五數下冊各單元教材詳盡剖析第一單元《方程》教材剖析本單元教課方程的知識.是在四年級（下冊）“用字母表示數”的基礎上編排的。第一次教課方程.波及的基礎知識比許多.教課內容分紅三部分編排。第1~2頁教課等式的含義與方程的意義.依據直觀情境里的等量關系列方程。第3~11頁教課等式的性質.解方程.列方程解答一步計算的實質問題。第12~14頁全單元內容的整理與練習。本單元編排的一篇“你知道嗎”簡要介紹了我國古代就有方程的思想.并有運用方程解決實質問題的歷史記錄。從等式到方程.逐漸建立新的數學知識。方程是等式里的一類特別對象.教材用屬觀點加種差的方式.按“等式+含有未知數一方程”的線索教課方程的意義。借助天平領會等式的含義。等式是方程的生長點.學生在前幾冊教材里平等式已經有了初步的認識.為了有利于方程觀點的成立.本單元教材第一讓學生領會等式的含義。天平兩臂均衡.表示兩邊的物體質量相等；兩臂不均衡.表示兩邊物體的質量不相等。讓學生在天均勻衡的直觀情境中領會等式.切合學生的認知特點。例1在天平圖下方表現“=”.讓學生用等式表達天平兩邊物體質量的相等關系.從中領會等式的含義。教材使用了“質量”這個詞.是因為天平與其余的秤不一樣。習慣上秤計量物體有多重.天平計量物體的質量是多少。教課時不要把質量說成重量.但不用作過多的解說。例2持續教課等式.教材的安排有三個特點：第一.有些天平的兩臂均衡.有些天平兩臂不均衡。依據各個天平的狀態.有時寫出的是等式.有時寫出的不是等式。學生在相等與不等的比較與感覺中.能進一步領會等式的含義。第二.寫出的四個式子里都含有未知數.有兩個是含有未知數的等式。這便于學生初步感知方程.為教課方程的意義累積了詳細的素材。第三.寫四個式子時.對學生的要求由扶到放。圓圈里的關系符號都要學生填寫.學生在選擇“=”“〉”或“〈”時.能深刻領會符號兩邊相等與不相等的關系；符號兩邊的式子與數則漸漸松手讓學生填寫.這是因為他們以前沒有寫過含有未知數的等式與不等式。教課方程的意義.突出觀點的內涵與外延?！昂形粗獢怠迸c“等式”是方程意義的兩點最重要的內涵?！昂形粗獢怠币彩欠匠滩顒e于其余等式的要點特點。在第1頁的兩道例題里.學生陸續寫出了等式.也寫出了不等式；寫出了不含未知數的等式.也寫出了含有未知數的等式。這些都為教課方程的意義供給了鮮亮的感知資料。教材第一告訴學生：像x+50=150、2x=200這樣含有未知數的等式叫做方程.讓他們理解x+50=150、2x=200的共同特點是“含有未知數”.也是“等式”。這時.假如讓學生對兩道例題里寫出的50+50=100、x+50>100和x+50<200不可以稱為方程的原由作出合理的解說.那么學生對方程是等式的理解會更深刻。教材接著安排議論“等式和方程有什么關系”.并經過“練一練”第1題讓學生先找出等式.再找出方程.理解等式與方程這兩個觀點之間的包含與被包含關系。即方程都是等式.但等式不都是方程。這道題里有以X為未知數的等式.也有以y為未知數的等式.使學生對“未知數”有正確的理解.防備把未知數限制為乂.把方程狹小地理解為“含有x的等式”?！熬氁痪殹钡?題要修業生自己寫出一些方程并相互交流.讓它們在寫方程時關注方程的實質屬性.進而穩固方程的觀點。用方程表示直觀情境里的相等關系。第2頁的“試一試”和“練一練”第3題都是看圖列方程.編排這些題的目的是培育學生發現和理解現真相境里的等量關系的能力.領會方程是表示等量關系的數學方法.進而進一步穩固方程的觀點.并為此后列方程解決實質問題打下扎實的基礎。這些內容在編排上有兩個特點：一是直觀情境的表現從天平圖開始.發展到帶括線的圖畫。帶括線的圖畫在一年級(上冊)就出現了.學生比較熟習?？墒?從列算式求答案的習慣思想轉向列方程表示等量關系.仍舊會有困難。所以.教材先讓學生看天平圖列方程。天平兩臂均衡.表示它左右兩邊物體的質量相等.已經在兩道例題里教課得很充足了.看天平圖列方程能讓學生初步知道什么是列方程和如何列方程.對依照什么列方程和列出的方程表示什么有所體驗。在此基礎上.過渡到列方程表示帶括線的圖畫里的等量關系.會安穩得多。二是帶括線的圖畫里的等量關系.突出兩個或幾個部分數相加是它們的總數。在幾個部分數相同時.它們相加用乘法比較簡易。這些關系是數目之間最基本的關系。并且這些關系成立在加法和乘法的意義上.學生簡單理解。如文具盒的價格加筆錄本的價格一共20元.買4本相同的故事書一共要16.8元.列出的方程分別是12+x=20和4x=16.8。假如少量學生列出?x=4也是能夠的.但不宜倡導；絕不可以列出20-12=x、16.8的方程是20-x=12或16.8 +4=x這樣的方程。因為后者仍舊是過去列算式的思路.不利于學生領會數目間的相等關系.對以后的教課也是有弊無利的。利用等式的性質解方程。在過去的小學數學教材里.學生是應用四則計算的各部分關系解方程。這樣的思路只適合解比較簡單的方程.并且和中學教材不一致?！稑藴省窂膶W生的長久發展和中小學教學的連接出發.要求小學階段的學生也要利用等式的性質解方程。所以.本單元安排了對于等式性質的內容.分兩段教課：第一段是等式的兩邊同時加上或減去同一個數.結果仍舊是等式；第二段是等式的兩邊同時乘或除以同一個不等于零的數.結果仍舊是等式。在每一段教課等式的性質此后.都實時讓學生運用等式的性質解方程。(1)在直觀情境中.按“形象感覺f抽象歸納”的方式教課等式的性質。教材仍舊用天平的直觀情境教課等式的性質。因為在兩臂均衡的天平上.左右兩邊物體的質量發生相同的變化.天平的兩臂仍舊保持均衡。這種現象能形象地表示等式的性質.有利于學生的直觀感覺。例3教課等式的一個性質。教材設計了四組天平圖.每組左側的天平圖表示變化前的等式.右側的天平圖表示變化后的等式.從左側的等式到右側的等式.反應了等式的性質。上邊的兩組圖揭露的是等式的兩邊都加上一個相同的數.仍舊是等式；下邊的兩組圖揭露的是等式的兩邊都減去相同的數.仍舊是等式。四組圖的內容綜合起來就是等式的一個性質。教材精心設計每組天平上物體的質量.第一組圖寫出的是不含未知數的等式.在左側的天平表示20=20此后.右側天平的兩邊各加1個10克的祛碼.看圖填寫20+()020+()。學生在兩個括號里都寫“10”.在圓圈里寫“=”.聯系天平兩邊各加10克都變為30克.而天平仍舊均衡的現象.領會填寫的等式是合理的。這樣就初次感知了等式的兩邊都加上同一個數.結果還是等式。第二組圖寫出的是含有未知數的等式 .從x=50到x+20=50+20的變化和比較中.平等式兩邊都加上相同的數有進一步的感覺。第三組圖寫出的等式兩邊都用字母a表示祛碼的質量.圈出a克祛碼并畫上箭頭.表示去掉它的意思。聯系已有經驗.這里的a代表很多個數.這組天平圖與等式歸納了眾多等式兩邊減去相同數的狀況。第四組圖在方程x+20=70的兩邊都減去20.不只又一次表示了等式性質.并且與解方程的方法十分靠近。此外.這道例題的8個等式中.有7個讓學生在圓圈里填寫“=”構成等式.這是指引學生確實關注等式有沒有變化。右側的四個等式分別讓學生在括號里填出同時加上或減去的數.有利于發現等式的性質。例5教課等式的另一個性質。教材注意利用學生前方學習等式性質的經驗.在感知天平的直觀情境表示出等式性質的一個實例后.再讓學生寫一個等式.經過比較、歸納與交流.得出“等式的兩邊都乘或除以相同的數.結果仍舊是等式”的結論。教課時有兩點應注意：一是讓學生正確理解圖意。上邊一組天平圖的左側本來是一個質量為 x克的物體.又添上一個質量相同的物體；右側本來是一個20克的砝碼.又添上一個相同的砝碼。這表示天平左右兩邊物體的質量都乘2。下邊一組天平圖左側本來是3個質量都為x克的物體.此刻只剩下1個這樣的物體；右側本來是3個20克的砝碼.此刻只剩下1個20克的砝碼。這表示天平左右兩邊物體的質量都除以3。二是等式兩邊同時除以的那個數不可以是0.這一點學生能夠接受。因為前方的教課中.已經多次提到除數不可以是0。2）應用等式的性質解方程。例4和例6教課解方程.解方程的要點是方程的兩邊都加（減）幾、乘（除以）幾.