第五章頻率特性法

§5-1頻率特性極其傳遞函數的關系§5-2幅相頻率特性曲線§5-3對數頻率特性§5-4最小相位系統和非最小相位系統§5-5控制系統穩定性的頻率判據§5-6控制系統性能指標的估算

1一個典型例子：部隊過橋時不能齊步走，這是因為橋有一個固有頻率，當整齊的步伐所帶來的頻率與橋的固有頻率一致變化產生諧振可能導致橋塌，一涉及到頻率也就必須談到其兩個特征：幅值及相位。我們自動控制中所研究的系統或環節也有自己的頻率特性。在設計分析它們時，首要問題是要考慮研究其穩態特性，這就不可避免的要研究它們的頻率特性（這與固有頻率不同，是加入正弦輸入后的穩態輸出響應）。㈠頻率特性的基本概念1．頻率是所有動態物體固有的特性§5-1頻率特性及其傳遞函數的關系22．

頻率特性問題的提出

在前幾章我們看到利用微分方程式求解控制系統的暫態過程，可以看出輸出量隨時間的變化能夠做到定量分析，也比較直觀。但它只對低階次（1，2階）系統使用起來還算方便，當系統越復雜階次越高、求解微分方程的計算量越大，也很難看出某個環節和參數對整個系統的暫態過程有怎樣的影響，特別是當系統的暫態特性不能滿足工作要求時很難確定應該采用什么樣的措施才能改進系統的暫態特性，這樣當改變參數或加入環節時就要重新計算，實在麻煩。人們在研究高階系統時，從工程角度出發，從時域轉向頻域來研究系統的動態特性。3①同頻率u1=U1sinωtu2=U2sin(ωt+ψ)②低通特性,表示隨ω變化的關系③U1，U2關系圖u1u2cR先舉一個例子來說明頻率特性的物理概念：43．頻率特性頻率特性：線性系統或環節在正弦輸入作用下，穩態輸出響應與輸入信號頻率的關系特性稱為頻率特性，記作G（jω），也稱為頻率響應。一言以蔽之：系統對正弦輸入的穩態響應與輸入頻率關系特性。5就是以頻率特性為基礎對系統進行分析研究的方法，它在分析設計系統中的優點：⑴頻率特性可通過實驗方法獲得，可以方便地研究難以建立微分方程的復雜系統或環節。⑵簡化高階系統的分析計算工作，可以用簡單圖解法去分析設計。⑶通過時域與頻域性能指標之間的關系、用頻率分析時域指標（δ，ts）等。缺點有：對高階系統該方法是一種近似方法，但精度能保證工程需要。二階頻率的相似性注：⑴頻率特性的實驗確定：在系統輸入端施加一個頻率的4.頻率特性法（頻率法）：6

下面介紹上述中出現的兩個概念：頻率特性的兩個基本特征——幅頻特性、相頻特性幅頻特性：線性系統或環節在正弦輸入作用下穩態輸出幅值與輸入幅值比值隨信號頻率的關系特性稱為幅頻特性，記作：M（ω）或│G（jω）│。相頻特性：穩態輸出與輸入信號的相位差隨輸入信號頻率變化的關系特性稱為相頻特性，記作：φ（ω）或∠G（jω）。二者結合在一起就表達了系統或環節的頻率特性。正弦信號，便可在系統輸出端得到一穩態正弦輸出，測量輸出信號的幅值和幅角，并與輸入信號相比，便可確定出ω1下的幅頻特性M（ω1）和相頻特性φ（ω1），調整輸入信號頻率便可測得不同頻率下的M（ω1），φ（ω1），從而給出系統的幅相頻率特性G（jω）。7若將G（jω）寫成：P（ω）+jQ（ω），則P（ω）稱為實頻特性，Q（ω）稱為虛頻特性，

而幅頻特性：相頻特性所以

稱為幅相頻率特性的極坐標表達式。8LiU例5-1-2請分析下一貫性環節（R-L串聯電路）并寫出幅相頻率特性。

G（jω）有時又稱為動態數學模型。動態系統不同G（jω）也不同，因此G（jω）表征了系統的動態特性。傳函：9有一規律：電路的頻率特性G（jω）和傳函G（S）表達式形式相同只要用jω代替傳函G（S）中的算子S就可得到頻率特性G（jω）。證明：不失一般性設G（S）只含單重極點即(二)．頻率特性與傳遞函數的關系線性系統的頻率特性與傳遞函數存在以下關系①10②則系統輸出為再設輸入X（t）=Xsinωt，其拉氏變換X（S）=ωX/(S2+ω2)③其拉式反變換若系統是穩定的，則Pi(i=1,2,3┉n)都具有負實部，當系統穩定時，相應的瞬態分量將趨于零，所以穩態輸出為11

