第三篇動力學§11.1動力學的任務和基本概念

一、研究對象動力學研究物體機械運動與作用力之間的關系。在靜力學中，我們分析了作用與物體的力，并研究了物體在力系作用下的平衡問題，但沒有研究物體在不平衡力系的作用下將如何運動。在運動學中，我們僅從幾何方面分析了物體的運動，而不涉及所作用的力。

在運動學中，我們僅從幾何方面分析了物體的運動，而不涉及所作用的力。動力學則對物體的機械運動進行全面的分析，研究作用于物體上的力與物體運動之間的關系，建立物體機械運動的普遍規律。（研究運動速度遠小于光速的宏觀物體。）二、動力學在工程中的地位

動力學的形成與發展是與生產的發展密切聯系的。特別是在現代工業和科學技術飛速發展的今天，對動力學提出了更加復雜的課題。1、動力學是解決工程實際問題的強有力的工具；2、動力學是推動工程技術向前發展的重要基礎。舉例：①機器人的動態特性分析、運動機構的動力分析等需要應用動力學的理論基礎。②在土木工程中對結構的振動分析需要應用動力學的理論基礎。如高層結構受風載及地震的影響；又如廠房內有汽錘、吊車等，吊車剎車時引起吊車梁及柱的振動。舉例：③在機械工程中對高速轉動機械的動力分析需要應用動力學的理論基礎。比如高速轉動的轉子，若重心不在轉軸上（由誤差引起），轉速很高時將引起軸承破壞（此問題在制造和安裝中都不容易克服）。在動力學有關章節將進一步介紹。④在宇宙飛行及火箭推進技術研制中都需要用到動力學的基本理論。第二宇宙速度就是理論指導實踐的最典型的例子。在上世紀50年代，第二宇宙速度早已在理論上得到承認，但也有人（指理論力學專家）不相信。

1961年前蘇聯宇宙飛船發射成功，證明了這一理論，充分說明了理論指導生產實踐的重要意義。42年后，中國的神州五號飛船也飛上了太空。研究動力學的方法主要有兩種：1、矢量動力學(vectorialdynamics)

主要以矢量形式建立一般質點系的受力和運動量基本概念，由牛頓運動定律和由它作為推演依據得出的動力學規律所組成部分稱為矢量動力學。

牛頓運動定律和質點系動力學普遍定理是矢量動力學的主要內容。三、動力學的研究方法2、分析動力學（analyticaldynamics）

一般以標量形式的功和能等作為一般質點系的基本概念，以力學的變分原理為基礎，應用數學分析方法得出動力學方程稱為分析動力學三、動力學的研究方法質點系普遍定理牛頓運動定律質點在非慣性系中的運動學動量定理動量矩定理動能定理達朗貝爾原理（動靜法）達朗貝爾-拉格朗日原理（動力學普遍方程）拉格朗日方程受約束質點（系）自由質點慣性系非慣性系質點質點系四、質點和質點系（動力學中物體的抽象模型為質點和質點系）1、質點：大小和形狀可以忽略不計且具有質量的物體稱為質點。

例如，在研究人造地球衛星的軌道時，衛星的形狀和大小對所研究的問題沒有什麼影響，可以忽略不計，因此，可將衛星抽象為一個質量集中在重心的質點。

剛體作平動時，因剛體內各點的運動情況完全相同，也可以不考慮該剛體的形狀和大小，而將它抽象為一個質點來研究。2、質點系：如果物體的形狀和大小在所研究的問題中不可忽略，則物體應抽象為質點系。剛體是質點系的一種特殊情況。其中任意兩個質點間的距離保持不變，也稱為不變的質點系。自由質點系：質點系中各質點的運動不受約束的限制。

非自由質點系：質點系中的質點的運動受到約束的限制。質點系是力學中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。所謂質點系是由幾個或無限個相互有聯系的質點所組成的系統。常見的固體、流體、由幾個物體組成的機構，以及太陽系等等都是質點系。五、動力學的基本定律

質點動力學的基礎是三個基本定律，這些定律是牛頓（公元1642——1727年）在總結前人、特別是伽利略研究成果的基礎上提出來的稱為牛頓三定律。第一定律（慣性定律）受力作用的質點，將保持靜止或作勻速直線運動。

不受力作用的質點（包括受平衡力系作用的質點），不是處于靜止狀態，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不變，這種性質稱為慣性。第一定律闡述了物體作慣性運動的條件，故又稱為慣性定律。第二定律:力與加速度之間的關系的定律1、定律

質點的質量與加速度的乘積，等于作用于質點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同，即

(11-1)式(11-1)是第二定律的數學表達式，它是質點動力學的基本方程，建立了質點的加速度、質量與作用力之間的定量關系。

當質點受到多個力作用時，式(11-1)中的F應為此匯交力系的合力。式(11-1)表明，質點在力的作用下必有確定的加速度，使質點的運動狀態發生改變。

第二定律:力與加速度之間的關系的定律2、n個力同時作用時(11-1)