教材對此有精心的設計。例4看圖列出方程.學生先從圖中能獲取求x值的啟迪：只需在天平的左右兩邊各去掉10克的祛碼。聯系等式的性質與方程x+10=50的特點.理解“方程兩邊都減去10”的道理：等式的兩邊都減去10.左側就剩下x.x的值只需經過右側的計算就能獲取。例6在列出方程此后.讓學生聯系已有的解方程經驗和有關的等式性質.思慮“方程兩邊都要除以幾”這個問題.并解這個方程。這些設計都表現了從學生實質出發.讓學生主動學習的教育理念。此外.例4的編寫還注意了三點：一是示范認識方程的書寫格式.重申等式變換時.各個等式的等號要上下對齊.教課時一定嚴格依照；二是求得x=40后.經過“能否是正確答案”的懷疑.指引學生依據“左右兩邊能否是相等”進行查驗；三是在回首反省求x值的過程基礎上.講了什么是“解方程”。這些都是此后解方程時頻頻使用的知識。幫助學生漸漸掌握解方程的方法并形成相應的技術.是教材編寫時認真思慮的問題。用好教材設計的兩道題.能培育學生這方面的能力。一處是第4頁“練一練”第1題.為了使方程的左側只剩下乂.方程的左側已經加上25（或減去18）.右側應當如何？這是剛開始教課解方程時的設計。經過在方框里填數.在圓圈里填運算符號.指引學生正確應用等式的性質.領會解方程的策略和思路.理出解方程的要點步驟。學生在方框里填數一般不會有問題.在圓圈里填運算符號可能會出現錯誤。要經過交流和評論.幫助他們正確掌握方程的兩邊同時加上或同時減去相同的數。另一處是第6頁第7題.簡化解方程過程的書寫.濃縮思路.是在基本掌握解方程的方法此后安排的。如解方程x-20=30.在方程的兩邊都加20這一步.省寫了虛線框里的內容：x—20+20=30+20.直接寫出x=30+20。這樣做能使解方程的思慮流利、書寫簡易.進而提高解方程的能力。教課時要讓學生領會簡化的過程.要點議論圓圈里填什么符號、方框里填什么數以及為何。第8頁“練一練”第1題、第10頁第2題的編排企圖與上邊相同。列方程解決實質問題。本單元解決的都是一步計算的實質問題.此中大部分都是第一學段里沒有出現的。這些實質問題假如列算式解答.學生領會此中的數目關系有必定難度；假如用方程的知識解答.利用的是問題中最實質的數目關系.思路就順暢得多。列方程解決實質問題的要點是找到問題里的等量關系。列方程時的數目關系與列算式時明顯不一樣。列算式時的數目關系把已知和未知隔裂.已知條件作為一方.要求的問題為另一方.經過已知數目的運算獲取未知數目。而列方程的數目關系.把已知和未知交融起來.共同參加運算。找尋等量關系是列方程解決實質問題的教課要點.也是教課的難點。為此.教材作了三步安排。（1）教課方程意義的時候.列方程表示簡單現象里的等量關系.有第2頁“試一試”.“練一練”第3題.練習一第1~3題等。這些簡單現象都是學生能夠接受的.并以他們熟習的方式表現.如天平圖、帶括線的圖畫、線段圖、圖文聯合的表達等。讓學生對什么是列方程、如何列方程.特別是依照什么列方程、列出的方程表示什么意思有所領會。在找尋等量關系和列方程的時候要注意兩點：一是聯系生活經驗.依照事情的發生與發展線索.理順數目關系。如買1件上衣和1條褲子一共用去86元.原有的圖書借出56本還剩60本.付出的錢數減電話機的價格得找回的錢數.媽媽的年紀減小紅的年紀得媽媽比小紅大的年紀。有了這些等量關系.列方程就方便了。二是臨時不要鼓舞對數目關系的發散性思慮.也不要倡導列出的方程多樣.保證掌握和應用事件里的最基本的等量關系。這對此后的教課十分重要。（2）教課解方程的時候.浸透列方程解決實質問題的思想。例4求天平左側正方體的質量.例6求長方形試驗田的寬.都是先列出方程再求解。這兩道例題的教課要點是應用等式性質解方程.以實質問題為載體有兩點利處：一是初步領會列方程是解決實質問題的一種方法.進而發展解決問題的策略；二是持續領會列方程的依照是實質問題里的等量關系。例4的相等關系是天平兩邊物體的質量相等.學生已經比較熟習。例6依照長方形面積公式列方程.是平等量關系的一次指引。教課的時候.既不要沖淡例題的教課要點.又要讓學生獲取這兩點領會。（3）例7和相當合的“試一試”“練一練”教課列方程解決實質問題.主要解決相差關系和倍數關系的問題。這些實質問題里都有一個對于“相差多少”或“幾倍”的已知條件.只需抓住這個條件剖析相差數或倍數的詳細含義.就能找到實質問題里的等量關系。初次教課列方程解決實質問題.例7有三個內容：一是如何找尋數目間的相等關系.二是這個問題為何列方程解答.三是列方程解決實質問題的步驟與格式。這三個內容中.第一個最重要.另兩個內容都能在第一個內容中獲取啟迪。這道例題的相等關系“小軍的成績-小剛的成績=0.06米”.是從“小剛比小軍少跳0.06米”得出的。剖析這個已知條件.第一想到小剛跳的米數、小軍跳的米數與0.06米是三個有關系的數目；接著想到小軍跳的米數多.小剛跳的米數少.0.06米是他們跳的米數的差.等量關系就出來了。把文字表達的相差關系改變為數學式子表示的相等關系.就列出了方程?！靶≤姷奶叱煽儾恢?能夠設為X米.再列方程解答”這句話是指著等量關系說的。在等量關系中.兩個數目已知.一個數目未知.假如把未知的數目設為X米.很簡單列出方程。再經過解方程.就能算出未知的數目。這就是為何列方程解題的原由.學生領會這一點.也就領會了列方程是解決問題的一種策略。于是.解題活動就在找尋等量關系的基礎上.很自然地依照“寫設句——列方程——解方程”的次序進行.列方程解決實質問題的一般步驟由此而得出。在交流中讓學生思慮還可以夠如何列方程.是因為在剖析小軍跳的米數多.小剛跳的米數少.他們跳的米數相差0.06米時.學生有可能用“小剛跳的米數+0.06=小軍跳的米數”表示等量關系。教材對此表示必定.其實不要修業生一題多解?！霸囈辉嚒眳f助學生找尋相等關系.在剖析“藍鯨的體重是一頭非洲象的33倍”這個條件的基礎上.以填空的形式得出等量關系。其余解題活動由學生獨立達成.漸漸熟習列方程解決實質問題的一般步驟。練習中波及的等量關系有了擴展.如平行四邊形的面積公式、正方形的周長公式、單價又數目=總價等.要盡量讓學生獨立找尋和應用等量關系列方程。第二單元《確立地點》教材剖析一年級（上冊）教材用一個“第幾”描繪物體在直線上的地點.如從右往左第5個是小明。二年級（上冊）教材用兩個“第幾”表示物體在平面上的地點.如小紅坐在第6排第4個。經過這些描繪.增強了方向感.獲取了自然數能表示序次的體驗。在這些經驗的基礎上.本單元教課用“數對”確立地點.使本來憑生活經驗描繪地點上漲到用數學方法確立地點.進而發展數學思慮.培育空間觀點。兩道例題把教課內容分紅兩段編排。第15頁例1和“練一練”.用數對確立教室里的座位。包含“列”“行”的含義.確定第幾列、第幾行的一般規則.以及用數對表示第幾列第幾行的方法。第16頁例2和“練一練”.用數對確立平面圖（方格紙）上點的地點。練習三配合兩道例題的教課.解決學校、家庭、街區里的一些實質問題。編寫的兩篇“你知道嗎”分別介紹地球儀上的經線和緯線.在計算機上制作表格的方法.拓展學生的知識面.讓學生體驗數學知識的寬泛應用。在現實的情境中教課規范地確立地點的方法。例1表現一幅教室里座位的圖畫.讓學生談談畫面里的小軍坐在哪里。他們憑自己的感覺和經驗.在交流中出現了不一樣的表述.如小軍坐在第4組第3個、小軍坐在第3排第4個甚至會出現有爭議的描繪。由此產生共同的需要：如何正確、簡潔地說出地點？為教課新知識創建了優秀的氣氛。接著教課“列”“行”的知識.因為數對是按列與行確立地點的。豎排叫做列.橫排叫做行都是規定。確立第幾列一般從左往右數.確立第幾行一般以前去后數.都是人們的商定。正是這些規定與商定.人們在確立地點時才有一致的思慮和結論.才能防止爭講和雜亂。所以.教課列、行的知識絕不可以含糊。還要經過適合的練習.幫助學生穩固對列、行的認識。并用先說列數、再說行數的方法表示出小軍的地點。而后教課用數對確立地點的方法?！靶≤娮诘?列第3行.能夠用數對表示為（4.3）”這句話表示了三點：一是“數對”指兩個數.即列數與行數。二是在數對中先表示第幾列.