④待定系數求法：12

與輸入X(t)=Xsinωt相比∣G（jω）∣與φ(ω)恰為G（jω）的幅值和相角⑤13結論：當已知系統傳函G（S）時，只有將Ｓ換成jω即得到系統的頻率特性;當已知系統的頻率特性（或實驗測出），只要將jω換成Ｓ就可得到系統的傳函。小結：兩個問題

①頻率特性及其方法②頻率特性與傳函的關系（因為傳函是我們很熟悉的，與之建立聯系便于從頻域到時域的分析）。其頻率特性如上例電路的慣性環節傳函14穩態時作業：P2195—1(3)5—25—4

例5-1-3

G（S）=K(τs+1)/(Ts+1)15§5-2幅相頻率特性曲線

16一．基本概念即可在極坐標中以一個矢量表示，矢量長度為:

,矢量角為

（1）

代數形式.（2）

極坐標形式1．

幅相頻率特性的兩種表示形式:17

通常將極坐表與直角坐表重合在一起，取極點為直角坐標原點，取極軸為直角坐標實軸 |G(jω)| 極點φ

Q(ω1) P(ω1) Re 逆時針方向為正

182、幅相頻率特性曲線

（極坐標圖奈氏圖(vyquist)）

它是在極坐標上表示G(jω)的幅值|G(jω)|和相角Ф(ω)隨頻率改變而變化的圖。具體的講就是在上述定義的復平面上（幅值，幅角，起始方向以及旋轉正方向）當頻率ω從零變化到無窮大時，矢量G(jω)端點軌跡（走過的一條曲線）就稱為系統的幅頻率特性曲線。其在實虛軸上的投影為其實虛部。19ImReK（一）

比例環節傳函幅相頻率特性該環節特性是在實軸上與坐標原點距離為K的一點.

（二）

積分環節傳函 幅相頻率特性幅頻特性相率特性二．典型環節的幅相頻率特性20ω01M(ω)k0Ф（ω）Π/2KReImω=0ω=1可見積分環節具有恒定相位滯后且具有高頻濾波特性（三）非周期（慣性）環節傳函幅相頻率特性：幅頻特性相頻特性2101/TM()KK/0.7070()0-/4-/2Im

K/2K Re= =0 =1/T

可以證明該環節幅相頻率特性是實軸下的一個半圓，圓心為（K/2，j0），半徑為K/2。證：由曲線端點坐標，實頻特性整理后為:得證.恰為原方程.驗證是否在原軌跡上虛頻特性22結論:非周期環節幅頻特性隨ω增大而減小；相頻率特性隨ω增大其滯后也增大，最大滯后相角-Π/2,具有低通濾波特性.(四)

微分環節:(1)

理想傳函G(s)=Ts.幅相頻率特性相位恒超前,高通濾波特性. T ω=0ω=∝ω=123ω01/T∝ω0K/0.707KφΠ/2Π/40(2)

實際傳函相頻特性幅頻特性幅相頻率特性可與慣性環節比較,它也是一個圓.具有相位超前,高通濾波特性.K/2kReIm24（五）

振蕩環節:

幅相頻率特性幅頻特性相頻特性傳函25ω01/T∝MKK/20φ0-/2∏-∏Im

0 KRe

ω=0振蕩環節幅值相等，頻率特性曲線與虛軸交點的頻率即為角頻率（無阻尼自然振蕩）考查M（ω）的極值：隨著ω的變化，M（ω）可能出現最大值，也即M（ω）的分母出現極小值，令26上面分析說明：振蕩環節對不同頻率的輸入信號具有不同的放大倍數，當頻率等于某一值時，放大倍數最大，這種現象稱為“諧振”，發生諧振現象的頻率為諧振頻率,記作:當時，ω為實數有極值且唯一，因此它是M（ω），隨ω為最大值的解。27當ξ〉1時，幅相特性近似為一個半圓，與一個非周期環節相似。，沒有極值。結論：振蕩環節也是一個相位滯后環節隨ω增大而加大，最大滯后角為180度。

Im

k

ω=∞ω=0Rek/2ξ

ω=ωnω=ωr

281，

三種近似表達式：（六）延遲環節：幅相頻率特性：相頻特性：幅頻特性：傳函：292.

ω=0ω=1/τ

結論：（1）當ωt〈〈1時，準確度比較大，隨ωt增大誤差較大。（2）第三種近似值更準確些。ω=1/τ1-113.

