長程相互作用復雜系統研究前沿簡介

----以經濟物理為例一、金融問題的物理對應二、布朗運動的表述三、中心極限定理的前提及金融問題四、統計物理的相關前沿研究五、現今金融主要解決方案六、重要參考資料一、金融問題的物理對應物理上的勻速運動金融價格（或者是股指等）是隨著時間不斷運動變化的……為了滿足可加性：單位時間對數收益率――對應速度我們可以清楚地看到在價格取對數之后，金融問題的研究可以等效于在物理上對運動的研究。因此和金融對數價格變化規律類似的物理問題研究可以直接聯系到金融問題研究上來。后面討論的相關內容都是在價格取對數后作出的。二、布朗運動(BrownianMotion)的表述及金融對應1827年植物學家布朗發現水中懸浮的微粒不停地做無規則運動。布朗運動也數學上也被稱為維納過程，是一個隨機過程。我們可以做這樣一個簡單的假設，金融產品的價格都隨著時間不停地無規則變化著。1905年愛因斯坦根據擴散方程建立了布朗運動的統計理論。直至現在，大部分的統計理論都是基于愛因斯坦建立的擴散方程。各類金融成本的計算方法一般都有一個前提假設：波動呈現布朗過程。如被成為第二次華爾街革命的布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes）提出的關于期權定價問題的可行性解決方法的第一條就是假設金融價格波動服從維納過程。這一成果榮獲1997年諾貝爾經濟學獎。通過愛因斯坦的擴散方程可以得到了兩條最為重要的統計規律：位移平方的平均值于時間間隔的關系：應用到金融問題上，我們可以得到不同時間間隔下的對數收益率平均漲落滿足的關系。如兩個小時的平均收益率約等于一個小時平均收益率的1.41倍。2、位移的分布函數滿足高斯分布形式（也被稱為正態分布）：應用到金融問題上，假設我們知道一個小時的對數收益率平均漲落值（標準差）為a。則對數收益率處于區間[-a,a]的概率為68.3％，處在區間[-2a,2a]的概率為95.4％等等。通過擴散方程我們可以得到所有想得到系統變化規律，如前面提到的期權定價解決方法。上面只是先簡單地介紹一下布朗運動的重要結論，然而后面我們將看到布朗運動并不能準確地描述金融價格的變化規律，上面的兩條結論并不符合金融實際。接下去我將從布朗運動的前提假設和實證結果兩方面來講述這個問題。三、中心極限定理（CentralLimitTheorem）的前提及金融問題經過發展，愛因斯坦的擴散方程在1920s發展為數學上的中心極限定理。對于中心極限定理，數學上有嚴格的前提假設：1、獨立同分布:金融表述：每一時刻的價格波動與其他時刻的價格波動無關，每個個體的金融行為與其他個體的金融行為無關等等。然而金融系統是長程相關和長時記憶的。金融問題：保險成本的計算――各個公司各個行業業績無關聯――導致次級債危機。2、高次矩發散:簡單理解：在學校里面每天變化位置不超過1KM，坐火車飛機遠超過100KM。金融表述：短時間內價格發生相對巨大的波動，金融行為突然間表現出極大的異常。然而金融行為異常波動的概率要遠比高斯分布來得大得多。金融問題：對波動計算不足導致巨大損失。

在這里我們從前提上看到了布朗運動并不能準確地描述金融問題。我們在上面也可以看到，忽視前提而作出的結論可能會導致無法預計的災難。然而要克服上述兩條基本假設提出更為合理的理論是一件十分困難的任務，是各個相關學科都在關心的問題。四、統計物理的相關前沿研究現今大量現象表明，在具有長程相關與長時間記憶效應的系統里面，運動不再滿足中心極限定理的表述方式，而改變為更加一般的形式：位移平方的平均值于時間間隔的關系：，滿足之前的形式被成為正常擴散，滿足上述形式的被成為反常擴散。自關聯函數為：會引起整體的正相關或負相關效應。金融對應：價格波動的跟風效應，一定的可預測性。2.位移的分布函數滿足q-高斯分布形式（也被稱為TSALLIS分布）：，，分布函數簡化冪律形式：既人們常說的二八分布。金融對應：實際波動情況被修正，可以精確計算結果。

簡單的舉幾個例子說明上述現象：1995年標準普爾500指數對數波動擴散關系圖：MantegnaRN,StanleyHE1996Nature383,587人的腦電波波動分布形式：PHYSICALREVIEWE76,061903（2007）地震振幅波動圖PHYSICALREVIEWE75,055101（R）（2007）等離子體：PHYSICALREVIEWE75,016405（2007）十只最有價值的紐約證券交易所股票的對數價格波動分布圖PhysicaA324(2003)89我們可以看到這些具有長程相關或長時記憶效果的系統，表現出來的性質不能被布朗過程所描述。我們還可以看到他們表現出很多和金融價格波動類似的規律，因而一定程度上可以借鑒來作為研究金融價格波動規律的參考。五、現今金融主要解決方案--GARCH(GeneralizedAutoregressiveconditionalheteroskedasticitymodel)及存在的問題羅伯特·恩格爾(RobertF.Engle)1982年提出ARCH模型，2003年諾貝爾經濟學獎。波勒斯勒夫（TimBollerslev）1986年提出GARCH模型(GeneralizedARCH)：從布朗運動到GARCH過程，一定程度上解決了中心極限定理前提下有限相關的問題，能產生形狀和Q-高斯類似的分布函數，然而并不能給出分布確切的表達式。但是，GARCH過程本質上是從布朗過程演變而來，無法解決二次矩發散問題，而且結果是正常擴散的，并不能描述反常擴散現象。金融描述：GARCH過程可以在一定程度上描述有限距離和時間內的價格波動關聯，然而無法描述價格的急劇振蕩現象和價格波動的跟風效應。六、重要的參考資料書：從拋物線談起:混沌動力學引論(第2版)，郝柏林，2013經濟物理學導論，曼特尼亞

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斯坦利

，2006金融物理學導論，周煒星，2007經濟物理學，黃吉平，2013綜述論文：計量經濟學的地位、