值常比由算法Ⅰ定出的結果要小得多。這時這種算法的一個優點。并且，如果龍伯格規范型中對角線塊陣的個數愈多，即子塊的維數愈小，則這個優點就愈明顯。 例6.2給定多輸入定常系統為規范型：

再給定期望的一組閉環特征值為 方案1：利用算法Ⅰ，先求出再根據反饋陣的算式，即得并且，容易定出，希望的反饋系統的系統矩陣為：而其特征多項式就是：從而滿足極點配置要求。 方案2：先求出可知期望的閉環系統矩陣應為：于是，利用給出的陣A和上述得到的矩陣，可得：由此可定出所要求的反饋增益矩陣為上述計算方法實質上即為算法1。 并且，通過比較由兩種方案所得到的增益矩陣K可以看出，一般地說，按算法II導出的中元的值從整體上要小于按算法I導出的K中的元。

狀態反饋對多輸入-多輸出系統傳遞函數矩陣的零點的影響已知單變量系統引入狀態反饋后，通常不改變傳遞函數零點，該結論對于多輸入-多輸出系統也是適用的，即狀態反饋通常不改變傳遞函數矩陣的零點。注意到在第三章中關于傳遞函數矩陣的零點的定義，便可將單變量系統的上述結論推廣到多輸入-多輸出系統。但是，傳遞函數矩陣的諸元的分子多項式是受狀態反饋影響而改變的，詳見下面舉例。 例6.3考慮一個雙輸入-雙輸出線性定常系統，其系數矩陣為：容易算出，此系統的傳遞函數矩陣為： 的極點是的零點是。現引入狀態反饋控制，其狀態反饋增益陣為：則可導出狀態反饋系統的各系數矩陣為：并且，相應地，閉環系統的傳遞函數矩陣為：比較和不難看出，狀態反饋的引入，使的極點移動到但的零點仍為，的大部分元傳遞函數的零點與的元傳遞函數的零點很不相同。利用狀態反饋可以影響受控系統的的元傳遞函數的零點這一事實，并注意到極點配置問題中反饋增益矩陣的不唯一性，我們不難得出結論：對于可實現相同極點配置的兩個不同的反饋增益矩陣和，其相應的閉環系統的傳遞函數矩陣和一般是不相同的，從而也就有不同的狀態運動響應和輸出響應。顯然，在極點配置問題的綜合中，應當選取同時使元增益值較小且瞬態響應較好的反饋增益矩陣解。通常按算法II導出的反饋增益矩陣K，較優于其它算法導出的結果。6.4解耦控制 問題描述設受控系統狀態方程為。其中輸入向量和輸出向量有相同的維數m。如果 ，則輸入與輸出之間的關系可用傳遞矩陣表示：上式可展開成 我們稱這些方程是耦合的，因為每一個輸入都影響所有的輸出。如果要在其它輸出都不改變的情況下去調整某個輸出，通常是十分困難的。 定義設如果系統 的傳遞矩陣是對角化的非奇異矩陣，則稱系統是解耦的。這樣一個系統可以看作是由個獨立的子系統所組成。如圖6-5所示。 因此尋求一些控制規律使耦合的多變量系統變成解耦的系統，可以使每一個輸入僅控制一個輸出，即每一個輸出僅受一個輸入控制。圖6-5解耦系統輸入–圖6-6包含輸入變換的狀態反饋 考慮多輸入-多輸出的線性定常系統：（6.22）其中：x為n維狀態向量，u為p維控制向量，y為q維輸出向量。引入三個基本假定： （1），即輸入和輸出具有相同的變量個數； （2）控制律采用狀態反饋結合輸入變換，即 其中K為維反饋增益陣，L為維輸入變換陣，v為參考輸入。相應的反饋系統結構圖如–圖6-6包含輸入變換的狀態反饋圖6-6所示； （3）輸入變換陣L為非奇異，即有 。 由圖6-6可看出包含輸入變換的狀態反饋系統的狀態空間描述為（6.23）而其傳遞函數為（6.24）由已知假定，可知為維有理分式矩陣。 于是所謂解耦問題就是：對由（6.22）式給出的多變量受控系統，尋找一個輸入變換和狀態反饋矩陣對使得狀態反饋系統的傳遞函數矩陣為非奇異對角線有理分式矩陣，即 其中 容易看出，為了綜合解耦控制問題，將面臨兩個有待研究的命題。一個是研究受控系統的可解耦性，即建立使受控系統可通過狀態反饋和輸入變換而實現解耦所應遵循的條件；另一個是給出解耦控制問題的綜合算法，以便對于可解耦的系統，確定出所要求的矩陣對。這些命題的解決，都涉及受控系統傳遞函數矩陣的某些結構特征參數。 傳遞函數矩陣的兩個特征量設為維受控系統傳遞函數矩陣，為它的第個行傳遞函數向量，即有式中均為嚴格有理真分式。 再設為的分母多項式的次數和的分子多項式的次數之差，則的第一個特征向量定義為（6.25a）顯然必為非負整數。當給定后，為唯一確定。 設的分母多項式至多為n次，當中有一元的分子多項式階次為時，便有；當的所有元的分子多項式階次均為零且分母多項式階次均為n時，才有。故有，且諸元分子多項式的最高階數為。用表示有式中表示C的第i行。由于分子多項式的最高階數為，故不存在，…，等階次更高的項，即有考慮，將其展開，由同冪項系數相等的條件可導出諸R矩陣為于是又可導出 （6.25b）該式意味著是使的最小正整數k，而 當k=0，1，…，n-1時有，則由式（6.25b）顯見，特征量也可由受控系統的（A，B，C）來確定。 的第二個特征量定義為（6.26a） 為（）向量，計算可知（6.26b）式（6.26b）表明，特征量也可由（A,B,C）確定。 以上確定的兩個特征量的方法，也可用來確定引入{LK}矩陣對以后的閉環傳遞函數矩陣的特征量、。這時，的第行為