30在應用頻率法分析如研究控制系統時，通常是根據系統的開環頻率特性來（1）判斷系統的穩定性，（2）計算閉環頻率特性（3）估計系統的時域指標。所以掌握開環系統的幅相頻率特性的繪制方法和規律是很重要的。三開環系統的幅相頻率特性為什么研究如何研究開環系統是由多個環節串聯而成的，因此31則系統的開環頻率特性設式中即所謂“幅值相乘，幅角相加”其幅相頻率特性有如下規律1、λ=0（0型系統）起始點（ω=0）為（K，J0）在ω=0處，具有垂直于實軸的切線，ω=∞處，曲線終點位于原點，相角為-n=π/2。32隨n的不同如射角不同可略。證明：ω=0處，零型系統幅相頻率特性具有垂直于實軸的切線。證：ω→0，ω→0Im

Re則ω趨于零時，系統開環幅相頻率特性無限趨近于一個慣性環節，即：33

它是起始于k,終止于原點，圓心在（k/2,0），半徑為k/2的下半圓，因此在起始點處具有垂直于實軸的切線。由于ω→0時，無限趨近于所以原系統的開環幅相特性在ω=0處也具有垂直于實軸的切線。隨n不同λ角不同ω→0n=1ImReω=∞n=22.λ=1（1型系統）ω=0時幅值為無窮大，相角為，具有平行于負虛軸的漸近線ω=∞時，幅值時，大體形狀如圖34Im

n=4

ω→0ω=∞Ren=2

ω0∞M∞0ψ－π－nπ/2類似的可給出λ=3,4,…幅相頻率特性曲線.例5-2-1繪制其開環幅相特性曲線. 解:3.λ=2(2型系統)35

Im

-Tω=∞0Re

低頻部分:高頻部分:36當n=m時Im

n-m=3Re

n-m=2n-m=1起于實軸上某一有限點終于實軸上某一有限點O型系統:更一般情況,若則 37Ⅰ型以上系統

若系統中開環傳函中具有零點,會對總相角具有正的”貢獻”,曲線可能出現彎曲,但總趨勢是順時針方向趨于原點.例:5-2-2會不會與實軸有交點

Im

ω-0τ<Tω=∞

ω->0τ>T

解：38例:5-2-3可見是由一個比例環節與一個慣性環節并聯而得,曲線為一個半圓:解：390∞k00-∞KReω=0當ω從0—>∞時M由k->0Im沿順時針單增形成一條螺旋線.例：5—2—4解：40§

5-3對數頻率特性一.對數頻率特性1.問題解出上一節介紹的系統開環特性是先分別求出各串聯環節的頻率特性。再按“幅值相乘，相角相加”得到的，這對于環節較少的系統使用還可以，圖解清楚方便，一旦環節過多，這種幅值相乘將給幅頻特性的計算與繪制帶來極大的不便。為了便于計算和繪圖，可將幅相頻率特性分成幅頻特性和相頻特性兩部分。幅頻特性采用對數表示形式，而相頻特性仍采用線性刻度。則原來的幅值相乘（除）運算便轉化為相加（減）運算。從而給計算和作圖帶來極大的方便。

412．表示方法設系統開環頻率特性：式中對幅頻特性取對數得：42記作自動控制系統分析中常將上式放大20倍，即單位為分貝（dB）decibel它與幅值的對應關系可如下求：

若M(ω)＝２則坐標選取如下：采用半對數坐標紙，橫坐標w用對數刻度，縱坐標幅值和相角用線性刻度。幅值和相角分畫在兩個坐標平面上。幅頻特性和相頻特性曲線合成的圖為頻率特性的對數坐標圖或波特圖（Bode）。433．對數頻率特性的優點（1）簡化了頻率特性的繪制工作i.

i.乘除運算化為加減運算可用分段漸近線代替精確曲線繪制對數幅頻特性和相頻特性，稍加修正就可達到足夠的精度。(2)

縮小了頻率比例尺，便于研究頻率較寬范圍的系統頻率特性。(3)

最小相位系統的頻率特性與傳函之間存在一一對應的關系，便于用實驗方法確定系統的傳函。(4)

可以迅速直觀的判斷出環節或參數對系統瞬態性能指標和穩態特性的影響。（時域法不能）因此頻率特性法是工程上最常用的系統分析和設計方法。44二．典型環節的對數頻率特性（一）比例環節0.1110ω

ω

Ψ(ω)

是一條等高度等于的直線，Ｋ＞１時；Ｋ＜１時，；Ｋ＝１時是一條０°直線。45（二）非周期環節

k只使幅頻特性上下平移，對幅頻特性的形狀及相頻特性沒有影響。故只需研究k=1時的情況（亦不失一般性）。(1)令Ｋ＝１則時即時時即時（2）

令當ω＝ω2＝10ω1時即ω2與ω1相差10倍頻程有為一斜率為-20dB/del的直線。46這樣其對數幅頻特性可用兩條漸近線近似表示，一條是低頻漸近線，零分貝線，一條是高頻漸近線，斜率為-20dB/del兩條漸近線交點（交點頻率是交接頻率）

（3）漸近線表示的最大誤差：發生在處，此時最大誤差為3dB，所以用漸近線表示已基本合乎要求，除非精度有特殊要求時，才需要在附近加以修正，修正意見P183表5-2兩頭誤差很小。