質量大的質點加速度小，

質量小的質點加速度大。這說明質點的質量越大，其運動狀態越不容易改變，也就是質點的慣性越大。因此，質量是質點慣性的度量。對于相同質量的質點，作用力大，其加速度也大；如用大小相等的力作用于質量不同的質點上，則(11-1)3、第二定律與第一定律的聯系(11-1)當F=0時，a=0，則mv=ct一般質量m為常量，故v=ct（大小、方向都不變）即當F=0時，物體作勻速直線（慣性運動），第二定律變成了第一定律，顯然第二定律也只能適合于慣性參考系。在地球表面，任何物體都受到重力G的作用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用g表示。根據第二定律有G=mg

或m=G/g式中的G和g分別是物體所受的重力和重力加速度的大小，根據國際計量委員會規定的標準，重力加速度的數值為9.80665m/s，一般取9.80m/s。實際在不同的地區，g的數值有些微小的差別。第三定律（作用與反作用定律）

兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時分別作用在這兩個物體上。這一定理就是靜力學的公理四，它不僅適用于平衡的物體，而且也適用于任何運動的物體。

在動力學問題中，這一定律仍然是分析兩個物體相互作用關系的依據。22上述三個定律適用的參考系稱為慣性參考系。今后，如無特別說明，我們取與地球固連的坐標系為慣性參考系；

以牛頓三定律為基礎的力學，稱為古典力學。在此范疇，質量、空間和時間是“絕對”的，與運動沒有關系，但近代物理已經證明，質量、時間和空間都與物體的運動速度有關，只是當物體的運動速度遠小于光速時，物體的運動對質量、時間和空間的影響是微不足道的。在國際單位制（SI）中，

長度、質量和時間是基本單位，分別取為m(米）、kg（千克）和s（秒）；六、單位制力的單位是導出單位。質量為1kg的質點，獲得1m/s2的加速度時，作用于該質點的力為1N（單位名稱：牛頓），即

1N=1kg×1m/s21kg質量物體的重量為G=mg=1kg×9.8m/s2=9.8N或§11.2質點運動微分方程

質點動力學第二定律，建立了質點的加速度與作用力的關系。當質點受到n個力F1，F2，…，Fn作用時，式（11-1）應寫為（11-3）ma=∑F

式（11—3）是矢量形式的微分方程，在計算實際問題時，需要用它的投影形式。1、質點運動微分方程在直角坐標軸上投影

設矢徑r在直角坐標軸上的投影分別為x、y、z，力在軸上的投影分別為Fix、Fiy、Fiz，則式（10-3）在直角坐標軸上的投影形式為

（11-4）2、質點運動微分方程在自然軸上投影

由點的運動學知，點的全加速度在切線與主法線構成的密切面內，點的加速度在副法線上的投影等于零，即式中r為軌跡的曲率半徑。

式中τ和n為軌跡切線和主法線的單位矢量。式中Fti、Fni、Fbi中分別是作用于質點的各力在切線、主法線和副法線上的投影。式（11-4）和（11-5）是兩種常用的質點運動微分方程。于是，質點運動微分方程在自然軸上的投影式為：

（11-5）

應用質點運動微分方程，可以求解下面兩類質點動力學的問題:第一類：已知質點的運動，求作用在質點上的力（微分問題）解題步驟和要點：

①正確選擇研究對象（一般選擇聯系已知量和待求量的質點）。

②正確進行受力分析,畫出受力圖(應在一般位置上進行分析)。

③正確進行運動分析（分析質點運動的特征量）。

④選擇并列出適當形式的質點運動微分方程（建立坐標系）。

⑤求解未知量。§11.3質點動力學的兩類基本問題29

第二類：已知作用在質點上的力，求質點的運動（積分問題）解題步驟如下：①正確選擇研究對象。②正確進行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質的力（應放在一般位置上進行分析，對變力建立力的表達式）。③正確進行運動分析。(除應分析質點的運動特征外，還要確定出其運動初始條件）。選擇并列出適當的質點運動微分方程。求解未知量。根據力的函數形式決定如何積分，并利用運動的初始條件，求出質點的運動。

