建筑力學與建筑結構教學課件問題提出：FPFPFPFP1.內力大小不能衡量構件強度的大小。2.強度

(1)內力在截面分布集度應力；

(2)材料承受荷載的能力。第一節應力與應變的概念FRAK總應力：一、應力的概念受力桿件截面上某一點處的內力集度稱為該點的應力。總應力p是一個矢量，通常情況下，它既不與截面垂直，也不與截面相切。為了研究問題時方便起見，習慣上常將它分解為與截面垂直的分量σ和與截面相切的分量τ。第一節應力與應變的概念總應力分解為與截面相切pK工程中應力的單位常用Pa或MPa。

1Pa=1N/m2

1MPa=1N/mm2另外，應力的單位有時也用kPa和GPa，各單位的換算情況如下：

1kPa=103Pa，

1GPa=109Pa=103MPa1MPa=106Pa正應力σ剪應力τ與截面垂直第一節應力與應變的概念說明：（1）應力是針對受力桿件的某一截面上某一點而言的，所以提及應力時必須明確指出桿件、截面、點的名稱。（2）應力是矢量，不僅有大小還有方向。（3）內力與應力的關系：內力在某一點處的集度為該點的應力；整個截面上各點處的應力總和等于該截面上的內力。第一節應力與應變的概念二變形—位移和應變

1、位移（變形位移）線位移：物體中一點相對于原來位置所移動的直線距離。角位移：物體中某一直線或平面相對于原來位置所轉過的角度。第一節應力與應變的概念2、應變線應變切應變第一節應力與應變的概念屋架結構的簡化一軸向拉伸和壓縮的概念

工程中有很多構件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長或縮短。第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變兩個FP力指向端截面，使桿發生縱向收縮，稱為軸向壓力。FPFPFPFP

在桿的兩端各受一集中力FP作用，兩個FP力大小相等，指向相反，且作用線與桿軸線重合兩個FP力背離端截面，使桿發生縱向伸長，稱為軸向拉力。第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變一、軸向拉（壓）桿的內力——軸力

軸向拉（壓）桿的內力是一個作用線與桿件軸線重合的力，習慣上把與桿件軸線相重合的內力稱為軸力。并用符號FN表示。

軸力的正負規定:

FN與外法線同向,為正軸力(拉力)FN與外法線反向,為負軸力(壓力)FNFNFNFN第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變求內力的基本方法——截面法

內力的計算是分析構件強度、剛度、穩定性等問題的基礎。求內力的一般方法是截面法。

截面法的基本步驟：

（1）截開：在所求內力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。

（2）代替：任取一部分，其棄去部分對留下部分的作用，用作用在截開面上相應的內力（力或力偶）代替。

（3）平衡：對留下的部分建立平衡方程，根據其上的已知外力來計算桿在截開面上的未知內力。軸向拉伸和壓縮截開：FPFPⅠⅡmmFNFPmmxⅠFNFPmmⅡ由平衡方程

∑Fx=0，FN-FP=0得

FN=FP（１）截（3）代（4）平軸向拉伸和壓縮（2）取120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0FN1+20=0FN1=-20kN于1-1截面處將桿截開，取右段為分離體，設軸力為正值。則例1試求等直桿指定截面的軸力。FN120kND第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變20kN20kNFN2DC

于2-2截面處將桿截開，取右段為分離體，設軸力為正值。則120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN2+20-20=0FN2=0第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變FN320kN20kN30kNDCB

于3-3截面處將桿截開，取右段為分離體，設軸力為正值。則120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN3+30+20-20=0FN3=30kN第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變

任一截面上的軸力的數值等于對應截面一側所有外力的代數和，且當外力的方向使截面受拉時為正，受壓時為負。FN=ΣF結論120kN20kN30kNABCD12233FN1=-20kNFN2=0FN1=-20kN第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變二、軸力圖

為了形象地表明桿的軸力隨橫截面位置變化的規律，通常以平行于桿軸線的坐標（即x坐標）表示橫截面的位置，以垂直于桿軸線的坐標（即FN坐標）表示橫截面上軸力的數值，按適當比例將軸力隨橫截面位置變化的情況畫成圖形，這種表明軸力隨橫截面位置變化規律的圖稱為軸力圖。第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變意義：（1）反映出軸力與截面位置變化關系，較直觀；（2）確定出最大軸力的數值及其所在橫截面的位置，即確定危險截面位置，為強度計算提供依據。求軸力的方法為截面法，一般所求截面上的內力采用“設正法”，即無論受力如何，將內力一律設為拉力。結果正，表明該軸力為拉。軸力圖與桿件應注意一一對應的關系，應在其值變化的角點標出數值。截面不能剛好截在外力作用點處，因為在外力作用點處軸力發生突變，其值是不定值。畫軸力圖注意的問題120kN20kN30kNABCD12233第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變