47Lm

-20dB/del

0066°/del

-45°

-90°

48（4）頻率特性可用列表線性計算的方法（）逐點繪制見表5-3，在交頻率處

曲線關斜對稱。證明：曲線關于斜對稱。證：設在lgω軸上點左右各任取一點和，且

即兩邊取

49（5）相頻特性也可用漸近線來畫低頻高頻中頻用的切線近似，該切線斜率為證：則

于是相頻特性可用三條漸近線表示，但一般揭點法（6）注：〈1〉k≠1上下移,不變〈2〉，T變化和形狀不變，只是左右移動可制成該環節特性曲線模板50（三）積分環節

（1）

LmM(ω)

4020-20dB/del

ω=k

ω

ω

k/100k/10

-90°

0Ψ(ω)

與0dB線交于ω=K或ω＝1時，積分環節在整個頻率范圍內是一條斜率為-20dB/del的直線，其相頻特性是一條-90°的水平線。51Lm

20n

ω

ω

0-90°n

(2)若n個積分環節串聯則

與0dB線交于。是斜率為-20dB/dec的直線。是的水平直線。52（四）微分環節（1）理想微分

幅頻是一斜率為20dB/dec的直線，與0dB線交于

相頻特性是90度的水平線。Lm

lgω

1/10T1/T10/T

90°

ω

531/10T1/T10/T90°

45°

Ψ

1/Tω

ω

2比例微分環節

*與非周期環節幅頻關于odB線相頻關于0度線鏡向對稱。低頻漸近線odB高頻漸近線過斜率為20dB/dec.

(五)振蕩環節54低頻段時，高頻段時，（2）兩條漸近線交點

（自然振蕩角頻率）（3）我們知道ξ〈0.707時，M（ω）將出現一個峰值，ξ越小峰值越大，因此當ξ較小時采用漸近線法會出現較大誤差，必要時要修正。（1）

k=1時55Lm0.1

0.3

0.50.7ξ=1-90°

-180°

<4>相頻特性

時，漸近于0度時，漸近于-180度。

整個相頻特性斜對稱于-90度。（六）延遲環節56三．開環系統的對數頻率特性1．

繪制開環對數頻率特性的步驟（1）將開環傳函寫成各基本環節的乘積，確定交接頻率ω1，ω2，…，ωn，標在頻率軸上。（2）

i.對0型系統，低頻漸近線為，畫出高度為直線。ii.對λ型系統（λ≥1），低頻漸近線為-20λdB/dec它與0dB交點為可先確定出再過該點低頻漸近線。（3）

在⑴⑵基礎上之后每遇到一個交換頻率斜率改變一次，57（4）相頻特性繪制可先分別給出各環節的相頻特性再疊加。但通常都用解析法描點繪制。

當遇到環節時，斜率增加當遇到環節時，斜率增加當遇到振蕩環節時，斜率增加當遇到一重基本環節時，斜率增加k倍（k為重數）582.舉例如下：

例：5-3-1繪制對數幅相頻率特性。解：①各交接頻率為0.2，0.5，1②屬一型系統，畫出直線。③在處，轉折頻率為，到再次轉折頻率為，在處第三次轉折頻率為④相頻特性：59200.900.10.20.52510

0-90°

-180°

-270°

Ψ(m)L（w）

ω00.10.20.512510》104378140187223.7250.7260.32700（度）

60§5-4最小相位系統和非最小相位系統1．

概念：前面（第四章中）提過這兩個概念，即在復平面s右半面上沒有極零點的傳函稱為最小相位傳函，具有此類傳函的系統為最小相位系統，反之，成為非最小相位系統2．

最小相位系統及其物理意義具有相同幅頻特性的系統中，最小相位系統相角范圍最小。1/T1/ττ/Tω2Ψ3Ψ1Ψ2-90°

-180°

例：下面三個系統傳函分別為：0<τ<T最小0<τ<T非最小0<τ<T非最小613．特性：最小相位系統幅頻與相頻特性--------對應（單值）4．判斷方法（1）概念。（2）可以通過檢驗高頻段漸近線斜率和ω∞時的相角來判斷系統是否為最小相位系統。（ω∞，漸近線斜率-20dB/del，相角-90°(n—m)，是最小相位系統）

62非最小相位系統是由于系統中含有延遲環節或局部閉和回路不穩定而引起的,一般會使系統性能變差,多數情況應盡量避免過大的相位滯后.63§5-5控制系統穩定性的頻率判據

(開環判斷閉環)

代數判據是以系統的閉環特征方程為依據來判斷系統的穩定性.而實際中容易得到的是系統的開環傳遞函數和頻率特性。系統的開環頻率特性可用分析法給出：在不確知系統數學模型時還可以由實驗測得。根據頻率特性和傳函的關系以及開環傳函Go(s)與閉環特性方程1+Go(s)=0的關系就可以由開環頻率特性來判斷閉環系統的穩定性。稱這種方法為頻率判據。1.

