7.7離散控制系統的穩態性能分析

對于離散系統來說，影響穩態誤差的因素除了系統連續部分的結構、參數和外部輸入信號外，穩態誤差還與采樣開關的位置、采樣周期的大小有關。7.7.1利用終值定理求穩態誤差穩態誤差定義為：若E(z)的全部極點在z平面的單位圓內（或在z=1處)。則由終值定理求得7.7.2離散系統的型別與靜態誤差系數分析典型輸入信號作用下的穩態誤差與系統結構、參數的關系。將開環脈沖傳遞函數G(z)中包含的z=1極點個數ν定義為系統的型別。

1.當輸入信號為單位階躍函數時的穩態誤差

定義靜態位置誤差系數

可見，當時，有，則2.當輸入信號為單位斜坡函數時的穩態誤差

定義靜態速度誤差系數

可見，當時，有，則3.當輸入信號為單位加速度函數時的穩態誤差

定義靜態加速度誤差系數可見，當時，有，則系統型別ν靜態誤差系數穩態誤差0非零有限值

00∞∞Ⅰ∞非零有限值00∞Ⅱ∞∞非零有限值00Ⅲ∞∞∞000系統靜態誤差系數、穩態誤差與典型輸入、系統型別之間的關系

已知采樣系統結構如圖所示。采樣周期T=0.2秒，輸入信號

試用靜態誤差系數法，求該系統的穩態誤差。

解：

Ⅱ型系統例7-36為應用終值定理，須判別系統的特征根是否在單位圓內。特征方程：

兩個閉環極點，系統是穩定的。

整理得到7.8根軌跡和頻率特性在離散系統分析中的應用

1.根軌跡法

線性離散系統的開環脈沖傳遞函數為：

系統的閉環特征方程為幅值方程和相角方程為（根軌跡方程）2.頻率特性法首先利用w變換將系統的開環脈沖傳遞函數變成稱為虛擬頻率。

令

,得到開環虛擬頻率特性

繪制系統的開環對數幅頻特性曲線相頻特性曲線按照繪制的對數頻率特性曲線，可以用連續系統中的分析方法判斷離散系統的穩定性，計算幅值裕量和相位裕量，確定靜態誤差系數，以評價系統的瞬態性能和穩態性能。也可以用尼柯爾斯圖求得閉環頻率特性，然后計算系統的諧振峰值、諧振頻率及帶寬等頻域性能指標。虛擬頻率和實際頻率之間具有關系：

根據幅值方程和相角方程，可以用連續系統根軌跡的作圖法則，作出離散系統的根軌跡。需要注意的是，在連續系統中，決定系統臨界穩定狀態的是根軌跡與s平面虛軸的交點，而在離散系統中，決定系統臨界穩定狀態的是根軌跡與z平面上單位圓的交點。7.9線性定常離散系統的數字校正

線性定常離散系統設計中，常用的性能指標有兩類：第一類指標與連續系統的大致相同，包括瞬態性能指標、穩定裕量、靜態誤差系數、頻域性能指標等。瞬態性能指標有時也通過閉環主導極點的位置或阻尼比的形式給出。第二類指標是離散系統特有的，要求系統在典型輸入信號作用下，具有零穩態誤差和最小時間響應。與連續系統一樣，離散系統也可以采用串聯校正、局部反饋校正和復合校正幾種方式。本節介紹串聯數字控制器的設計。7.9.1數字控制器的模擬化和離散化設計方法1.數字控制器的模擬化設計方法數字控制器由于連續信號經采樣后再經過保持器可恢復連續信號，因此，采樣器與相鄰保持器的作用可忽略，這時離散系統可以等效為連續系統。只要按照連續系統的校正方法求出連續校正裝置的傳遞函數Gc(s)，然后進行離散化。若采樣周期T取的很小，也可以近似為2．數字控制器的離散化設計方法用離散化方法設計數字控制器，首先需要對系統中的連續部分離散化，求出未校正系統的開環脈沖傳遞函數，然后選擇合適的D(z)使校正后的系統滿足設計要求。離散化設計方法可以有以下三種：

z域的根軌跡設計法

w域的頻率特性設計法

z域的直接設計方法連續系統校正方法在離散系統中的推廣

根據離散系統性能指標的要求，確定Φ(z)或Φe(z),然后利用公式求出D(z)。

或者7.9.2最少拍無差系統的設計稱一個采樣周期為一拍。所謂最少拍無差系統是指在典型輸入信號作用下，能夠以有限拍結束響應過程，且在采樣時刻上無穩態誤差的離散系統。