例

桿受力如圖所示。試畫出桿的軸力圖。BD段：DE

段：AB段：30kN20kN30kN402010–++FN圖（kN）

注：內力的大小與桿截面的大小無關，與材料無關。第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變

軸力圖要求：練習直桿受力如圖所示，試畫出桿的軸力圖。2FPFP2FP5FPABCED正負號數值陰影線與軸線垂直圖名第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變FPFP’變形規律試驗：三、拉（壓）桿橫截面上的應力觀察發現：當桿受到軸向拉力作用后，所有的縱向線都伸長了，而且伸長量都相等，并且仍然都與軸線平行；所有的橫向線仍然保持與縱向線垂直，而且仍為直線，只是它們之間的相對距離增大了。第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變根據從桿件表面觀察到的現象，從變形的可能性考慮，可推斷：

軸向拉桿在受力變形時，橫截面只沿桿軸線平行移動。由此可知：橫截面上只有正應力σ。假如把桿想象成是由許多縱向纖維組成的話，則任意兩個橫截面之間所有縱向纖維的伸長量均相等，即兩橫截面間的變形是均勻的，所以拉（壓）桿在橫截面上各點處的正應力σ都相同。

sFNFP第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變通過上述分析知：軸心拉桿橫截面上只有一種應力——正應力，并且正應力在橫截面上是均勻分布的，所以拉桿橫截面上正應力的計算公式為式中A—拉（壓）桿橫截面的面積；

FN—軸力。

當軸力為拉力時，正應力為拉應力，取正號；當軸力為壓力時，正應力為壓應力，取負號。第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變對于等截面直桿，最大正應力一定發生在軸力最大的截面上。習慣上把桿件在荷載作用下產生的應力，稱為工作應力。通常把產生最大工作應力的截面稱為危險截面，產生最大工作應力的點稱為危險點。對于產生軸向拉（壓）變形的等直桿，軸力最大的截面就是危險截面，該截面上任一點都是危險點。第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變

例3-1

圖示結構，試求桿件AB、CB的應力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。FABC

解：1、計算各桿件的軸力。用截面法取節點B為研究對象45°12BF45°第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變BF45°2、計算各桿件的應力。第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變例題2

圖示為一變截面圓桿ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.試求：（1）

Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖（2）

桿的最大正應力maxF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變解：求支座反力FRD=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖F1FN1第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變F2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDFRDFN3第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變（2）

桿的最大正應力maxAB段DC段BC段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDmax=176.8MPa

發生在AB段.第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變FkkF

四、斜截面上的應力（Stressonaninclinedplane)1.斜截面上的應力（Stressonaninclinedplane）FkkFαpα以pα表示斜截面k-k上的應力，于是有第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變沿截面法線方向的正應力沿截面切線方向的切應力將應力pα分解為兩個分量：pαFkkFFkkxnpα第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變（1）α角2.符號的規定(Signconvention)（2）正應力拉伸為正壓縮為負（3）切應力對研究對象任一點取矩pαFkkFFkkxnpα順時針為正逆時針為負逆時針時

為正號順時針時

為負號自x

轉向n第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變（1）當

=0°

時，（2）當

=45°時，

（3）當=-45°

時，（4）當=90°時，討論xnFkk第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變五

五拉壓桿的變形計算

(Calculationofaxialdeformation)FFbh

一、縱向變形(Axialdeformation)b1ll12.縱向應變(Axialstrain)1.縱向變形(Axialdeformation)第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變二、橫向變形(Lateraldeformation)三、泊松比

(Poisson’sratio)稱為泊松比

(Poisson’sratio)2.橫向應變(Lateralstrain)FFbhb1ll11.橫向變形(Lateraldeformation)第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變四、胡克定律

(Hooke’slaw)式中E

稱為彈性模量(modulusofelasticity)，EA稱為抗拉（壓）剛度(rigidity).