頻率判據Nyquist穩定判據（奈氏判據）64２．頻率判據的特點（１）

應用開環頻率特性曲線判斷閉環系統的穩定性。（２）

便于研究系統的參數和結構改變對系統穩定性的影響。（３）

便于分析系統的瞬息性能并指出改進方向。（４）

很容易研究包含延遲環節的系統的穩定性。65①奈氏曲線（開環）②系統穩定其特征方程根分布虛軸左側：實部為負一階系統二階系統n階系統一、頻率判據概述66結論：相角變化系統穩定③令閉環特征式開環特征式若開環穩定所以軌跡不包圍原點

開環穩定，閉環穩定若開環不穩定P個根在右半S平面67閉環2個根在右半S平面則N---逆時針繞原點圈數，若要Z=0，即P=N，此時閉環系統才能穩定。一般只繪P個開環極點在右，奈氏曲線逆繞（-1，j0）P/2圈。開環傳函含有個積分環節（1型以上）增補輔助曲線，起始于正實軸68Ngquit穩定判據是頻率分析法的重點。二.

奈魁斯特穩定判據（NyquistCritorioN）１９３２年Nyquist提出了依據系統的開環頻率特性曲線判斷系統的穩定判據，它是一種圖解法。稱為奈氏判據。1.奈氏判據的內容：如果系統的開環傳函Go(s)在s右半平面上有p個極點，當頻率ω從－∞變化到＋∞時，若系統的開環頻率特性Go(jω)曲線逆時針包圍（－１，j0）點的次數N恰好等于Go(s)中位于s右半平面的極點數p，則閉環系統是穩定的，否則就是不穩定的。69數學表達式：Z=P-N；Z=閉環系統在s右半平面上的極點數；P=開環系統在s右半平面上的極點數；N=開環頻率特性Go(jω)包圍（-1，j0）點次數，逆時針N取正；順時針包圍，N則取負。顯然有Z＝０，系統才穩定。即N＝＋p逆時針包圍（－１，j０）點p圈。例５－５－１零型系統因為N=0P=0所以Z=0穩定(-1,j0)ω=0-1ReReω=0ImReIm因為N=-2，P=0，則Z=2，所以不穩定70例5-5-2ω=0ω∞因為N=+1P=1所以z=0穩定-1K3-1K4

因為

N=0P=1Z=1不穩定

ω=0ω∞

1.奈氏判據實用形式由于Go(jω)在ω為正值和負值時關于實軸鏡象對稱，因此，只須研究Go(jω)以０變化到＋∞時包圍（-1，j0）點的情況判斷系統的穩定性。71判斷方法：設Go(jω)在s右半平面有p個極點，當頻率ω以０變化到＋∞時，若Go(jω)曲線逆時針包圍（－１，j０）點的次數N的兩倍恰好等于p，則系統穩定；否則系統不穩定。其數學表達式為Z=-2N+P.N:開環頻率特性曲線ω以從０變化到＋∞時，包圍（－１，j０）點的次數，逆時針包圍取負，順時針包圍取正。一般工業上開環大部分穩定。結論：（１）開環系統穩定時（p＝０）根據奈氏判據，閉環系統穩定的充要條件是Go(jω)曲線包圍（－１，j０）點。（２）開環系統不穩定時（）根據奈氏判據，閉環系統穩定的充要條件是Z=2N+P,N=+P/2,即順時針包圍（－１，j０）點p／２圈。例５－５－３設最小相位系統開環頻率特性如下72K1-1a穩定

-1-1

b不穩

K2ImRec臨界穩定

K3物理解釋：看反饋信號與干擾信號相位360度幅值（<穩定；>不穩定；＝臨界）（３）開環傳函中含有積分環節，增補輔助曲線。若G0(s)中包含N個積分環節，則須增補一段半徑為無窮大圓周，它起始于正實軸，順時針轉過角度后與Go(jω)的低頻段連接起來。73Im1型系統

ω=∞ω=0

ω∞Re-12型系統

3型系統

4）計算G(jω)曲線包圍（－１，j０）點次數的一種實用方法。由（－１，j０）點到Go(jω)曲線作一矢量（筆桿）使矢端沿曲線從ω＝０→＋∞移動，計算相角凈變化量，再除。例５－５－４二．奈氏判據的數學證明（一）數學基礎知識741．復變函數的基本概念

(1)解析：如果函數F（s）在s0及其鄰域內處處可導那么F（s）在s０解析。如果F（s）在區域D內每一點解析，則稱F（s）在區域D內解析。定理：解析函數的和，差，積，商（除分母為零點外）都是解析函數，解析函數的復合函數仍為解析函數。所有多項式在復平面上是處處解析的，有理公式函數都是多項式函數］在不含分母為零的點的區域是解析函數。(2)奇點：如果F（s）在s０不解析，則稱s０為F（s）的奇點.