常見的典型輸入信號及其它們的Z變換分別為：具有的一般形式：

最少拍無差系統的設計方法：首先選擇閉環脈沖傳遞函數Φ(z)或Φe(z)，使系統在典型輸入作用下，經最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時刻的穩態誤差為零。然后根據Φ(z)、Φe(z)確定所需要的數字控制器的脈沖傳遞函數D(z)。是不含因子的多項式。使穩態誤差為零的條件是Φe(z)中包含有的因子，即F(z)為不含因子的多項式。為滿足瞬態過程在最少拍結束的要求，需要選擇合適的F(z)，使Φe(z)的全部極點均位于Z平面的原點，且所含z-1項數最少。如果G(z)不含延遲環節z-1及Z平面單位圓上或單位圓外的零極點，則可以取F(z)=1。這時就有說明瞬態響應只經過m拍就進入穩態且誤差為零。下面討論最少拍系統在不同典型輸入信號作用下，數字控制器D(z)的確定方法。1.輸入為單位階躍信號即m=1,A(z)=1調節時間

可以取2.輸入為單位斜坡信號即m=2,調節時間

可以取調節時間

3.輸入為單位加速度信號即m=3,可以取7.9.3數字控制器的實現為了使求出D(z)的是物理可實現的，在最少拍系統設計中，Φ(z)及Φe(z)的選擇應遵循以下原則：

D(z)應是有理多項式分式，其極點的數目應大于等于零點的數目；

Φe(z)應把G(z)在單位圓上及單位圓外的極點作為自己的零點；

Φ(z)應把G(z)在單位圓上及單位圓外的零點作為自己的零點，當G(z)中含有因子z-1

時，要求Φ(z)也含有相同個數的z-1因子；由于，和應為階次相同的的多項式，且還應成為包含常數項等于1的的多項式。在最少拍無差系統設計中，如果G(z)含有時間延遲因子z-1及單位圓上或單位圓外的零極點，就不能直接應用上面的結果。必須對Φ(z)和Φe(z)的選擇加以限制，否則將造成D(z)實現上的困難。根據上述原則，當G(z)含有單位圓上及單位圓外的零極點以及延遲因子z-1時，選擇Фe(z)時，不能再取F(z)=1，而應使F(z)的零點能夠補償G(z)在單位圓上及單位圓外的極點。此時，系統的調節時間要延長，從而變成準最少拍系統。

例7-37設單位負反饋線性定常離散系統的連續部分和零階保持器的傳遞函數分別為其中采樣周期為T=1(s)。若要求系統在單位斜坡輸入時實現最少拍控制，試求出數字控制器脈沖傳遞函數D(z)。

解：

系統的開環傳遞函數

最少拍系統應具有的閉環脈沖傳遞函數和誤差脈沖傳遞函數分別取

有m=2,輸入為單位斜坡信號時，數字控制器脈沖傳遞函數為系統單位斜坡響應：系統單位斜坡響應的瞬態過程在第二拍結束。從第二拍開始，采樣時刻的穩態誤差達到零。數字控制器的計算機程序實現算法

在數字控制系統中，數字控制器D(z)又稱為數字補償器或數字濾波器，其脈沖傳遞函數一般形式為對上式取Z反變換，并經過整理得數字控制器的計算機程序實現算法可見，若實現其描述的校正規律，除了需要當前采樣時刻信息e(kT)外，還需要從計算機存儲單元調用過去采樣時刻的信息。試寫出上面的例子中數字控制器D(z)的程序實現算法。