實驗表明工程上大多數材料都有一個彈性階段，在此彈性范圍內，正應力與線應變成正比.上式改寫為由第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變例題2

圖示為一變截面圓桿ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.試求：（1）

Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖（2）

桿的最大正應力maxF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變（3）

B截面的位移及AD桿的變形FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變（3）

B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD第二節軸向拉伸（壓縮）桿的應力與應變一、強度條件(Strengthcondition)

桿內的最大工作應力不超過材料的許用應力1.數學表達式(Mathematicalformula)2.強度條件的應用(Applicationofstrengthcondition)（2）設計截面（1）

強度校核（3）確定許可荷載第四節軸向受力構件的強度條件例題1

一橫截面為正方形的磚柱分上、下兩段,其受力情況,各段長度及橫截面面積如圖所示.已知F=50kN，試求荷載引起的最大工作應力.FABCFF3000400037024021解：（1）作軸力圖第四節軸向受力構件的強度條件FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求應力結論：

在柱的下段，其值為1.1MPa，是壓應力.第四節軸向受力構件的強度條件例題2

簡易起重設備中，AC桿由兩根80807等邊角鋼組成，AB桿由兩根10號工字鋼組成.材料為Q235鋼，許用應力[]=170MPa.求許可荷載[F].ABCF1m30。第四節軸向受力構件的強度條件解：（1）取結點A為研究對象，受力分析如圖所示.ABCF1m30°FAxyFN1FN230。第四節軸向受力構件的強度條件結點A的平衡方程為由型鋼表查得FAxyFN1FN230。得到第四節軸向受力構件的強度條件（2）

許可軸力為（3）各桿的許可荷載（4）

結論：許可荷載[F]=184.6kN第四節軸向受力構件的強度條件例題3

剛性桿ACB有圓桿CD懸掛在C點,B端作用集中力F=25kN,已知CD桿的直徑d=20mm,許用應力[]=160MPa，試校核CD桿的強度,并求：（1）結構的許可荷載[F];（2）若F=50kN,設計CD桿的直徑.2aaFABDC第四節軸向受力構件的強度條件解：（1）求CD桿的內力2aaFABDCFNCDFACBFRAyFRAx（2）結構的許可荷載[F]由第四節軸向受力構件的強度條件[F]=33.5kN2aaFABDCFNCDFACBFRAy得（3）

若F=50kN，設計CD桿的直徑由得d=24.4mm取d=25mmFRAx第四節軸向受力構件的強度條件

CD梁段橫截面上只有彎矩,而沒有剪力，這種平面彎曲稱為純彎曲。

AC和DB梁段橫截面上不僅有彎矩還伴有剪力，這種平面彎曲稱為橫力彎曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件一、彎曲正應力

純彎曲梁橫截面上的正應力研究方法是：觀察變形應力分布應力計算公式

σ與ε物理關系靜力學關系一、純彎曲時梁橫截面上的正應力第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件Oyxzbhoyz觀察純彎曲梁變形現象o1ao2b12121.幾何變形方面第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件zyxoMMOyz所有縱向線都彎成曲線，仍與橫向線垂直，靠近凸邊的縱向線伸長了，靠近凹邊的縱向線縮短了。橫向線仍為直線但轉過了一個角度；矩形截面的上部變寬下部變窄。1212MMo1a1o2b1第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

平面假設：梁變形后其橫截面仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線垂直。同時還假設梁的各縱向纖維之間無擠壓。

單向受力假設：將梁看成由無數條縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件根據現象，推測梁內部變形中性層MMzy中性軸受壓區受拉區

中性層：梁的下部縱向纖維伸長，而上部縱向纖維縮短，由變形的連續性可知，梁內肯定有一層長度不變的纖維層，稱為中性層。

中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸，由于荷載作用于梁的縱向對稱面內，梁的變形沿縱向對稱，則中性軸垂直于橫截面的對稱軸。梁彎曲變形時，其橫截面繞中性軸旋轉某一角度。

第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件1212o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx

梁中取出的長為dx的微段變形后其兩端相對轉了d角a1b1O2O1dr第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件距中性層為y處的縱向纖維ab的變形式中ρ為中性層上的纖維的曲率半徑。可知：梁內任一層縱向纖維的線應變與y成正比。

則纖維的應變為原長：))O1O2a1b1O2O1dr1212o1ao2b變形后長：第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

2.物理關系方面

由于假設梁內各縱向纖維只受拉伸或壓縮，所以當材料在線彈性范圍內工作時，由虎克定律可得各縱向纖維的正應力為

梁橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比。即彎曲正應力沿截面高度成線性分布。

中性軸上各點處的正應力等于零，距中性軸最遠的上、下邊緣上各點處正應力最大，其它點的正應力介于零到最大值。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件xyzO坐標系的選取：

y軸：截面的縱向對稱軸。

z軸：中性軸。

x軸：沿縱向線。

受力分析：dA上的內力為σdA，于是整個截面上所有內力組成一空間平行力系，由于橫截面上只有繞中性軸的彎矩MZ，所以橫截面法向的軸力FN和力偶矩My應為零，即：ΣFx＝0ΣMy=0ΣMz=M(y

z)M3.靜力學關系方面第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件故：Sz

=0

即中性軸z必過橫截面的形心。代入胡克定律：及：故：Iyz＝0，

y軸為對稱軸，z軸又過形心，則軸y，z為橫截面的形心主慣性軸。（中性層曲率公式）故：第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件其中1／ρ是梁軸線變形后的曲率。稱EIZ為梁的抗彎剛度。得純彎曲時橫截面上正應力的計算公式：代入：