再表示第幾行。這個次序不可以顛倒.它和直角坐標系中確立點的地點.先寫出X軸上的數目.再寫出y軸上的數目的序次是一致的.不會和中學里的數學知識發生矛盾。三是用數對確定地點有規定的書寫格式.要用括號把列數與行數括起來.并在列數和行數之間寫個逗號.把兩個數分開?！熬氁痪殹痹诶}的情境中進行。以數對知識為要點.設計了“列、行地點f數對表示f列、行地點”的線索.把例1教課的各個知識構成系統的構造。第1題先在圖中找出第2列第4行的地點.穩固列與行的知識；再用數對表示第2列第4行.進一步明確在數對中先寫什么、再寫什么.穩固數對的知識。第2題經過在圖中找尋（6.5）的地點.詳細解釋這個數對的含義.增強對數對的理解.領會它能清楚、簡要地表示出物體的地點。例 1的情境圖中.每個學生的座位都能夠用數對表示.確立各個人地點的數對都不相同。圖中有 6列、5行.任何一個列數不超出6、行數不超出5的數對都有一個學生的座位相對應。能夠利用情境圖的這些內涵.組織學生充足地“練一練”。練習三第1~3題配合例1的教課.穩固列、行的知識.以及用數對確立物體地點的方法。第2題四塊裝修瓷磚的地點有同列不一樣行.不一樣列同行.列、行都不一樣三種狀況.隱含了很多能夠比較的內容.讓學生在這些比較中.深入地領會數對。第3題花色地磚的規律是開放的.如這些地磚的地點都在奇數列.第2到第6行之間；這些地磚的擺列是對稱的.第7列或第4行可看作對稱軸；這些地磚構成一個平行四邊形圖案.中心在（7.4）讓學生暢聊自己的發現.能讓學生的形象思想充足睜開。應用數對.在方格圖上確立點的地點。例2在公園平面圖上.用數對表示景點或建筑物的地點。在表現形式上有三個特點：一是公園的各個景點和建筑物都畫成一個點.“點”只反應景點或建筑的地點.不反應其余內容；二是表示景點、建筑的那些點分別在方格紙上.并且每個點都在方格紙豎線和橫線的交點上；三是方格紙的豎線表示列.從左到右挨次標明了0、1、210；橫線表示行.從下往上挨次標明了0、1、28。此中的“0”既是列的開端.也是行的開端。這些特點.把用數對表示公園景點、建筑物地點的實質問題抽象成用數對表示平面上的點的地點的數學識題。這道例題的教課策略是指引學生促使知識與經驗的遷徙.把例1中學習的列、行的觀點.使用數對的方法應用到例2中來。教課分兩步進行.先告訴學生“書報亭的地點是（2.3）”.引起對已有知識的回想。讓他們依據數對（2.3）的含義.察看書報亭在方格圖上的實質位置.領會用這個數對表示書報亭的地點是合理的。在這樣的過程中.學生獨立領悟了方格紙上列與行的設定.感覺到方格紙上豎線與橫線的任何一個交點都能用數對確立其地點。然后是用數對分別表示小孩樂園、水池等其余景點和建筑的地點.達到穩固知識、掌握方法、內化成能力的目的。教材在平面圖上精心安排小孩樂園與書報亭的地點.在確立它們地點的數對里.前一個數相同.都是2；后一個數不一樣.分別是3和6。這是因為兩個景點在平面圖的同一列、不一樣行上。近似的安排還有小孩樂園與草坪的地點、盆景園與飯館的地點、飯館與水池的地點等。教課時用活、用足這些安排.實時惹起學生注意并組織思慮、議論.能更好地理解數對.進一步掌握用數對確立地點的方法?！熬氁痪殹本o扣新知識的應用.主要練慣用數對確立方格紙上點的地點和依據數對在方格紙上找尋相應的點雙方面的技術。在設計的時候.注意聯合學生學過的平面圖形的知識。如第1題確立地點的三個點是一個三角形的三個極點.按序連接D、E、F、G、D這幾個點圍成一個平行四邊形。設計這些新奇的習題.既能惹起學生的興趣.又感覺了圖形特點.提高了正確辨別圖形的能力。練習三第4~8題配合例2的教課.在練習數對的知識時.還設計了一些能夠深入領會的問題。第4題里把（3.2）和（2.3）兩個貌似相同的數對放在一同比較.領會數對的列數、行數不一樣.表示的地點也不一樣。第5題出現的數對（乂,5）和（5,丫）里.分別用字母表示列數與行數。讓學生領會因為字母表示的數不確立.所以這樣的數對不可以確立某個班級在禮堂里的地點。第7題在方格紙上把三角形平移.并寫出表示平移前后圖形極點地點的數對。從中領會圖形水平平移.改變了極點所在的列.沒有變化極點所在的行。第8題聯系數對確立地點的知識.理解國際象棋在棋盤上表示棋子地點的規則。這些問題有助于學生領會生活中的一些現象.能夠用數學的方法察看研究.并作出解說。第三單元《公倍數和公因數》教材剖析在四年級（下冊）教材里.學生已經成立了倍數和因數的觀點.會找10之內自然數的倍數.100之內自然數的因數。本單元持續教課倍數和因數的知識.要理解公倍數、最小公倍數和公因數、最大公因數的意義.學會找兩個數的最小公倍數和最大公因數的方法。為此后進行通分、約分和分數四則計算作準備。全單元的教課內容分三部分編排。第22~25頁教課公倍數。主假如兩個數的公倍數、最小公倍數的意義.求最小公倍數的方法。第26~31頁教課公因數。包含兩個數的公因數、最大公因數的意義.求最大公因數的方法。在練習五里還安排了最小公倍數與最大公因數的比較。第32~36頁實踐與綜合應用。利用郵政編碼、身份證號碼等實例.教課用數字編碼表示信息。在“你知道嗎”里.介紹了我國古代以前用“展轉相除法”求最大公因數.也介紹了現代人們常常用“短除法”求兩個數的最大公因數和最小公倍數。在閱讀這篇資料后.假如學生愿意用短除法求兩個數的最大公因數或最小公倍數.是同意的。可是.不要求全體學生掌握和使用短除法。編排的一道思慮題.是能夠用公因數知識解決的實質問題。在現實的情境中教課觀點.讓學生經過操作領悟公倍數、公因數的含義。例1教課公倍數和最小公倍數.例3教課公因數和最大公因數.都是形成新的數學觀點.都讓學生在操作活動中領悟觀點的含義。例1先用長3厘米、寬2厘米的長方形紙片.分別鋪邊長6厘米和8厘米的正方形.發現正好鋪滿邊長6厘米的正方形.不可以正好鋪滿邊長8厘米的正方形.并從長方形紙片的長、寬和正方形邊長的關系.對鋪滿和不可以鋪滿的原由作出解說。再想像這張長方形紙片還可以正好鋪滿哪些正方形.從倍數的角度總結規律.為形成新的數學觀點累積豐富的感性資料。而后揭露公倍數與最小公倍數的含義.把感性認識提高成理性認識。教材選擇長方形紙片鋪正方形的活動教課公倍數是.因為這一活動能吸引學生發現和提出問題.能指引學生思慮。學生用同一張長方形紙片鋪兩個不一樣的正方形.面對出現的兩種結果.會提出“為何有時正好鋪滿、有時不可以”.“什么時候正好鋪滿、什么時候不可以”這些有研究價值的問題。他們沿著正方形的邊鋪長方形紙片.就會想到正好鋪滿與不可以正好鋪滿的原由可能和邊長有關.于是產生進一步研究正方形邊長和長方形長、寬之間關系的夢想。剖析正方形的邊長和長方形長、寬之間的關系按.學生的認知規律.設計成兩個層次：第一個層次聯系鋪的過程與結果.從兩個正方形的邊長除以長方形的長、寬沒有余數和有余數的層面上.領會正好鋪滿與不可以正好鋪滿的原由。第二個層次依據正好鋪滿邊長6厘米的正方形、不可以正好鋪滿邊長8厘米的正方形的經驗.聯想還可以正好鋪滿邊長是幾厘米的正方形。先找到這些正方形.把它們的邊長從小到大擺列.知道這樣的正方形有無數多個。再用“既是2的倍數.又是3的倍數”歸納地描繪這些正方形邊長的特點。明顯.前一層次形象思想的成分較大.思慮難度較小.對后一層次的抽象認識有重要的支持作用。讓學生在現真相境中.經過活動意會公倍數的含義.不但表此刻例題的教課中.還落實到練習里。第23頁“練一練”在2的倍數上畫“”.在5的倍數上畫“?！?。從數表里的10、20、30三個數既畫了“”又畫了“?！?領會它們既是2的倍數.又是5的倍數.是2和5的公倍數。練習四第4、7、8題都是與公倍數有關的實質問題.讓學生經過涂顏色、填表格、圈日期等活動領會公倍數的含義。例3教課公因數、最大公因數的含義.也經過“鋪”的活動組織教課。與例1不一樣的是.例3用2張邊長不一樣的正方形紙片分別去鋪同一個長方形.是形成公因數觀點的需要。例題編寫和練習編排與教課公倍數相像.這里不再重復。突出觀點的內涵、外延.讓學生正確理解觀點。