解：

例7-38與連續系統一樣，離散系統所要研究的問題也主要包括模型方法、系統性能分析方法和校正方法。為了保證連續信號經采樣后能夠恢復，要求采樣頻率必須大于等于原連續信號所含有的最高頻率的兩倍，即滿足香農采樣定理。信號恢復需要的理想濾波器一般通過零階保持器近似實現。

描述離散系統的時域數學模型是差分方程，經過Z變換可以獲得離散系統的z域模型，即脈沖傳遞函數，其重要作用與連續系統的傳遞函數相同。由于離散系統中采樣開關配置的多樣性，離散系統不具有連續系統結構圖化簡的一般規則。由離散系統的結構圖求脈沖傳遞函數一般可通過列寫變量之間的代數關系方程來求解。

線性離散系統穩定的充分必要條件是：離散特征方程的全部特征根均位于z平面上以原點為圓心的單位圓內。通過z域到w域的映射，連續系統的勞斯判據可以在w域中直接用來判斷離散系統的穩定性。離散系統的穩定性除了與系統固有的結構和參數有關，還與系統的采樣周期有關。本章小結

離散控制系統的動態性能分析可以采用時域法、根軌跡法和頻率特性法。時域分析法是利用Z變換求解系統的離散輸出響應，近似計算系統的的動態性能。與連續系統類似，離散系統的閉環極點在z平面上的位置與系統的動態響應形式有明確的關系。在設計離散系統時，將閉環極點安置在z平面右半平面的單位圓內，并且盡量靠近原點，可以提高系統瞬態響應速度，并且減少高頻振蕩的幅值和頻率。

在離散系統中，影響穩態誤差的因素更為復雜。穩態誤差的大小除了與系統連續部分的結構、參數以及系統外部輸入信號有關，還與采樣開關的位置、采樣周期的大小有關。離散系統的靜態誤差系數反映了系統跟隨相應的典型輸入信號時的穩態精度。

設計離散控制系統的數字控制器可以采用模擬化方法和離散化方法。模擬化設計方法就是按連續系統理論設計連續校正裝置，再將該校正裝置離散化。離散化設計方法則在z域中直接設計數字控制器。本章主要介紹如何用直接數字設計方法設計最少拍無差系統，使系統的輸出在有限的若干拍內實現對典型輸入信號的完全跟蹤。MATLAB在離散控制系統中的應用1．脈沖傳遞函數在MATLAB中的表示零極點增益形式的脈沖傳遞函數：

多項式分式形式的脈沖傳遞函數：

脈沖傳遞函數兩種形式之間的轉換2．連續系統模型與離散系統模型之間的變換函數c2dm(

)用于將連續系統模型變換成離散系統模型，函數d2cm(

)用于將離散系統模型變換成連續系統模型。兩個函數的調用格式如下：numd表示離散系統脈沖傳遞函數的分子多項式系數；dend表示離散系統脈沖傳遞函數的分母多項式系數；num表示連續系統傳遞函數的分子多項式系數；den表示連續系統傳遞函數的分母多項式系數；T表示采樣周期；‘method’表示采用的離散化方法，有5種方法選擇。該參數的默認值為‘zoh’，即零階保持器法，表示在連續系統傳遞函數之前帶有零階保持器；用‘matched’表示采用零極點匹配法。3.求閉環系統的脈沖傳遞函數函數feedback()

可用于連續系統，也可用于離散系統。對于sys=feedback(sys1,sys2,sign)[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)sys1表示G(z)，sys1表示H(z)，num1和den1分別是sys1的分子和分母多項式系數，num2和den2分別是sys2的分子和分母多項式系數。Sign取+1表示正反饋，取-1表示負反饋，負反饋時可省略。函數feedback()的調用方法：函數dstep()求單位階躍響應函數dimpulse()求單位脈沖響應函數dlsim()求任意給定輸入的響應

4.求離散系統的時間響應函數的調用格式如下：[y,x]=dstep(numd,dend,n)或dstep(numd,dend,n)[y,x]=dimpulse(numd,dend