表明：橫截面上任一點的正應力與該橫截面上的彎矩和該點到中性軸的距離成正比，而與該截面對中性軸的慣性矩成反比。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

計算時公式中代入M和y的絕對值。σ的正負可由彎矩的正負和所求點的位置來判斷.-++-第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件適用條件是：

(1)梁的橫截面至少具有一個縱向對稱軸。

(2)正應力不超過材料的比例極限。

(3)梁產生純彎曲。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時，橫截面是不僅有正應力，而且有切應力。純彎曲理論的推廣對于跨度與截面高度之比大于5的橫力彎曲梁，橫截面上的最大正應力按純彎曲正應力公式計算，滿足工程上的精度要求。梁的跨高比越大，誤差就越小。梁在純彎曲時所作的平面假設和各縱向纖維間無擠壓的假設不再成立。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

若截面是高為h，寬為b的的矩形，則若截面是直徑為d的圓形，則第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

式中WZ僅與截面的幾何形狀及尺寸有關，稱為截面對中性軸的抗彎截面模量。單位：m3或mm3。

若截面是外徑為D、內徑為d的空心圓形，則

DdDd=a對于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數可從書后“附錄”型鋼表中查出。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

例

簡支梁受均布荷載q作用，試完成：(1)求距左端為１m的C截面上a、b、c三點的正應力。(2)求梁的最大正應力值，并說明最大正應力發生在何處。(3)作出C截面上正應力沿截面高度的分布圖。

200q=3.5kN/mAB3m1m第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件解

（1）求指定截面上指定點的應力先求出支座反力,由對稱性C截面積的彎矩矩形截面對中性軸z的慣性矩MC=(5.25×1－3.5×1×0.5)kN·m=3.5kN·m200q=3.5kN/mAB3m1m第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件計算C截面上a、b、c三點的正應力：200第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件(2)求梁的最大正應力值，及最大正應力發生的位置。梁的最大正應力發生在最大彎矩Mmax所在的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以判定，最大拉應力發生在跨中截面的下邊緣處；最大壓應力發生在跨中截面的邊緣處。其最大正應力的值為第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件(3)作C截面上正應力沿截面高度的分布圖。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件式中，FQ—需求切應力處橫截面上的剪力；

Iz—為橫截面對中性軸的慣性矩；

Sz*—為橫截面上需求切應力處平行于中性軸的線以上（或以下）部分的面積對中性軸的靜矩；

b—為橫截面的寬度。bhyzyFQ1.矩形截面梁第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件二、彎曲剪應力

切應力的分布規律：

1)切應力的方向與剪力同向平行。

2)切應力沿截面寬度均勻分布，即同一橫截面上，與中性軸等距離的點切應力均相等。

3)切應力沿截面高度按二次拋物線規律分布。距中性軸最遠的點處切應力等于零；中性軸上切應力取得該截面上的最大值，其值為第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件將

說明：矩形截面梁任一橫截面上的最大切應力發生在中性軸上，其值為該截面上平均切應力FQ/A的1.5倍，切應力沿截面高度的分布規律如圖示。

zyFQ第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件2.工字形截面梁結論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。

鉛垂剪應力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應力式中，h1—腹板的高度。b1—腹板的寬度。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

一般情況下，最大正應力發生于彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠處。令：三、梁的正應力強度計算1.梁的最大正應力習慣上把產生最大應力的截面稱為危險截面，產生最大應力的點稱為危險點。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

對于中性軸不是截面對稱軸的梁，例如T型截面的等直梁。yy1y2C同一橫截面上σtmax≠σcmax

，這時整個梁的σtmax

或σcmax不一定發生在|Mmax|截面處，需對最大正彎矩和最大負彎矩處的σtmax和σcmax分別計算。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件2.梁的正應力強度計算對于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼），由于，所以只要求：梁橫截面上絕對值最大的正應力不超過材料的彎曲許用應力。其正應力強度條件為：對于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于，所以要求：梁橫截面上的最大拉應力不超過材料的彎曲許用拉應力，同時，梁橫截面上的最大壓應力不超過材料的彎曲許用壓應力。其正應力強度條件為：第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

