第一節定積分的概念第二節微積分基本公式第三節定積分的積分方法第四節廣義積分第六章定積分

一、定積分的實際背景

二、定積分的概念三、定積分的幾何意義四、定積分的性質第一節定積分的概念

第一節定積分的概念

1.曲邊梯形的面積

曲邊梯形:若圖形的三條邊是直線段，其中有兩條垂直于第三條底邊，而其第四條邊是曲線，這樣的圖形稱為曲邊梯形，如左下圖所示.yOMPQNBxCAA推廣為一、定積分的實際背景

曲邊梯形面積的確定方法：把該曲邊梯形沿著y軸方向切割成許多窄窄的長條，把每個長條近似看作一個矩形，用長乘寬求得小矩形面積，加起來就是曲邊梯形面積的近似值，分割越細，誤差越小，于是當所有的長條寬度趨于零時，這個階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了.如下圖所示：

0x1x2xxn

Oxy

y=f(x)0x=axn=b2．變速直線運動的路程

二、定積分的概念

三、定積分的幾何意義四、定積分的性質仍有思考題

一、變上限的定積分二、牛頓-萊布尼茨

（Newton-Leibniz）公式

第二節微積分基本公式第二節微積分基本公式

一、變上限的定積分如右圖所示:例2求下列函數的導數：

二、牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式

例1求定積分：

思考題

一、定積分的換元積分法

二、定積分的分部積分法

第三節定積分的積分方法第三節定積分的積分方法一、定積分的換元積分法注意:求定積分一定要注意定積分的存在性.

二、定積分的分部積分法一、無窮區間上的廣義積分二、無界函數的廣義積分

第四節廣義積分第四節廣義積分一、無窮區間上的廣義積分二、被積函數有無窮間斷點的廣義積分第六章定積分一、本章提要1.基本概念定積分，曲邊梯形，定積分的幾何意義，變上限的定積分，廣義積分，無窮區間上的廣義積分，被積函數有無窮區間斷點的廣義積分.2．基本公式牛頓-萊布尼茨公式.3．基本方法(1).積分上限函數的求導方法，(2).直接應用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分的方法(3).借助于換元積分法及分部積分法計算定積分的方法，(4).兩類廣義積分的計算方法.4．定理定積分的線性運算性質，定積分對積分區間的分割性質，定積分的比較性質，定積分的估值定理，定積分的中值定理，變上限積分對上限的求導定理

二、要點解析問題1應用換元積分法計算定積分時應注意什么問題？

解析換元積分法包括第一換元法與第二換元法，具體應用時應注意如下3點：（1）應用第一換元法（湊微分法）時，一般不需引入新的積分變量，所以積分限不變.（2）應用第二換元法時，由于必須引入新的積分變量，所以，換元必換限.（3）所作代換必須滿足換元法中所限定的條件.，

例1計算定積分

解一令,則且時,時,.所以

．

；

解二令，則且

時

時，，所以．問題2被積分函數中含絕對值符號時，應如計算定積分？解析當被積函數中含絕對值符號時，被積函數一般在積分區間上為分段函數，計算分段函數的定積分必須分段積分.例2計算

.解

=三、例題精解例3比較

與的大小.解一令，因為所以，當時,

則當時,

所以在又因為在[1，2]上連續,

上單增.

，即所以

解二因為=

所以

例4證明

,

證令則且當時，當時，.于是=

==

例5求

解

（C為常數）練習題判斷正誤(