(3)S平面上任意一條光滑曲線，只要f（s）在這條曲線上的各點都是解析和單值的，則該曲線必可映射成f（s）平面的一條光滑曲線。

75jω

*б

б→∞*0*б

Imω=0б∞Re

0線的對應**線的對應

4)保角映射如果F（s）在s０解析且則映射F（s）在s０具有保角性，即在s平面上的兩條連續曲線相交形成一個角度θ，變換成F（s）平面上的兩條相交連續曲線夾角保持不變.（如上例）2.幅角定理（映射定理）設F（s）為兩個s多項式之比，并設F（s）有p個極點，Z個零點位于s平面某一封閉曲線內，該封閉曲線不通過F（s）任何極點或零點，則s平面上這一封閉曲線映射到f（s）平面上也是一封閉曲線。例76當變點s順時針經過整個封閉曲線時，在F（s）平面上對應映射點的軌跡,F（s）順時針包圍原點的總次數等于（Z－p）次。該定理可以利用對數留數概念得到嚴格的證明，這里僅作一些說明。設s平面上的閉曲線Гs不通過F（s）的任何零點和極點，則在F（s）平面上也有一個閉曲線ГF與之對應。

77當Гs上的動點si沿Гs順時針方向繞引一周時：(1)

位于封閉曲線ps外的零點極點指向si的向量轉過的角度凈變化為零。(2)

位于封閉曲線ps內的零點極點指向si的向量轉過的角度凈變化為-2π（逆時針為正）(3)如果Γs只包圍f（s）的一個零點－Zi，則向量∠s＋Zi的變化量為，其他向量變化量為０。，即гF順時針繞原點轉一周。гs

гs

78

(4)

如果Γs只包圍Ｆ（s）的一個極點－pi，則向量∠(s＋pi)的變化量為－２π，其他向量變化量為０。于是∠Ｆ（s）＝－∠(s＋pi)＝２π。即∠Ｆ逆時針繞原點一周гFsi(5)如果Γs包圍Ｆ（s）的Z個零點和p個極點，則有∠Ｆ（s）＝－２πZ＋２πp＝－２π（Z－p）。即∠Ｆ順時針繞原點（Z－p）次。79（二）用幅角定理證明奈氏判據閉環系統特征方程f（s）＝１＋Go(s)=0

所以F(s)的極點是開環極點，F(s)零點是閉環極點閉環系統穩定的條件是F(s)的根均在s平面的左側。1．奈氏圍線取Γs由整個虛軸和右半平面上的半徑為無窮大的半圓構成封閉曲線，稱為奈氏曲線。奈氏圍線包圍了F(s)=1+Go(s)在右半平面上的全部零點和極點，且不通過任何F(s)的零極點。80jω∞τs--jω6Γs的虛軸部分經F(s)變換后便是1+Go(jω)曲線，由于實際系統Go(jω)曲線，由于實際系統Go(s)的分母階次N總是大于等于分子階次m，即N≥m，所以半徑為∞的半圓徑。F(s)映射變成

特別當N>m時Const=1.這樣奈氏圍線在F(s)平面的映射曲線就是S平面虛軸在F(s)平面的映射。2.閉環系統在s右半平面的極點數的確定。81設F(s)在s右半平面的極點（即Go(s)在Ｓ右半平面的極點）數為Ｐ，當變點Ｓi在Ｓ平面虛軸（ω從-∞到+∞）上運時，其映射曲線F(jω)=(1+Go(jω))順時針包圍圓點的次數為Ｎ，根據幅角定理F(s)=(1+Go(s))在Ｓ右半平面的零點（即閉環極點）數為Z=N+P。欲使系統穩定，必須Z=0，于是N=－P即F（jω)=1+Go(jω).逆時針包圍原點的次數應等于開環傳函Go(s)在S右半平面的極點數。

將F(s)左移一個單位便到Go（s）即Go（s）=F（s）-1F(s)平面的原點變成Go（jω）平面的（-1，j0）點，82

1+Go（jω）包圍F（s)平面原點方向和次數，就等價于G0（jω）包圍Go（s）平面的（-1，j0）點的方向和次數，于是得奈氏判據：如果系統開環傳函Go（s）在右s右半平面上有p個極點，為使閉環系統穩定，當ω從-∞變到+∞時，Go（jω）曲線必須逆時針包圍（-1，j0）點p次。ImIm[1+Go(s)]Go(s)1ReRe1+Go(jω)Go(jω)(三)Go（s）含有位于jω軸上的極點（或零點）時的修正83虛軸上有開環零點極點時圍線修正則在原點處

