§4.2風險的異質性

有限擾動信度理論假設歷史經驗數據的誤差純粹是由隨機性引起的。但實際情況有可能不是這樣的。歷史經驗數據的誤差除了由隨機性引起外，還有可能與某些因素有關。1、風險異質2、結構函數3、索賠次數數據的風險異質性的識別4、索賠次數數據風險異質時的結構函數(4-8)隨機變量X——某一險種的實際損失X可以代表該險種的索賠次數，索賠頻率或賠款額。X的風險大小一般用來度量，稱為風險參數猶如Poisson分布中的。若風險同質，取某個固定的值；若風險異質，服從某個分布，其密度記為。4.2.2結構函數在服從連續型分布時，表示密度函數。信度理論中：——稱為結構函數(structurefunction)，貝葉斯統計推斷中：——稱為先驗分布。在服從離散型分布時，表示分布律；在信度理論中，給定后，X的條件概率密度記為，并稱X的邊際密度：為混合分布。如果是離散型取值，其中的積分應理解為求和。同時人們發現取伽瑪分布為結構函數能很好地描述風險的異質性。

結構函數是描述和處理風險異質性的一個重要方法。結構函數的選取，取決于我們對實際情況和貝葉斯統計推斷的了解程度。比如關于索賠次數數據，通常假設在給定后，X的條件分布為Poisson分布。根據貝葉斯統計推斷的理論，人們取的結構函數為伽瑪分布。必須指出的是，這里的風險指的是索賠次數，不是賠款額。

索賠次數的分布往往假設為Poisson分布，而賠款額的分布有多種假設。

不同的險種有不同的賠款額的分布假設，所以賠款額數據的風險異質性問題的討論較索賠次數復雜和困難。不討論索賠額問題。由于賠款額數據常常和索賠次數數據在一起，所以通過討論索賠次數數據，可以在一定程度上識別和處理賠款額數據的風險異質性問題。4.2.3索賠次數數據的風險異質性的識別在風險異質時，按貝葉斯統計推斷的理論，Poisson分布稱為在給定后，索賠次數X的條件分布，記為：(4-7)則：的結構函數記為，則所以在風險異質時，方差比均值大。根據定理4.2.1，我們有：

定理4.2.1

風險異質時，總的方差等于條件方差的期望與條件期望的方差之和：而在風險同質時，取某個固定的值，比如。風險服從Poisson分布，則，所以在風險同質時，方差等于均值。所以識別風險異質性的問題可以轉化為方差是否比均值大的問題。若方差比均值大，則認為風險有異質性。方差比均值大，還是方差等于均值，這是風險異質和同質的一個顯著區別。根據統計假設檢驗的理論，我們只有在樣本方差比樣本均值顯著地大的時候，才認為方差比均值大。

我們在水平下，認為方差比均值大，風險有異質性。如4.1節所述，是標準正態分布的分位點。在時，，，。(4-8)

首先給定檢驗的水平

，。常取

為一些標準化的數，如0.10，0.05，0.01等。如果：4.2.4索賠次數數據風險異質時的結構函數下面討論在索賠次數數據具有異質性時如何構造結構函數的問題。的結構函數可取為離散型分布，也可取為連續型分布。若取的結構函數為連續型分布，則由貝葉斯統計推斷的理論，我們將這個連續型分布取為伽瑪分布,其密度函數如式(4-6)。基于歷史經驗數據計算伽瑪分布參數和的估計值的過程相當簡單。因此在索賠次數數據具有異質性時，的結構函數通常取為伽瑪分布。(4-6)此時，由式(4-6)和式(4-7)，索賠次數等于k的邊際分布列為：

，(4-9)這是負二項分布，是索賠次數X的混合分布。(4-7)則有遞推迭代計算公式：，即：(4-10)，令：在風險異質，的結構函數取為伽瑪分布時，觀察數據來自于Poisson分布的混合，即負二項分布。負二項分布(見式(4-9))的均值和方差為：

負二項分布均值方差表4.2.3根據