觀點的內涵是指這個觀點所反應的全部對象的共同的實質屬性。公倍數是幾個數公有的倍數.公因數是幾個數公有的因數.可見“幾個數公有的”是公倍數和公因數這兩個觀點的實質屬性。在倍數、因數的基礎上教課公倍數、公因數.要點在于突出“公有”的含義。教材用“既是又是”的描繪.讓學生理解“公有”的意思。例1先聯系長3厘米、寬2厘米的長方形紙片正好鋪滿邊長6厘米、12厘米、24厘米的正方形這些現象.從正方形的邊長分別除以長方形紙的長和寬都沒有余數.得出正方形的邊長“既是2的倍數.又是3的倍數”.一方面歸納了這些正方形邊長的特點.另一方面讓學生領會“既是又是”的意思。而后在“6、12、18、24既是2的倍數.又是3的倍數.它們是2和3的公倍數”這句話里把“既是又是”進一步歸納為“公倍數”.形成公倍數的觀點。會合圖能直觀形象地顯示公倍數、公因數的含義。第23頁把6的倍數與9的倍數分別寫到兩個會合圈里.這兩個會合圈有一部分重疊.在重疊部分里寫的數既是6的倍數.也是9的倍數.是6和9的公倍數。先察看這個會合圖.再填寫第24頁的會合圖.學生能進一步領會公倍數的含義。觀點的外延是指這個觀點包含的全部對象。對詳細案例能否屬于觀點作出判斷.就是辨別觀點的外延.增強對觀點的認識。例1在揭露2和3的公倍數的觀點.指出它們的公倍數是6、12、18、24后.提出“8是2和3的公倍數嗎”這個問題.利用反例凸現公倍數的含義。讓學生理解8不過2的倍數.不是3的倍數.進而進一步明確公倍數的觀點。練習四第4題先在表格里分別寫出4、5、6的倍數.再找尋4和5、5和6、4和6的公倍數.也有助于學生辨別觀點的外延。運用數學觀點.讓學生探究找兩個數的最小公倍數、最大公因數的方法。本單元只教課兩個數的公倍數、最小公倍數和兩個數的公因數、最大公因數。因為這些是最基礎的數學知識.在約分和通分時應用最多。只需這些基礎知識扎實.即便碰到三個分數的通分.學生也能靈巧辦理。不編排例題教課短除法求最小公倍數和最大公因數.而是采納寫出兩個數的倍數或因數.找出它們的最小公倍數或最大公因數的方法。這樣安排的目的是.在運用觀點解決問題的過程中.進一步增強數學觀點的教課。例2教課求兩個數的最小公倍數.出現了多種解決問題的方法.這些方法的思路都出自公倍數和最小公倍數的觀點.從6和9的公倍數、最小公倍數的意義引起出來。學生可能先分別寫出6和9的倍數.再找出它們的公倍數和最小公倍數。因為倍數需一個一個地寫 .還要逐個逐個地比.所以得出公倍數和最小公倍數比較慢。學生也可能在9的倍數里找6的倍數.只需挨次想出9的倍數（即9義1、9X2、9X3的積）.逐個判斷能否是6的倍數.操作比較方便。特別求兩個較小數（不超出10）的最小公倍數時.更能顯出這種方法的長處。自然.在6的倍數里找9的倍數.也是一種方法.但沒有9的倍數里找6的倍數快捷。教材安排學生在交流中領會各樣方法.第一是理解各樣方法的共同點.都在找尋既是6的倍數、又是9的倍數.并且是盡量小的那個數。而后是理解各樣方法的個性特點.從中作出自己的選擇。例4求兩個數的最大公因數.教課方法和例2相像。求8和12的最大公因數的幾種方法中.教材表現的第一種方法比較適合多半學生。因為一個數的因數的個數是有限的.先寫出兩個數的所有因數.再找出最大公因數.操作不麻煩。第二種方法從小到大挨次想較小數的因數.略不留意就會遺漏某一個因數。練習五編排第3題的企圖就在于此。練習四第5題在初步學會求兩個數的最小公倍數以后安排.兩個色塊分別表現最小公倍數的兩種特別狀況。左側的色塊里.每組的兩個數之間有倍數與因數關系.它們的最小公倍數是較大的那個數。右側的色塊里.每組兩個數的最小公倍數是它們的乘積。練習五第6題是初步會求兩個數的最大公因數后安排的。左側色塊里.每組的兩個數之間也有倍數與因數的關系.它們的最大公因數是較小的那個數。右側色塊里.每組兩個數的最大公因數是1。這些特別狀況.在通分和約分時會常常出現。教課時能夠按色塊進行.先分別求出同一色塊四組數的最小公倍數或最大公因數.再找出相同的特點.經過交流內化成求最小公倍數和最大公因數的技術。要注意的是.學生有倍數與因數的知識.能夠理解同組兩個數之間的倍數、因數關系.以及它們的最小公倍數和最大公因數的規律。因為新教材不講互質數.也不教短除法.所以兩個互質數的最小公倍數是它們的乘積、最大公因數是1.這些特別情況.只好在詳細對象中感覺.不宜深入研究原由.更不要出結語讓學生記憶。第9題分別寫出1、2、3、420這些數與3、2、4、5的最大公因數.在發現風趣規律的同時.也在感覺兩個數的最大公因數的兩種特別狀況。第四單元《認識分數》教材剖析學生在三年級教材里初步認識了分數.此中三年級（上冊）教材是一個物體（或圖形）的幾分之一、幾分之幾.（下冊）教材是若干個物體構成的整體的幾分之一、幾分之幾。本單元持續教課分數的意義.波及的有關知識比許多.大概分紅五部分編排。第36~37頁分數的意義和分數單位。第38~43頁真分數與假分數.用分數表示兩個數目的關系。第44~46頁分數與除法的關系.用分數表示除法的商。第47~50頁帶分數.假分數化成整數或帶分數.分數與小數相互改寫。第51~54頁全單元內容的整理與練習。編排的三道思慮題都與本單元教課的知識直接有關.對理解分數意義和發展數感十分有利。教課分數的定義.要點是成立單位“1”的觀點。把單位“1”均勻分紅若干份.表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。這是對于分數的描繪式定義.單位“1”、均勻分、表示一份或幾份的數是定義里的三個主要內涵。相對于后兩個內涵.單位“1”較難理解.是教課分數意義的要點.是一定打破的難點。例1的教課分四步進行：第一步用分數表示一塊餅、一個長方形、一根表示1米的線條、一個會合的幾分之一或幾分之幾.并聯合圖談談寫出的每個分數的含義。惹起對已有知識的回想.感覺被均勻分的對象是特別寬泛的.為成立單位“1”的觀點累積詳細的感性資料。第二步告訴學生.被均勻分的一個物體、一個計量單位或一個整體都能夠用自然數 1來表示.往常把它叫做單位“1”。這里把“自然數1”作為成立單位“1”的臺階.出于兩個原由：第一是被均勻分的對象都是“一個”.即一個物體、一個計量單位、一個會合.“一個”用自然數“1”表示.學生簡單接受。先理解能夠用自然數 1表示.再提高成單位“1”.降低了認知的坡度。其次是表現了分數與自然數是有聯系的.有利于后邊教課假分數。第三步回答“大象”卡通提出的問題.再認各個分數的單位“1”是什么.使抽象的觀點回歸到具體實例中去。第四步揭露分數的意義和分數單位的含義.因為在前三步的教課中成立了單位“1”的觀點.這一步的教課就理所應當了?！熬氁痪殹焙途毩暳涍^寫分數和解說分數.進一步領會單位“1”和分數的意義。如“練一練”寫分數時.要看懂每幅圖里把什么當作單位“1”.均勻分紅幾份.幾份涂了顏色。思慮和交流都是環繞分數意義睜開的。又如練習六第2題在三個圖里涂色表示23.從中領會看作單位“1”的對象不一樣.各次涂色的桃的個數也不一樣。第3題說分數的意義.是此后剖析分數乘、除法實質問題數目關系的基本思路。由第（1）小題作了示范.要求求情楚把什么看作單位“1”.均勻分紅幾份.另一個數目有這樣的幾份。第5題寫成的兩個分數有相同的單位“1”.因為均勻分的份數不一樣.所以表示1份的分數也不一樣。經過這些練習.學生對分數意義的三個內涵會有整體的感覺。以分數單位為新知識的生長點.教課真分數和假分數。在例2以前.學生接觸的分數都是分子比分母小的分數。例2和例3陸續引出分子和分母相等以及分子比分母大的分數.而后把以前認識的分數和例題里新認識的分數進行比較、分類.得出真分數和假分數。例2以分數單位為知識生長點.經過推理表示出假分數。先在三個相同的圓里涂顏色分別表示14、34和44.從已經認識的分數帶出44.并經過談談每個分數各有幾個14.理解44的意義.初步領會幾個14是四分之幾；再在圖形中涂顏色表示5個14.利用“5個14是幾分之幾”這個問題.指引學生聯合看圖寫出54.再次領會幾個14是四分之幾。