在虛軸上開環極點或零點處做一個半徑為無窮小的右半圓，使奈氏圍線不通過Go（s）的零點極點，如下圖特別地，當Go（s）在原點有極點時，如Ⅰ型。原點處奈氏圍線如圖

一型圍線修正84對于二型系統映射成映射成映射成映射成映射成映射成85三奈氏判據的應用

例5-5-3設控制系統如下圖5-34試應用奈氏判據分析該系統的穩定性與開環總增益的關系。Go(s)在右半平面無極點,即P=0。解：KCR(s)Y(s)奈氏判據除了可以用來分析閉環系統穩定性外，還可用來Ⅰ確定使系統穩定的臨界參數；Ⅱ分析延遲系統的穩定性。8687③繼續增大k，k>Kl時Go（jω）包圍（-1，j0）點，N=1Z=P+2N=2系統不穩定，有兩個特征根在s右半平面。可見，系統隨著開環增益增加，穩定性下降。當Go（jω）通過（-1，j0）點時，有Go（jω）=-1M（ω）=1，=-180度解上述方程組可得Kρ,。這里介紹另一種算法：令①Im=Go(jω)=0②Re=Go(jω)=-1來計算123Y(s)

分析

①k較小時不包圍（-1，j0）點，N=0，Z=P+2N=0系統穩定②k增大時,不變,但增大，G(jw)向外擴張，當k=Kl時Go（jω）通過（-1，j0）點,臨界穩定。88由

得

將ωl代入(2)得

得

89當時系統穩定時系統不穩定例5-5-5使用奈氏判據分析調節器積分時間常數τi對系統穩定性的影響解:開環調解器GC對象GPR(s)Y(s)90分析(1)比例調節器Im

-1Re

ω=0

無論KpK取多大，Go(jw)都不包含（-1，j0）,系統穩定。(2)T<Ti<∞91-1ω=0*

系統總是穩定，但穩定性不如（1）(3)τi=T

Go(jω)穿過（-1，j0）系統在KPK>0時系統處于臨界穩定ω=0-1

92④0<τi<TGo(jω)包圍(-1,j0)點系統不穩定

ω=0*-1ω=∞可見:Go(s)中增加積分環節使Go(jω)相位滯后增加,降低了系統的穩定性。調節的積分時間常數對系統穩定性有很大影響，增大對系統穩定性有利。試確定使系統臨界穩定的臨界延遲時間解：例5-5-6k>1(k<1系統顯然是穩定的)當系統臨界穩定時有93解：p=1故為非最小相位系統，

例：5-5-7試用奈氏判據分析系統穩定性欲使系統穩定必須使z=0即2N=Z-P=-1,G(jω)逆時針方向包圍（-1，j0）點一次。94-1Reω=0

因為p=1N=-1/2Z=0所以穩定P=1N=0Z=1所以不穩定

-1解：這是一個條件穩定系統，k值變化，只影響Go(jω)的幅值，相角不變。1．求臨界k值（１）減小k值，使a點與（-1，j0）點重合則有k/500=1/50，k=10（2）減小k使b點與（-1，j0）點重合則有k/500=1/20，k=25ω=0*

-1例5-5-8已知：k=500時系統的Go(jω)曲線如圖所示，試確定使系統穩定的k值范圍。95（3）增大k使c點與（-1，j0）點重合則有k/500=1/0.05，k=1000。

2.分析系統的穩定性①

0<k<10G0(jω)不包圍(-1,j0)所以系統穩定②

10<k<25Go(jω)包圍(-1,j0)點一次且Z=0+2*1=2右面有兩個特征根,不穩定.③

25<k<10000Go(jω)不包圍(-1,j0)點,系統穩定.④

K>10000Go(jω)包圍(-1,j0)點一次,系統不穩定.96四利用對數頻率特性分析系統的穩定性

1.幅相頻率特性與BODE圖之間的對應關系.由于幅相頻率特性與對數頻率特性之間存在著一一對應的關系,因此,很容易將奈氏推廣到對數頻率特性曲線(Bode圖)上.*如幅相頻率特性的(-1,j0)或M(ω)=1φ（ω）=-180對應于Bode圖中的odb線和-180線。三種簡單情況（系統開環穩定p=0）Im