（6.27）式中且可導出(6.28)（6.29）式（6.28）和式（6.29）給出了和的定義式。考慮式（6.25），可驗證存在下列恒等式則對于任意{LK}均成立。考慮 有故 （6.30） 與的關系有下列恒等式 （6.31）證由于即故式（6.31）得證。 可解耦條件線性定常受控系統（6.22）可采用狀態反饋和輸入變換即存在矩陣對{LK}進行解耦的充分必要條件，是如下的維常陣

（6.32）為非奇異。 證明： 必要性：已知對{ABC}存在{LK}可實現解耦，即閉環系統的傳遞函數矩陣為由此并利用的定義，可得這表明為對角線非奇異陣。再知，且L為非奇異，從而即知為非奇異陣。由此必要性得證。 充分性：采用構造性證明，取{LK}為 （6.33）其中，由已知E為非奇異，故存在，而常陣F定義為： （6.34）由考慮式（6.25），有故為對角陣且非奇異，即實現了解耦。充分性得證 上述分析研究說明： （1）受控系統（6.22）能否采用狀態反饋和輸入變換來實現解耦，唯一地決定于其傳遞函數矩陣的兩個特征量和。從表面上看，系統的能控性和能鎮定性在這里是無關緊要的。但是，從解耦合后的系統要能正常地運行并具有良好的動態性能而言，仍需要求受控系統是能控的，或至少是能鎮定的。否則，甚至不能保證閉環系統是漸進穩定的，此時解耦控制也就失去了意義。 （2）判斷受控系統（6.22）能否采用狀態反饋和輸入變換來實現解耦，即可從傳統的傳遞函數矩陣描述來組成判別矩陣E，也可從系統的狀態空間描述來組成判別矩陣E。 （3）用式（6.33）所示的，對可解耦受控系統能實現積分型解耦，解耦后諸單變量系統的傳遞函數均為多重積分器，但是這種解耦系統的動態性能不能令人滿意，故本身并無實際應用價值，它僅是解耦控制的一個中間步驟。由式（6.35）可知，子系統含有個積分器，積分型解耦控制系統的動態方程為（6.36） （4）能控時，一定能控，這是由于與有相同的秩，則狀態反饋不改變系統能控性。當能控，且和都能觀測時，必有，其中子系統維數為。當能控，或不能觀測時，必有 時，子系統的維數，記至于，可根據的能觀測性指數集來確定。

對積分型解耦系統附加狀態反饋實現極點配置問題 為解決積分型解耦系統的動態性能問題，需采用附加反饋以配置所需極點，但引入該反饋后仍應保證閉環系統是解耦系統。為此，將積分型解耦系統首先變換為解耦規范系統，在解耦規范系統中引入附加狀態反饋，可使閉環系統仍然解耦。 現引入一個非奇異線性變換，其中（6.37）式中，；符號×為使非奇異的任意行向量；，為矩陣，為矩陣；為任取的個線性無關行向量，為的不能觀測狀態。以上變換實為對積分型解耦系統進行按能觀測性的結構分解。可以證明（略），對能控的積分型解耦系統，經以上變換可以化為下列解耦規范型（6.38）式中，其中，虛線分塊化表示按能觀測性的結構分解形式，當 為能觀測時，則中不出現不能觀測部分，也無需進行按能觀測性分解；此時。其中的子系統的形式為式中是能控子系統，階矩陣塊是不能觀測，（由能觀測但引入了后不能觀測生成）。還應注意到階矩陣塊也是不能觀測的（由不能觀測）。 對解耦規范型中的諸子系統引入狀態反饋，式中用以實現子系統的極點配置。而對整個解耦規范系統 所引入的狀態反饋控制規律為，式中（6.39）可得閉環系統動態方程為