理解1個圓只好表示4個14.表示5個14需要2個圓特別重要.不但直觀感覺54的意義.并且有利于此后認識帶分數以及假分數化成帶分數的方法。例3持續教課分子比分母大的分數.先出現三個分母都是5的分數.談談這些分數各有幾個15.并在圖形里涂顏色表示。這樣的安排充足利用例2的基礎.牢牢抓住分數的意義.讓學生在說和畫的活動中主動理解這些分數的意義。并且.學生經歷四分之幾到五分之幾的擴展.對其余分母的分數意義也能理解了。例2和例3先后出現七個分數.有分子比分母小的、分子比分母大的以及分子和分母相等的各樣狀況.這就具備了教課真分數、假分數的條件。教材的安排是先比較各個分數分子和分母的大小.再把七個分數分紅兩類.分別定義真分數和假分數。學生按分子、分母的大小.常常把七個分數分紅三類.這是正常的現象。教課時只需把分子比分母大和分子與分母相等這兩類分數歸并起來.指出它們都是假分數。練習七第1~4題是配合真分數、假分數的教課編排的。第1題在直線上指出表示各分數的點.是再次領會分數的意義。三小題里的分數分別表示幾個12、幾個13和幾個15。挨次讀讀各組的分數.找出此中的真分數和假分數.能穩固真分數與假分數的觀點?？纯幢硎菊娣謹岛图俜謹档狞c各在直線的哪一段上.初步領會真分數比1小.分子和分母相等的假分數等于1.分子比分母大的假分數大于1.進一步充分對真分數和假分數的認識。在解答第4題時.需要運用這些認識.才能比較每組兩個數的大小。用分數表示同類兩個數目的關系.擴展對分數意義的理解。分數的意義表達的是部分與整體的關系。如地球表面有71100被大海覆蓋.地球的表面是整體.把它看作單位“1”；被大海覆蓋的是此中的一部分.占整體的71100。事實上.分數的應用不限制于部分與整體關系的范圍.還常常用來表示兩個同類數目之間的關系。讓學生領會分數能表示兩個同類數目的關系.擴展對分數意義的理解.有利于應用分數知識解決實質問題。這些正是例4、例5的編排企圖。例4利用直觀的圖畫.指引學生把已有的分數觀點遷徙到新的情境中來。圖畫里一條紅彩帶均勻分紅4份.另一條黃彩帶和紅彩帶中的一份相同長.很簡單看出黃彩帶的長是紅彩帶的14。教材要修業生表達得出14的思慮.認真領會此中的推理：紅彩帶均勻分紅4份.此中的1份是它的14；因為黃彩帶與紅彩帶的1份相同長.所以黃彩帶的長是紅彩帶的14。學會思慮是這道例題的教課要求.但不要機械套用某種語言模式。要抓住分數的意義.領會黃彩帶與紅彩帶的長度關系?！霸囈辉嚒笔抢}的延長.紅彩帶依舊均勻分紅4份.藍彩帶的長與紅彩帶里的3份相同長.是紅彩帶的34。從黃彩帶的長是紅彩帶的14到藍彩帶的長是紅彩帶的34.學生初步領會到分數能夠表示兩個長度的關系。例5在紅彩帶的下邊畫綠彩帶.領會“綠彩帶的長是紅彩帶的5”4這個關系的含義。以畫促思是例題的編寫特點.假如讓學生先猜一猜畫出的綠彩帶比紅彩帶長還是短.并說出原由.既能激起興趣.又能引起思慮。“試一試”把花彩帶的長與紅彩帶的長相互比較.提出了兩個問題。領會兩個問題不一樣.辨清各是什么彩帶與什么彩帶對比.才能正確地用分數表示兩個長度的關系。要聯系圖畫.理解前一個問題是花彩帶與紅彩帶比.把紅彩帶均勻分紅4份.花彩帶的長有這樣的7份。后一個問題是紅彩帶與花彩帶比.把花彩帶均勻分紅7份.紅彩帶的長是這樣的4份。練習七第5~8題配合例5的教課。這些題分別經過線段圖、平行四邊形、實物圖、統計圖表現數目.能讓學生感覺生活中常常用分數表示數目關系。更重要的是深刻領會.解決一個數是另一個數的幾分之幾的問題.一定剖析誰和誰比.找到作為單位“1”的數目。經過操作活動感覺分數與除法的關系。例6教課分數與除法的關系.在“試一試”“練一練”里應用這種關系.用分數表示除法算式的商和計量單位換算的結果。分數與除法的關系向來是教課難點。為了有效地打破難點.例題里安排兩次分餅活動.讓學生充足體驗每人分得的塊數是餅的塊數分餅的人數.從豐富的感性資猜中發現規律。第一次分餅活動.把3塊餅均勻分給4個小朋友。在表現場景的圖畫里.能清楚看到餅的塊數比分的人數少.每人分得的餅不滿1塊；在列出的算式里.被除數小于除數.商比1小。這些矛盾激起學生著手分一分的夢想。交流兩種分法.不但得出每人分得34塊的結論.還要在第一種分法中理解3個14塊是34塊.在第二種分法中理解3塊的14是34塊。這些是分餅活動里的數學識題.是兩種分法的實質差別。理解數學識題.能使分餅活動在腦筋中留下清楚的印象。第二次分餅.把3塊餅均勻分給5個小朋友。此次活動的特點是“想”出每人分得的塊數.要在前一次分餅經驗的基礎上.經過每人分得3個15塊或3塊的15得出結果。讓學生察看3+4=34和3+5=35.從數學現象里發現規律.用兩種形式表達分數與除法的關系。先用語言敘述和用數目關系式表示.在充足的交流中理解新知識。再寫成字母構成的等式.并從除數不可以是0.推測分數的分母不可以是0.成立新知識的數學模型。兩種表達形式.前一種詳細詳盡.后一種歸納簡潔.能夠當作理解分數與除法關系的兩個層次?！熬氁痪殹钡?題既用分數表示除法運算的商.又把分數改寫成除法算式.使學生對分數與除法關系的理解更完好.掌握得更扎實。“試一試”和“練一練”第2題都是把較小計量單位的數改寫成較大計量單位的數.在五年級（上冊）教課小數知識時.以前解決過這些實質問題。此刻再次出現這些問題.有兩點變化：一是用分數與除法的關系.把較大單位的數寫成分數；二是改寫的范圍不限制于進率是10、100或1000的長度單位和質量單位.還擴展到時間單位的改寫。練習八配合分數與除法關系的教課而安排.除了分數與除法相互改寫的練習外.還聯合分數的意義應用分數與除法的關系。第3題從1米均勻分紅3份到2米均勻分紅3份.聯合圖示用填空的形式指引學生理解2米均勻分紅3份.每份有2個13米.是23米。這樣的思路.常常用來解決實質問題。第4題里的兩個問題既不相同.又有聯系。求每人分得這袋糖的幾分之幾.要把這袋糖當作單位“1”.均勻分紅5份.假如寫成算式是1+5=15。求每人分得幾分之幾千克.能夠經過2+5=25（千克）計算.也能夠經過每人分得2個15千克.是25千克的推理獲取答案。在分別解答兩個問題后.要進行比較.看到它們都是均勻分的問題.都用除法計算；因為問題不一樣.兩個除法算式的被除數不一樣。在解答第5題時.聯系已有的經驗學生能直接寫出得數。題目要求先填出得數.再依據分數與除法的關系列出算式.是讓學生領會求一個數是另一個數的幾分之幾的問題都能用除法計算。在此基礎上.第53頁第10題就提出了列式求出答案的要求。先特別后一般.經過改寫假分數.教課帶分數。例7和例8主要教課帶分數的知識.包含帶分數的觀點以及假分數化成帶分數的方法。假分數等于1或許大于1.分子是分母倍數的假分數都能化成整數.分子不是分母倍數的假分數能寫成帶分數。例7和例8按這樣的思路編排。例7把44、105和287化成整數.此中的44和105分別在第38頁例2和例3認識假分數時出現過。在教課分數與除法的關系后.又能夠經過除法4+4=1和10+5=2算得它們分別等于1和2。所以.把44和105化成整數學生能夠獨立進行.并且思路與方法應當是多樣的。交流的時候.把貌似不一樣的方法在實質上交流起來.如繪圖形表示105.在里能夠看到.5個15是1.10個15是2.進而領會分子除以分母是比較簡易的方法。287在教材里初次出現.把它化成整數是在44和105化成整數的基礎長進行的.分子除以分母很簡單得出等于4。經過三個假分數化成整數的實例.教材指引學生研究這些分數的分子與分母的關系.理解能化成整數的假分數都是特別的假分數.它們的分子都是分母的倍數。特別的假分數都能化成整數.其余假分數呢？這是很多學生的懷疑.教材合時教課帶分數的知識。先告訴學生.分子不是分母倍數的假分數固然不可以寫成整數.但能夠寫成整數和真分數合成的形式.即寫成帶分數。而后以43為例.講了把它寫成帶分數的思路以及帶分數的寫法和讀法。43寫成帶分數的思路是把它分紅33和13兩部分.33是1.1和13合成的數是113。聯合數軸有利于學生理解改寫的思路.領會43寫成113是合理的.