Im

Im

-1Re-1Re-1

97LmM

ω

-180°

Ψ(ω)=-180°LmM<odB穩定Ψ(ω)=-180°LmM=0臨界穩定或LmM=odBΨ(ω)>-180°

Ψ（ω）=-180°LmM>0LmM=odBΨ(ω)<-180不穩定982．Bode圖上的奈氏判據若系統開環傳函Go(s)在s右平面上有p個極點，則閉環系統穩定的充要條件是：在L（ω）〉0的所有頻率范圍內，相頻特性曲線與-180線正穿越和負穿越次數之差為p/2；Z=p+i(N--N+)若系統開環傳函Go(s)在s右平面無極點（開環穩定）則閉環穩定的充要條件是：與-180線正負穿越次數之差為零。Z=P-2(N+-N-)=P+2(N--N+)正穿越：由Go(s)平面（-1，j0）點左側的上半部穿越負實軸至下半部相應于Bode圖上在L(ω)>odb的頻率范圍內相頻特性由下向上穿越-180線，稱為正穿越。負穿越：和正穿越正好相反。993．判斷GO(jω)是否包圍（-1，j0）點的一種實用方法計算Go(jω)平面（-1，j0）點左側正負穿越次數則G0(jw)包圍(-1,j0)點的次數N可用如下式子表示：N=N+-N-(N>0時順時針包圍N次;N<0時逆時針包圍N次;N=0時不包圍（-1，j0）點。五多網絡系統的穩定性分析①

先分析內網絡的穩定性，判斷分內回路的右半平面的閉環極點數它們就是整個系統的部分位于s右半平面的開環極點100②

將內回路s右半平面的閉環極點于外回路的其他環節的s右半平面的開環極點數相加，便是位于s右半平面的開環極點數即，外回路s右半平面的開環極點數=位于s右半平面的開環極點數+其他環節s右半平面的開環極點數③

判斷外回路穩定性六穩定裕量1．

意義一個實際系統，不僅要絕對穩定，而且還要有一定的穩定裕量，即相對穩定性，以便Gp2

R(s)G1(s)GC2(s)Gp1101①系統有一定抵抗干擾的性能指標，且可防止由于系統特性或參數改變可能導致系統不穩定。②還可保證系統不致因建模時和分析時的近似處理而導致的系統的不穩定。2．

穩定裕量：就是指一個穩定的系統距臨界穩定狀態的安全距離，在頻率域里，常有增益裕量及相位裕量來表示。①增益裕量：ⅰ是指相角φ（ω）=-180頻率為ωg時，頻率特性幅值的倒數Kg=1/(Go(jωg))ⅱ相角為-180時幅頻特性低于零分貝線的分貝線Kg=-20lg|Go(jωg)|Kg的含義：表示系統開環增益還可增大Kg倍，系統檢到臨界穩定

102|G0|

-1ωg

(ωc)

Im

Ωckg

γ(ωc)ωg

②相角裕量：是指開環系統幅值為一（odb）時其相角大于-180的數值。γ（ωc）由負實軸作為計算起點，逆時針為正，順時針為負，γ(ωc)=180+φ(ωc)γ(ωc)的含義：表示開環中幅值為odbω=ωc時，系統還可增加ν相角滯后，系統才達到臨界穩定狀態。1033．

增益裕量為Kg和相角裕量ν（ωc）是頻率法計算的兩個重要的指標說明：①上述兩個穩態裕量的定義都是對最小相位系統而言的。它們只適用于最小相位系統。②一般來說，增益裕量和相角裕量是相互補充的，而不是相互替代。必須同時給出這兩個量才能確定出系統相對穩定性的好壞。如圖：兩系統雖具有相同增益裕量，但是系統①比②穩定性更好一般要求γ在22~31之間νg在5~10dB之間104§5-6控制系統性能指標的估算

１.二階系統的頻域特征量傳函

頻率特性

一.二階系統頻率特性與其時間相應過程的關系1050〈ξ〈0.707時發生諧振現象

峰值

（2）ξ〉0。707時不存在諧振現象M(ω)max=M(o)=Kωr和Mr稱為二階系統的頻域特征量

結論：（1）二階系統諧振比Mr是ξ的單值函數如果頻率特性上獲得Mr，那么就可以計算出ξ進而得到時域指標。諧振頻率諧振比定義為106（2）二階系統是ξ和ωn的函數.由Mr確定出ξ后，可由ωr確定出ωn進而確定出快速性指標ωdtrtpts

當ξ=0.15∽0.4時ωd=(1.01∽1.10)ωr可近似認為ωd=ωr所以ωr表征了系統的響應速度,ωr越大相應越快（ts↓）.

例題：P212圖5-53給出SMrψξMt(δp)的關系曲線如若給出Mp=2.5則可查出ξ=0.2,δ=52℅ψ=75℅（3）二階系統單位階躍響應的穩態值就等于頻率特性上ω=0時的幅值M（0）107對于高階系統難于用數學方法確定頻域與時域指標的關系，通常可用其存在的一對主導共軛極點時的閉環頻率特性和二階系統的頻率特性具有的相似性直接估算階躍響應過程的性能指標。二閉環系統的頻率特性和尼科爾斯（Nichols）圖由上面的討論可知，控制系統的時域指標與系統的閉環頻率特性之間有著密切的關系。可以直接根據閉