（6.40）還可導出閉環傳遞函數矩陣（6.41）和這表明，的結構形式保證了解耦控制的實現，而 的元則由解耦后的第個單輸入-單輸出控制系統的期望極點組所決定。而且，不難看出，由于需保證實現解耦，狀態反饋所能控制的不是的全部特征值。對于不能觀測的狀態變量必須是穩定的，否則，表示不存在穩定的解耦控制規律。 利用，可得原閉環系統動態方程為故原受控對象為實現解耦以及配置極點的矩陣對應分別為（6.42） 例6.4 給定輸入雙-輸出的線性定常受控系統為：試設計解耦控制規律。解易知受控系統能控并且能觀測①計算和由此，即可定出②判斷可解耦性顯然，可解耦性判別陣為非奇異，因此可進行解耦。③導出積分型解耦系統定出再取則有容易看出，保持為能觀測，且已處于解耦規范型。所以，無需進一步引入變換，也即。④相對于解耦規范型確定狀態反饋增益矩陣將取為：則可得再來指定解耦后的單輸入-單輸出系統的期望特征值，分別為：于是，通過求得從而⑤給出給定受控系統實現解耦控制和極點配置的控制矩陣對解耦控制系統的狀態方程和輸出方程為：而其傳遞函數矩陣則為：

由以上介紹可以看出，解耦控制大大簡化了控制過程，使得對各個輸入變量的控制都可以單獨地運行。在許多工程問題中，特別是過程控制中，解耦控制有著重要意義。6.5 狀態觀測器 狀態重構問題前面各節對各種綜合問題的討論中已經充分顯示了狀態反饋的優越性。不管是系統的極點配置、鎮定以及解耦控制，都有賴于引入恰當的狀態反饋才能實現。我們把所有的狀態變量都假設為同輸出一樣是可以得到的，但是實際上由于不易直接測量，或者由于測量設備在經濟上和使用性上的限制，使得不可能實際獲得系統的狀態變量，從而使狀態反饋的物理實現成為不可能。因此，為了應用狀態反饋達到鎮定、最優化或解耦的目的，必須先找到狀態變量的合理替代者。在本節中，我們將指出如何用動態方程的輸入和輸出去驅動一個裝置，使得該裝置的輸出逼近狀態變量。這種建立近似狀態變量的裝置稱為狀態觀測器。一.開環形式的狀態觀測器 設有一個受控系統，其狀態變量不一定能取得，因此可以人為地建立一個模擬系統，并要求。兩個系統由同一輸入，如圖6-7所示。圖6-7開環形式狀態觀測器分別寫出原系統和模擬系統的動態方程：原系統，模擬系統，根據假設，并設表示兩系統狀態變量間的偏差，則有（6.43）由上式可以看出兩系統狀態變量偏差的動態特性完全由狀態A所決定。 求出式（6.43）的時域解：(6.44)由式(6.44)可以看出只要置狀態觀測器狀態變量的初值 等于原系統的初值，則，但實際上做不到這一點，所以一般情況下按式(6.44)變化與初始狀態偏差成比例。如果(6.44)中A含有較理想的特征值，如特征值的實部都為負，則衰減速度快，能使很快趨近于0，實現→；如果A含有不穩定特征值，在那么即使和間偏差很小，也會導致隨著t的增加而使越來越大。受控對象的A陣往往不夠理想，各類擾動因素又難以重構，開環形式的狀態觀測器沒有應用價值，使用的狀態觀測器都是閉環形式的。本節將介紹兩類閉環形式的狀態觀測器：全維的和降維的。維數等同于受控系統的狀態觀測器稱為全維狀態觀測器，維數小于受控系統的狀態觀測器成為降維狀態觀測器。利用狀態觀測器實現狀態反饋的系統如圖6-8所示。 二、閉環形式的狀態觀測器 全維狀態觀測器 考慮n維線性定常系統