它們能夠用數軸上同一個點表示。還為例8的教課作了鋪墊。例8教課假分數化成帶分數的方法。教課過程分兩步進行：第一步讓學生聯系帶分數的含義.借鑒43化成113的經驗進行改寫。不論是繪圖的方法還是推理的方法.都是把114分紅84和34兩部分.再把2和34合起來寫成234。繪圖的方法比較形象.推理比較抽象.兩種方法相聯合最適合多半學生.這一點能夠在交流時實現。第二步經過除法計算改寫.要在理解的基礎上應用這種方法。聯系第一步的計算經驗.能幫助學生理解算理.11+4商2表示從11個14里分出2個44（即84）.并把它當作整數2；余數3表示還剩3個14。所以114是2和34合成的數.能夠寫作234。教材里沒有講帶分數的整數部分和分數部分.假分數化成帶分數的方法只在實例中領會和應用.不需要形成嚴實的文字形式的法例。兩道例題分別教課假分數化成整數和化成帶分數.第47頁“如何把假分數化成整數或帶分數”指引學生整理新的認知構造。再經過“練一練”.把123、85等四個假分數分別化成整數或帶分數.領會兩種狀況都要用分子除以分母的計算.最后化成不一樣形式的數是假分數的分子與分母之間能否存在倍數關系而決定的。練習九第1~6題配合例7和例8的教課.此中第2題寫出假分數和改寫成帶分數都要依據圖意.一方面領會假分數能夠寫成整數和真分數合起來的形式.有利于理解帶分數的含義。另一方面領會分子除以分母是假分數改寫成帶分數的方法.進而穩固例8教課的知識。第4題直線上邊方框里的假分數.要依據分數單位以及幾個13是三分之幾的思路填寫；直線下邊方框里的帶分數要依據帶分數的觀點填寫.如1和23合成123、2和13合成213。假如再把各個假分數的分子除以分母就.能使假分數化成相應的帶分數或整數。編排這道題是讓學生更好地領會假分數和帶分數的意義以及相互聯系。此外 .直線上下的33和1、63和2、93和3、123和4這四組數.要從每組的兩個數都用直線上同一個點表示.每組的兩個數能夠相互改寫等方面理解同組的數大小相等。特別要思慮 1、2、3、4分別化成（）3的方法.為獨立解答第5題作準備。第6題在比較數的大小時.學生能夠聯系多種分數知識進行思慮。要鼓舞策略多樣.如56和76能夠想分母相同.分子小的分數??；能夠想5個16比7個16少；能夠想56小于1.76大于1交流各樣思路和方法.有利于知識的舉一反三.發展思想的靈巧性。還有一點需要指出.本單元只教課假分數化成帶分數.不教課帶分數化成假分數。因為小學教課里不進行帶分數的四則計算.不需要帶分數化成假分數。更主要的原由是.教課帶分數是為了更好地理解假分數.因為假分數化成整數或帶分數.簡單感覺假分數的分數值。領會數值的大小.是成立數觀點不行缺乏的。優化小數與分數相互改寫的教課。例9教課把分數化成小數.從兩個女孩比誰的彩帶長的實質問題里提出比較 05和34的大小的數學識題。對比較的兩個數.一個是小數、一個是分數.聯系已有的小數米對比.間接獲取05和34的大小關系。這種比較策略在以前是少見的.此刻專門選編在例題里。另一種是把34化成小數.先比較兩個小數的大小.再得出34與05誰大、誰小。把不一樣形式的數變為相同形式.也是一種策略。分數化小數的方法是例9教課的數學知識.只需應用分數與除法的關系.把分子除以分母.商寫成小數就能夠了。這些對學生來說是不困難的。有些分數的分子除以分母的商是循環小數.如“試一試”里的56.教材中有“除不盡的保存三位小數”的指示?！霸囈辉嚒边x擇925和56兩個分數化成小數.讓學生清楚地知道.有些分數能化成有限小數.有些分數只好化成無窮小數。至于什么樣的分數能化成有限小數.什么樣的分數不可以.臨時不要深入研究。例10教課小數化成分數.要應用小數的意義。只需回想起一位小數表示十分之幾、兩位小數表示百分之幾、三位小數表示千分之幾等知識.把小數寫成分數是很簡單的。教材考慮到小數意義是以前的教材里教課的.靠例10的問題情境激活舊知識有困難。所以.安排了“象”幫助學生回想。先對學生說“一位小數表示十分之幾”.并把相應的0.3改寫成310。而后讓學生持續想兩位小數、三位各表示幾分之幾.把0.13和0.213也改寫成分數。練習九第7~11題配合例9、例10的教課。第7題增強小數的意義.有利于把小數化成分數。第10、11兩題都要比較一個小數與一個分數的大小.再解決問題的策略上講.先把分數化成小數.再比兩個小數的大小.或許先把小數化成分數.再比兩個分數的大小.都是能夠的。要讓學生領會哪一種方法簡易些。一般狀況下.把分數化成小數這種方法好些.因為接著比兩個小數的大小很簡單。假如把小數化成分數.接著比兩個分數的大小.常常還要通分。再說.教材里還沒有教課通分.采納化成分數的方法.臨時更不行取。與分數的知識.學生會有不一樣的思慮。教材選擇了兩種典型的方法和學生交流.在教課基礎知識的同時.發展解決問題的策略。一種方法是思慮0.5米和3.4米的意義.憑數感進行比較。并且分別把0.5米、34米與1米對比.間接獲取0.5和3.4的大小關系。這種比較策略在以前是少見的.此刻專門選編在例題里。另一種是把3.4化成小數.先比較兩個小數的大小.再得出3.4與0.5誰大.、誰小。把不一樣形式的數變為相同形式.也是一種策略。分數化小數的方法是例9教課的數學知識.只需應用分數與除法的關系.把分子除以分母.商寫成小數就能夠了。這些對學生來說其實不困難。有些分數的分子除以分母的商是循環小數.如“試一試”里的56.教材中有“除不盡的保存三位小數”的要求?！霸囈辉嚒边x擇925和56兩個分數化成小數.讓學生清楚地知道.有些分數能化成有限小數.有些分數只好化成無窮小數。至于什么樣的分數能化成有限小數.什么樣的分數不可以.臨時不要深入研究。例10教課小數化成分數.要應用小數的意義。只需回想起一位小數表示十分之幾、兩位小數表示百分之幾、三位小數表示千分之幾等知識.把小數寫成分數是很簡單的。教材考慮到小數意義是以前教課的.靠例10的問題情境激活舊知有困難。所以.經過“大象”卡通的話幫助學生回想。先對學生說“一位小數表示十分之幾”.并把相應的0 3改寫成310。而后讓學生持續想兩位小數、三位各表示幾分之幾.把0 13和0 213也改寫成分數。練習九第7~11題配合例9、例10的教課。第7題增強小數的意義.有利于把小數化成分數。第10、11題都要比較一個小數與一個分數的大小.從解決問題的策略上講.先把分數化成小數.再比較兩個小數的大小.或許先把小數化成分數.再比較兩個分數的大小.都是能夠的。要讓學生領會哪一種方法簡易些。一般狀況下.把分數化成小數這種方法好一些.因為接著比兩個小數的大小很簡單。假如把小數化成分數.接著比兩個分數的大小.常常還要通分。再說.教材里還沒有教課通分.采納化成分數的方法.臨時不行取。第五單元《找規律》教材剖析在數表里框出幾個數、在墻面上貼瓷磚、選擇連號的觀光券或座位等實質問題.都可以和圖形的覆蓋現象聯系起來。環繞覆蓋了哪里、有多少個地點能夠選擇等問題進行研究.發現此中的規律.能感覺數學是研究客觀世界里的事物和現象的工具.進一步發展數學思慮.培育樂于探究的精神。教材編排了兩道例題.例1里的覆蓋比較簡單.覆蓋的地點只有一個維度上變化。例2里圖形的覆蓋地點.在兩個維度上變化。練習十運用例題里的思想方法和認識的規律.解決平時生活、數學游戲中的實質問題。例1突出探究規律時的數學活動。例1的教課從游戲開始。把1~10這十個數從左往右按序擺列.構成一張數表.游戲的方法是.用紅框在數表里框數.分三次進行。第一次只框兩個數.第二次要框三個數.第三次框更多個數。第一次游戲.先框出數表左端的兩個數1和2.算出它們的和是3。再隨意挪動紅框的地點.能夠看到各次框出的兩個數都不會完好相同.所以兩個數的和不行能相同。“一共能夠獲取多少個不一樣的和”提出了游戲里的數學識題.把教課的注意力集中到研究紅框在數表中有多少個不一樣的地點。學生第一會想到第一種方法.跟著紅框從數表的左端漸漸移到右端.挨次計算1+2=3、2+3=59+10=19.數數一共寫了9個算式.獲取9個不一樣的和。第二種方法有兩個特點：一是對問題的理解十分正確?！