例1、小球質量為m，懸掛于長為l的細繩上，繩重不計。小球在鉛垂面內擺動時，在最低處的速度為v；

擺到最高處時，繩與鉛垂線夾角為f，如圖所示，此時小球在最低與最高位置時繩的拉力。

解：小球作圓周運動，受有重力G=mg；繩的拉力T1。在最低處有法向加速度an

＝v2／l，

由質點運動微分方程沿法向的投影式，有

man

＝mv2／l＝T1－mgman

＝mv2／l＝T1－mg則繩的拉力：

T1＝mg＋mv2／l

＝m(g＋v2／l)a

解：小球作圓周運動，受有重力G=mg；繩的拉力T1。在最低處有法向加速度

an

＝v2／l，小球在最高處角時，速度為零，法向加速度為零，則運動微分方程沿法向投影式為T2－mgcosf＝

man＝

0則繩的拉力

T2＝

mgcosf

例2

圖示半徑為R的偏心輪以勻角速度w繞O軸轉動，推動導板ABD沿鉛垂軌道作平動。已知偏心距OC=e，開始時OC沿水平線。若在導板頂部D處放有一質量為M的物塊。試求：（1）導板對物體的最大反力及這時偏心C的位置；（2）欲使物塊不離開導板，求角速度w的最大值。

輪勻角速度w轉動，OC=e，開始時OC沿水平線。板頂D處有一質量為M的物塊。試求：（1）最大反力及偏心C的位置；（2）求角速度w的最大值。

解：先求問題（1）。取物塊M為研究對象，視為一質點。如果可以建立質點M的運動微分方程，易求出導板對質點M的反力。可見這是質點動力學第一類問題。

在任一瞬時，質點M受力如圖。將x軸的原點取在固定點O上并取x軸鉛垂向上為正。由式（11－4）可得質點M的運動微分方程為

由于物塊M放在導板上，導板作平動，故質點M的加速度a等于導板上E點（偏心輪與導板的接觸點）的加速度。a質點的加速度

(2)由圖可知E點的運動方程為(1)將式(2)代入式(1)，得反力(3)由式(3)可知，反力F包含兩部分：第一部分為質點M處于靜止的反力，

稱為靜反力；第二部分是由于質點M具有加速度而引起的反力，稱為附加動反力（簡稱動反力）。反力(3)當sinwt=－1時，即C點在最低位置時，反力F達到最大值Fmax，即反力(3)得求問題（2）求角速度w的最大值。由式(3)又可知，當sinwt=1時，即C點在最高位置，F達到最小值Fmin，即欲使物塊不離開導板，必須

Fmin≥0,即(3)以上二例都屬于動力學第一類問題，求解此類問題的步驟如下：

1、選定某質點為研究對象；

2、分析作用在質點上的力，包括主動力和約束力；

3、分析質點的運動情況，計算質點的加速度；

4、根據未知力的情況，選擇恰當的投影軸，列出在該軸上的運動微分方程的投影形式；

5、求出未知的力。第一類問題：已知質點的運動，求作用于質點的力；

41（a)(b)解以木箱為研究對象，作受力分析如圖所示。

[例3]

如圖所示得擺動輸送機，由曲柄帶動貨架AB輸送木箱M，兩曲柄等長，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，設在θ＝45°處由靜止開始運動，已知曲柄O1A的初角加速度。如啟動瞬時木箱不產生滑動，求木箱與貨架之間的靜滑動摩擦系數是多少？42由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB桿作平面曲線運動。

設木箱與貨架無相對滑動，木箱的加速度應與點A的加速度相同，由于啟動瞬時貨架各點的速度為零，故建立圖示坐標系，有根據靜滑動摩擦力的性質有：(b)（a)43解方程組：可得：

為保證木箱與貨架在啟動瞬時不相對滑動，所需最小的靜滑動摩擦系數為：（a)(b)O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，θ＝45°作業11—6,8

解：以彈簧未變形處為坐標原點O，物塊在任意坐標x處彈簧變形量為|x|，彈簧力大小為

F=k|x|，指向O點，如圖。則此物塊沿x軸的運動微分方程為

例3

物塊在光滑水面并與彈簧相連，如圖所示。物塊質量為m，彈簧剛度系數為k。在彈簧拉長變形量為a時釋放物塊。求物塊的運動規律。或其中A、θ為任意常數，應由運動初始條件決定。由題意，取x＝a處的時間為t＝0，且此時有代入式（b），有令wn2＝k/m，上式化為自由振動微分方程的標準形式a＝Acosθ0＝－wnAsinθ微分方程的解可寫為

x＝Acos(wnt＋θ)(b)a＝Acosθ0＝－wnAsinθ

可見此物塊做簡諧振動，振動中心為O點，振幅為a，周期T＝2p/wn。

wn稱為圓頻率，由其標準形式的運動微分方程（a）直接決定。由此解出

θ＝0,A＝a代入式（b），則此物塊的運動方程為

x＝a

coswnt48[例6]

l0mkv0

彈簧－質量系統，物塊的質量為m,彈簧的剛度系數為k,物塊自平衡位置的初始速度為v0。求：物塊的運動方程49xmkxO

解：這是已知力(彈簧力)求運動規律，故為第二類動力學問題。

以彈簧在靜載mg作用下變形后的平衡位置為原點建立Ox坐標