(6.45)其中，A、B、C分別為，和實常陣。所謂全維狀態觀測器，就是以y和u為輸入，且其輸出滿足如下關系式(6.46)的一個n維線性定常系統。設計全維狀態觀測器的步驟：首先，根據已知的系數矩陣A、B和C，按和原系統相同的結構形式，復制出一個基本系統，并與原系統共用同一個輸入量u。其次，取原系統輸出y和復制系統輸出之差值信號作為修正變量，并將其經增益矩陣L反饋到復制系統中積分器的輸入端而構成一個閉環系統，如圖6-9所示。顯然，這個重構系統是以原系統的可測量變量u和y為輸入的一個n維線性系統，其中待確定的系數矩陣只有L。從圖6-9可導出全維狀態觀測器的動態方程為 (6.47)

其中修正項起反饋作用，它利用來消除從而使，故有閉環形式的狀態觀測器之稱，該項是為了克服開環形式狀態觀測器的上述問題而引入的。圖6-8閉環形式的狀態觀測器圖6-9全維狀態觀測器 考慮到并將其帶入式(6.47)，則此種全維狀態觀測器的動態方程可表為

(6.48)相應地觀測器的結構圖可表為圖6-10所示。圖6-10全維狀態觀測器再設為真實狀態和估計狀態間的誤差，則可導出 (6.49)該式表明，不管初始誤差為多大，只要使矩陣的特征值(i=1，2，…，n)均具有負實部，那么一定可做到下式成立即實現狀態的漸進重構。進而，如果可通過選擇增益陣L而使(i=1，2，…，n)任意配置，則的衰減快慢是可被控制的。顯然，若均具有小于-的負實部，則可斷言的所有分量將以比要快的速度衰減至零，即可使重構很快趨于真實狀態 。不難理解，在趨于的過渡過程中，使用或作為反饋，系統將有不同的瞬態響應。通常系統狀態觀測器的響應速度要比狀態反饋系統的響應速度要快些。 可任意配置極點的條件 設由式(6.45)所給出的n維線性定常系統是能觀測的，即若{AC}為能觀測，則比可采用由(6.48)所表述的全維觀測器來重構其狀態，并且必可通過選擇增益陣L而任意配置(A-LC)的全部特征值。 證明：利用對偶原理，{AC}能觀測意味著能控。再利用極點配置問題的基本理論可知，對任意給定的n個實數或共軛復數特征值，必可找到一個實常陣K，使式成立。進而由于與其轉置矩陣具有等同的特征值，故當取時就能使式成立，也即可任意配置的全部特征值。于是，證明完畢。 由上述結論及其證明過程，我們可歸納出設計全維狀態觀測器的算法。 算法 給定被估計系統，設為能觀測，再對所要設計的全維觀測器指定一組期望的極點，則設計全維狀態觀測器的步驟為： 第一步：導出對偶系統 ； 第二步：利用極點配置問題的算法，由矩陣對來確定使的反饋增益陣K； 第三步：取 ；第四步：計算，則所要設計的全維狀態觀測器就為而即為的估計狀態。 值得說明的是，當不完全能觀測但不能觀測子系統是穩定的，則稱受控系統是可檢測的，這時觀測器可鎮定，觀測器仍存在，為不能觀測子系統的特征值不再能任意配置。 例6.5 試求下屬系統的全維狀態觀測器，使觀測器的兩個極點，使解 ①

系統能觀測 ②確定K陣，使令得 ③取

④計算得到全維狀態觀測器為觀測器如圖6-11所示。圖6-11降維狀態觀測器 降維狀態觀測器 q維輸出系統有q個輸出變量總是可由傳感器測得的，該q個信息能作為測得的狀態，該部分狀態便便無需狀態觀測器重構，而可直接加以利用，帶有狀態觀測器估計的狀態數目可以降低，稱這類狀態觀測器為降維觀測器。降維觀測器的最小維數為(n-q)，這時只需用較少的積分器，簡化了狀態觀測器的結構。 由于輸出變量通常是狀態變量的線性組合，并不是用于狀態反饋所需要的狀態變量。為了使所測得的輸出變量能當作狀態反饋所使用的狀態變量，需選擇一個特定的非奇異線性變換，將受控對象的狀態向量經過該特定變換，使其中部分狀態正是受控系統的輸出向量，而其余(n-q)個狀態向量則由降維狀態觀測器重構。因此，降維狀態觀測器的設計關鍵便是：選擇特定的非奇異線性變換，使原受控對象的狀態變量變成輸出向量及(n-q)維向量兩個子向量，并獲得(n-q)維子系統的動態方程。根據(n-q)維子系統動態方程，便可構造(n-q)維狀態觀測器，其基本的設計步驟便于全維狀態觀測器的設計類同了。狀態反饋需用的狀態信息則由輸出量傳感器及降維狀態觀測器聯合提供

(n-q)維子系統動態方程的建立