耙还材軌颢@取多少個不一樣的和”這個問題.是問和的個數.不是問和是多少.所以不用進行乞降計算。二是應用了圖形平移的知識.經過紅框從左往右挨次平移一格得出了卻果。此中 .紅框平移8次.能獲取9個不同的和.是需要打破的難點。在第一種方法的基礎上理解并使用第二種方法 .學生數學活動的水平有了提高.也為持續進行的游戲和探究規律修建了平臺。第二次游戲.紅框每次框出三個數.和第一次游戲對比.有兩點提高：一是只用平移的方法找答案。在前一次游戲中領會了平移是解決這種問題比較好的方法.在此次游戲中學生必定愿意應用這種方法。二是初步感知每次框出的數多.獲取不一樣的和的個數少。這一感知一方面能在問題的答案上獲?。好看慰?個數.獲取9個不一樣的和；每次框3個數.獲取8個不一樣的和。另一方面能在平移的過程中領會：每次框的數少.紅框平移的次數多.得出的和的個數多；每次框的數多.紅框平移的次數少.得出的和的個數少。明顯.經過此次游戲.學生對用平移方法解決問題的體驗深了.為發現規律邁了堅固的一步。第三次游戲.在同一張數表里.每次框出更多個數.如4個數、5個數.分別能獲取幾個不一樣的和？安排學生持續實驗.并把數據都填入一張表格。有前兩次操作的經驗.這里能夠依據自己的需要選擇活動的方法?；蚴且琅f用紅框逐次去框數.或是看著數表想像框的活動。經過此次活動.對這種現象的感知獲取進一步的充分.更清楚地看到.每次框的數的個數越多.紅框平移的次數越少.獲取的和的個數也越少.它們之間是有聯系的。得出規律是例題最要點的教課環節。帶著教材里的兩個問題逐行察看表格里的數.研究平移次數與每次框的數的個數之間的關系.以及獲取不一樣和的個數與平移次數的關系.找到的共同特點就是這種現象的規律。平移次數與每次框的數的個數的關系.在表格中能看到的是：它們相加的和都是10（數表里有10個數）。由此推理.10減每次框的數的個數等于平移的次數。假如聯想平移紅框的操作.就能領會這個關系是合理的。如在數表左端框出3個數.數表里還剩7個數.紅框還可以向右平移7次。發現和的個數與平移次數的關系比較簡單.表格里能看到平移的次數加1等于獲取的和的個數.在幾次操作活動中都有這一領會。發現的規律要用自己的語言.順著填的表格.從左到右歸納地敘述。如數表里有10個數.減每次框幾個數等于平移次數.平移次數加1獲取幾個不一樣的和?？粗砀駭⑹霰容^方便.關系清楚.也有助記憶?！霸囈辉嚒痹鎏砹藬当砝锏臄担◤?0個變為15個）.“練一練”把數表換成正方形圖案連成的花邊。要求利用例題里的規律.說出幾個問題的答案.在應用中進一步領會和穩固發現的規律。還要注意的是.“試一試”直接說出能夠獲取多少個不一樣的和.“練一練”直接說出有多少種不一樣的蓋法.它們都沒有問“平移多少次”。這是因為平移是解決這些問題的手段.平移次數是解決問題時應當主動思慮的中間數目。例2用較簡單的規律建立稍復雜的規律。例2的素材是在墻面上貼瓷磚.每塊瓷磚都是大小相同的正方形。4塊花色瓷磚拼成正方形.構成一個圖案。把這個圖案貼在墻面隨意一個地點.稱為一種貼法。要解決的問題是圖案在墻面上一共有多少種貼法？明顯.圖案在墻面上的地點.能夠在同一行左、右挪動.還可以夠在同一列上、下挪動.這是例2比率1復雜的地方?？墒?不論圖案從左往右挪動.還是從上往下挪動.計算平移次數的方法與例1是一致的。所以.這道例題要以例1的規律為基礎.建立稍復雜一些的規律。第一是理解題意.激活有關的經驗。表示圖的墻面上貼了瓷磚.中間的4塊構成一個圖案?！鞍褕D案貼在這面墻的隨意一個地點”引起想像.能夠把圖案貼高些.也能夠貼矮些；能夠把圖案貼在墻面的左側.也能夠貼在右側。經過交流和整理.得出兩條線索.即教材表現的兩種思慮。這兩種方法都是把例1里獲取的經驗.應用到新的情境中。第一種方法想的是在一行上挪動.和例1特別切近.很快得出貼在最上邊一行有7種貼法。第二種方法想的是在一列上挪動.比率1稍有變化.所以貼在最左側一列有多少種貼法需要數一數或算一算。而后小組議論三個問題.這三個問題是逐漸深入的。第（1）個問題需要的時間最多.把第一種一行有7種貼法和第二種一列有5種貼法聯合起來.才能“既不重復又不遺漏”。這里不要急于得出一共有多少種貼法.要弄理解的是：假如一行一行地想.要從上到下想5行；假如一列一列地想.要從左到右想7列。第（2）個問題在理解題意時已經有了答案.這里再次議論.是因為第一種方法講的是最上邊一行.第二種方法講的是最左側一列.需要擴展到每一行都有7種貼法.每一列都有5種貼法。第（3）個問題是解決一共有多少種貼法以及它的算法。有前兩個問題為基礎.很簡單想到一共有7X5=35（種）貼法.這個算式的數目關系就是沿著長的貼法、沿著寬的貼法與一共有的貼法之間的關系?！霸囈辉嚒焙汀熬氁痪殹倍际抢}的變式。“試一試”的圖案固然依舊由4塊瓷磚拼成.但拼法變為“凸”字形。把它貼到墻面上.求一共有多少種貼法.要把圖案當作長方形。這一點能夠經過教師演示或學生操作來理解。“練一練”在墻面上貼的是長方形瓷磚.有6塊相同大小的長方形瓷磚拼成一個圖案。求一共有多少種貼法的思慮與計算.和貼正方形瓷磚相同.能再次領會一共有的貼法與沿墻面長的貼法、沿墻面寬的貼法之間的關系。練習十第3題里有兩類問題.一類是用“十”字形的框在數表里每次框出 5個數.一共有多少種框法。解決這種問題.要把紅框當作每次框出9個數的長方形。這一點.學生在“試一試”里已有初步的領會。另一類問題是研究每次框出的5個數的和與中間數的關系.只要經過幾次框數活動.就能發現框里的5個數的和是中間數的5倍。中間的那個數是5個數的均勻數。第六單元《分數的基天性質》教材剖析本單元教課分數的基天性質.約分、通分.比較分數的大小等知識.讓學生進一步理解分數的意義.并為分數四則計算作必需的準備。分數的基天性質是約分和通分的依照.比較幾個異分母分數的大小常常先通分。依據知識間的聯系.全單元內容分三部分編排。第60~64頁分數的基天性質.約分。第65~68頁通分.比較分數的大小。第69~73頁全單元內容的整理與練習.實踐與綜合應用。精心安排探究分數基天性質的教課活動。例1和例2教課分數的基天性質.按“表現現象——發現規律——聯系有關知識”的線索組織教課活動。例1的圖形是四個大小相等的圓.各個圓均勻分的份數不一樣。用分數表示每個圓里的涂色部分.分別寫出13、12、26、39四個分子、分母都不相同的分數。比較各個圓里的涂色部分.能夠看到從左往右第1、3、4個圓的涂色部分大小相等.由此獲取寫出的分數大小相等.即13=26=39。這道例題讓學生初步感覺分子、分母都不相同的分數中.有些分數的大小相等.有些分數的大小不等。并對分子、分母不等.但分數大小相等的現象產生興趣。例2承接例1.在對折正方形紙的活動中又得出一些與12大小相等的分數.分別寫成等式12=24、12=48、12=816.再次讓學生感覺分子、分母不一樣的分數.大小能夠相等。寫出的三個等式.是研究分數基天性質的素材。教材分三步指引學生發現分數的基天性質。第一步研究例2每個等式中的兩個分數.它們的分子、分母是如何變化的.感覺變化是有規律的。在記錄變化的方式時.教材寫出了乘號或除號.啟迪學生從分子、分母乘或除以一個數的角度去察看。讓學生在括號里填數.體驗分子、分母乘或除以的是相同的數.有助于發現規律。對每個等式的研究.既從左往右察看.也從右往左察看.充足利用了素材.從中獲取盡量多的感性知識。填寫連等式12=（）（）=（）（）=（）（）.把12、24、48、816有序地擺列起來.能從中獲取很多感覺。如.12的分子、分母都乘2獲取24.24的分子、分母都乘2獲取48.48的分子、分母乘2獲取816.照這樣還可以寫出1632、3264這些分數的大小都相等。又如.與12大小相等的分數有無數多個.每個分數的分子、分母除以相同的數都能獲取12。第二步利用例2的經驗察看例1等式中的三個分數的分子、分母是如何變化的 .領會這些分數相等的原由和例2相同。并且分子、分母乘或除以的數.除了2、4、8.還可以夠是3和其余的數。這樣.對分數基天性質的感覺就更豐富了。