第一節不等關系與不等式

點擊考綱1.了解現實世界和日常生活中的不等關系．2.了解不等式(組)的實際背景.

關注熱點1.以考查不等式的性質為重點，同時考查不等關系，常與函數、數列、幾何、實際問題等相結合進行綜合命題．2.常以選擇題的形式考查不等式的性質，主要在其他知識交匯點處命題.

1．實數的運算性質與大小順序之間的關系設a，b∈R，則(1)a>b?

；(2)a＝b?

；(3)a<b?

.a－b>0a－b＝0a－b<02．不等式的基本性質(1)a>b?

；(2)a>b，b>c?

；(3)a>b?

；(4)a>b，c>0?

；a>b，c<0?

；(5)a>b，c>d?

；(6)a>b>0，c>d>0?

；(7)a>b>0?

(n∈N且n>1)；(8)a>b>0?

(n∈N且n>1)．b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bdan>bn1．不等式組a≤x≤b且c≤y≤d與a＋c≤x＋y≤b＋d等價嗎？提示：不等價．“a≤x≤b且c≤y≤d”是“a＋c≤x＋y≤b＋d”的充分不必要條件．1．下列不等式：①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m.其中正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：顯然①②正確，對③，m≤0時不成立，對④，m≤0時不成立．答案：B答案：D3．“a＋b>2c”的一個充分非必要條件是()A．a>c或b>c B．a>c或b<cC．a>c且b>c D．a>c且b<c解析：由不等式的基本性質知，a>c且b>c?a＋b>2c，所以C是a＋b>2c的充分非必要條件．答案：C4．某地規定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等關系寫成不等式為________．解析：設最低生活保障金為x元，則x≥300.答案：x≥3005．設f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)，g(x)的大小關系是________．解析：∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x) 某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．該車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式．【方法探究】

(1)用不等式(組)表示實際問題時，應注意實際問題中的關鍵性的文字語言與對應的數學符號之間的正確轉換．(2)注意區分“不等關系”和“不等式”的異同，不等關系強調的是關系，可用“>”，“<”，“≥”，“≤”，“≠”表示，不等式則是表現不等關系的式子．(3)對于實際問題中的不等關系，可以從“不超過”、“至少”、“至多”等關鍵詞上去把握，并考慮實際意義。提醒：在實際問題中要注意變量x、y應滿足的條件．【思路導引】

用特殊值法或直接利用不等式的性質求解．【答案】

D【方法探究】

要熟練掌握不等式的性質，特別是它的可乘性，在應用時很容易出錯，要引起重視．另外，要注意不等式的性質與函數單調性的綜合應用．答案：B

(1)已知m∈R，x∈R，試比較x2－x＋1與－2m2－2mx的大小．(2)已知a，b，c∈{正實數}，且a2＋b2＝c2，當n∈N，n>2時，比較cn與an＋bn的大小．【思路導引】

(1)作差法，通過因式分解或配方法判斷差的符號；(2)本題需比較的式子是冪的形式，因此考慮作商法．【方法探究】

(1)“作差法”比較大小的關鍵是判斷差的正負，常利用配方、因式分解、函數的單調性等方法，當兩個式子都為正時，有時也可先平方再作差．(2)“作商法”的關鍵是判斷商與1的大小，但注意商式分母的正負．解析：法一：∵y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.法二：令a＝3，b＝2，c＝1得z>y>x.答案：z>y>x1．(2009·四川高考)已知a，b，c，d為實數，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】

∵c>d，∴－c<－d，a>b，∴a－c與b－d的大小無法比較；當a－c>b－d成立時，假設a≤b，－c<－d，∴a－c<b－d，與題設矛盾，∴a>b.綜上可知，“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分條件．【答案】

B【答案】

A【評價探究】

兩題主要考查不等式的性質和大小比較，以及推理判斷能力．單純考查性質的題目不多，常與函數、導數、數列等結合起來，有時與充要條件結合起來，以選擇題和填空為主．【考向分析】

從近兩年的高考試題來看，不等關系、不等式的性質及應用等是高考的熱點，題型既有選擇題，又有填空題，難度為中低檔；客觀題突出對不等式性質的靈活運用，與不等式有關的集合的運算，也是常考題型；主觀題考查絕對值不等式、不等式性質的應用，有時考查轉化思想、數形結合思想．預測2012年高考仍將以不等關系、不等式性質及應用為主要考查點，重點考查邏輯推理能力．答案：D2．如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中不一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0答案：C3．若x＋y>0，a<0，ay>0，則x－y的值為()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．符號不確定解析：∵a<0，ay>0?y<0，又∵x＋y>0?x>0，又－y>0，∴x－y>0.故本題應選A.答案：A4．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a答案：D5．(2011·東北四市聯考)已知0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2，a1≠b1，則關于三個數：a1b1＋a2b2；a1b2＋a2b1；a1a2＋b1b2的大小關系說法：①a1b1＋a2b2最大；②a1b2＋a2b1最小；③a1a2＋b1b2最小；④a1b2＋a2b1與a1a2＋b1b2的大小不能確定，其中正確的是________．解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)>0