第三步歸納兩道例題中分子、分母變化但分數大小不變的規律。在充足交流以后.閱讀教材里的表達.理解“同時”乘或除以“相同”的數這些規范的語言.知道這個規律叫做分數的基天性質。聯系除數不可以是0.理解分數的分子、分母同時乘或除以的數不可以是0.使獲取的規律更嚴實。在得出分數的基天性質后.教材還安排了兩項活動：一是依據分數的基天性質寫出一組分數.要先隨意寫一個分數.再把它的分子、分母同時乘或除以相同的數.獲取大小不變的分數。寫出的一組分數.能夠是兩個分數.也能夠是幾個分數。這項活動起穩固分數基天性質的作用.還浸透了通分、約分所需要的思想。二是用整數除法中商不變的規律說明分數的基天性質.因為除法里的被除數和除數分別相當于分數的分子和分母.所以除法中商不變的規律和分數的基天性質是一致的。交流這兩個知識.有助于學生成立新的認知構造.進一步理解分數的基天性質。練習十一第1~3題配合分數基天性質的教課。第1題持續體驗分數基天性質的內容.在方格紙上涂色表示1224.再說出涂色部分還表示612、48、36、24、12平分數.還要從不一樣角度說明這些分數的大小相等。如.因為這些分數是用同一個涂色部分表示的.所以大小相等；又如.這些分數能夠把1224的分子、分母同時除以2、3、4、6或12得出.所以大小相等。第2題應用分數的基天性質判斷同組的兩個分數能否是相等.此中兩組分數的分子、分母沒有除以相同的數.是學生初學分數的基天性質時簡單出現的錯誤。這些反例能增強對分數基天性質的理解。第3題運用分數的基天性質對分數進行等值變化.是通分、約分需要的基本功。讓學生把分數等值改寫.理解約分和通分。例3教課約分.分三步安排。第一看圖寫出和1218相等.而分子、分母都比較小的分數.為理解約分的含義搭建認知平臺。教課分數基天性質的時候.以前用幾個分子、分母不同.但大小相等的分數表示同一個圖形里的涂色部分。此刻聯系這個經驗教課約分.寫出的分數分子、分母都應當比1218的分子、分母小.領會大小相等的分數中.分子、分母小的分數比較簡單。這種領會在談談寫分數時的思慮能夠獲取.如長方形里的涂色部分.能夠看作長方形的1218.也能夠看作長方形的69、46或23。明顯.這個涂色部分用23表示最簡易。而后教課什么是約分和如何約分.是例題的主要內容。對于約分的含義.聯系1218與69、46、23的關系.突出了兩點：與本來的分數大小相等.分子、分母都比本來的分數小。對于約分的方法.示范了分步約分.也示范了一次約分.讓學生從自己的實質出發.選擇適宜自己的約分方法。教課約分的意義和方法.都是學生存心義地接受新知識。要充足體驗約分是應用分數的基天性質化簡分數.不改變分數的大小。還要注意約分的書寫格式.分子和分母分別除以它們的公因數.獲取的商（即新的分子和分母）應當寫在適合的地點上。最后以23為例教課最簡分數.指出約分往常要約成最簡分數。練習十一第4~7題配合例3的教課。正確約分需要兩個能力：一是看出分子與分母的公因數.第4題為此而安排。把分數的分子、分母同時除以2、5或3.是最常用的約分方法.學生對2、5、3的倍數的特點比較熟習.所以先察看分子、分母有沒有公因數2、5、3。至于分子與分母同時除以7、11、13等數的約分.稍后再作安排。二是辨別一個分數能否是最簡分數。假如不是最簡分數則需要約分.假如是最簡分數則不可以約分.第5題進行這方面的判斷。這兩個能力是相互依存、相互影響的。判斷一個分數不是最簡分數.必定發現了分子、分母除1之外的公因數。反之.分子與分母除1之外.找不到其余公因數.就判斷這個分數是最簡分數。約分的時候.一定把分子、分母除以相同的數.學生常常在這一點上發生錯誤.第6題能給學生這方面的領會。第8~15題是分數的意義、基天性質的綜合練習。第8、9題在分數與除法相互改寫時.還要應用分數的基天性質。第10題把最簡分數與真分數兩個觀點聯系起來.才能理解最簡真分數。第11題先約分.再比較大小就特別簡單。第12~15題的分數加、減計算.計量單位改寫.小數化成分數.解決求一個數是另一個數的幾分之幾的實質問題.都提出把結果約成最簡分數的要求。增添習題的知識容量.把新舊知識聯合應用.能幫助學生溫故知新.不停提高能力。例4教課通分.要點放在通分的含義和方法上。把34和56改寫成分母相同而大小不變的分數.是一個擁有挑戰性的問題。學生對分數改寫成大小不變的另一個分數其實不陌生.在學習分數的基天性質的時候.以前多次進行過這樣的改寫。把兩個分母不一樣的分數改寫成分母相同的分數.是初次碰到的新問題。思慮的焦點是改寫成分母是幾的分數.只需確立新的分母.分別改寫兩個分數就簡單了。教材讓學生憑數感.主動聯系公倍數的知識和分數的基天性質.獨立進行改寫分數的活動。把兩個分數改寫成分母相同、大小不變的分數就是通分。可見.這道例題未教通分以前就讓學生試試通分.先累積把34和56都化成分母是12或分母是24的分數的親身體驗.為理解通分的含義.存心義地接受教材對于通分的敘述作了充足的準備。公分母是通分的要點。例題有層次地教課公分母的知識：第一聯系34和56的改寫.讓學生知道12、24是公分母.是34和56的分母的公倍數；而后比較34和56以12為公分母和以24為公分母的改寫.領會什么數作公分母比較簡易.得出一般用兩個分母的最小公倍數作公分母。例4只教課通分的含義和對于公分母的知識.不再另行教課如何通分。這是因為34和56改寫成分母是12與24的分數就是通分.不需要再重復。學生經過“試一試”.應用通分的知識.能夠掌握通分的步驟與方法。同時又考慮到“試一試”畢竟是學生第一次進行通分.所以在如何表達兩個分數的公分母、如何應用分數的基天性質以及書寫通分的過程和結果的一般格式等方面.都賜予較詳細的指導。練習十二第1~4題配合例4的教課。第1題兩個長方形里的涂色部分分別用12和23表示.這兩個分數通分后分別化成 36和46。在兩個長方形里表示出通分的結果.讓學生聯系直觀圖形領會通分的意義.感覺異分母分數化成同分母分數.便于比較和計算。第2題是找尋公分母的基礎練習.進一步理解兩個異分母分數的公分母.是它們分母的最小公倍數。把求最小公倍數的經驗應用到求公分母上來。第3題讓學生深刻領會兩點：一是通分不能改變分數的大小.通分后的分數一定與本來分數的大小相等.不然會發生近似第（1）小題的錯誤；二是通分時的公分母要用兩個分數分母的最小公倍數.像第（2）小題那樣的通分不夠簡單。比較分數的大小.體驗策略與方法的多樣性。在三年級的教材里.已經教課借助圖形比較同分母分數的大小和分子是1的異分母分數的大小。在本冊教材“認識分數”時.比較了一個分數與一個小數的大小。所以說.學生已經有一些比較分數大小的經驗。在此基礎上.例5教課比較兩個分數的大小.有兩個明顯的特點：一是在現真相境中采集數學信息.把實質問題抽象成數學識題?？赐槐竟适聲?小芳看了這本書的35.小明看了這本書的49。這兩個分數都把一本故事書看作單位“1”.分別均勻分紅5份和9份.看了此中的3份和4份。所以.比誰看的頁數多.只需比較35和49這兩個分數的大小。例題特別重視這些思慮活動.提示學生想到“比較這兩個分數的大小”.用數學的方法解決實質問題。在這樣的過程中.能回想起有聯系的知識.激活有關的技術。二是先讓學生獨立解決問題.再交流方法.鼓舞策略、方法多樣化。35與49是分子、分母都不相同的分數.比較它們的大小對學生來說是新的問題。聯系分數的意義、通分和分數化成小數等知識.能夠找到很多解決問題的方法。讓學生獨立解決新奇的問題.有利于創新精神和實踐能力的發展。各樣方法都很有特點.第一種方法數形聯合.在相同的長方形里分別表示兩個分數.直觀看出哪個分數比較大。第二種方法實時應用學到的通分知識.把異分母分數化成同分母分數進行比較.運用了轉變的策略。第三種方法以12為中介.把兩個分數分別與12比較大小.間接獲取35和49的大小關系.思想靈巧、快捷.策略奇妙。學生中還會有其余的方法.組織充足的交流.相互理解和借鑒.能體驗解決問題策略的多樣性。比較分數大小的練習.安排很有層次。在穩固基礎知識、掌握基本技術的基礎上