一般截面，最大剪應力發生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。切應力強度條件zyFQ梁的切應力強度條件表達式為：第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件彎曲剪應力驗算范圍

在工程中的梁，大多數并非發生純彎曲，而是橫力彎曲。由于其絕大多數為細長梁，并且在一般情況下，細長梁的強度取決于其正應力強度，而無須考慮其切應力強度。但在遇到梁的跨度較小或在支座附近作用有較大載荷；鉚接或焊接的組合截面鋼梁；木梁等特殊情況，則必須考慮切應力強度。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件3.強度條件應用●

強度校核:●

設計截面:●

確定許用荷載

:第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件

例

圖示簡支梁選用木材制成，其橫截面為矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷載FP=6kN，q=2kN/m，材料的彎曲許用應力[σ]=11MPa，試校核該梁的正應力強度。FAyFByhbz解：（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。求支座反力,由對稱性FBy=FAy=7kNqABl=4mFP第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件10kNm

(2)計算截面的幾何參數。

再作梁的彎矩圖，如圖示。hbz從圖可知：跨中截面上彎矩最大，其值為Mmax=10kN·m

。FAyFByqABl=4mFP第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件(3)校核梁的正應力強度。該梁滿足正應力強度要求。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件y2y1C

例

T形截面外伸梁如圖示，已知：材料的彎曲許用應力分別為[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面對中性軸的慣性矩Iz=5.73×10-6m4，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上邊緣到中性軸的距離y2=38mm。試校核該梁的強度。4FP1=40kN0.3m0.3m0.3mFP2=15kNABCD第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件解：(1)求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。

4.5kNm3kNmFP2=15kNDFP1=40kN0.3m0.3mABC0.3m第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件B截面和C截面應力分布規律圖y2y1C

C截面

B截面第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件B截面滿足正應力強度條件。C截面B截面

C截面不滿足正應力強度條件。所以該梁的正應力強度不滿足要求。第五節梁的彎曲應力、梁的正應力、剪應力強度條件講解例題3-9、3-11、3-12梁的合理截面選擇

一、

根據抗彎截面系數選擇合理截面

從抗彎截面系數的計算可以推知：一般情況下，抗彎截面系數與截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形狀應該是在橫截面面積A相等的條件下，比值Wz/A盡量大些。

1)通過對矩形、圓形、工字形、正方形截面進行理論計算發現：在橫截面的面積A相等的情況下，比值Wz/A從大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圓形；zzzz

2)通過對具有相同截面面積的實心及空心截面進行理論分析發現：不論截面的幾何形狀是哪種類型，空心截面的Wz/A總是大于實心截面的Wz/A。zzzz

3）對具有相同面積的矩形截面進行理論計算還發現：盡管截面形狀和尺寸都沒變，只是放置方式不同（中性軸不同），從而使抗彎截面系數不相同。立放的矩形截面Wz/A值比平放的矩形截面Wz/A值大。若h=2b，梁平放時Wz/A=b/6，梁豎放時Wz/A=b/3。zybhhzyb

注意：上面我們只是單從強度觀點出發分析了截面的選擇規律，事實上，在實際工程中，選擇截面時，除了考慮強度條件外，還要同時考慮穩定性、施工方便、使用合理等因素后才正確選擇梁的截面形狀。這就是大家所看到的在實際工程中仍然大量使用實心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。二、根據材料特性選擇截面sGz對于抗拉和抗壓相同的塑性材料，一般采用對稱于中性軸的截面，如圓形、工字形等，使得上、下邊緣同時達到材料的許用應力值。對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料，最好選用關于中性軸不對稱的截面，如T形、槽形等。三、采用變截面梁

為了充分利用材料，理想的梁應該是在彎矩大的部位采用大截面，而在彎矩小的部分就采用小截面，使彎矩與截面相對應，這種梁的橫截面尺寸在全梁范圍內不是一個常數，而是沿著軸線有一定變化的梁稱為變截面梁。最理想的變截面梁應該是：梁的每一個橫截面上的最大正應力都恰好等于梁所用材料的彎曲許用應力，這種變截面梁稱為等強度梁。

從強度的觀點來看，等強度梁最經濟，能充分發揮材料的潛能，是一種非常理想的梁，但是從實際應用情況分析，這種梁的制作比較復雜，給施工帶來好多困難，因此綜合考慮強度和施工兩種因素，它并不是最經濟合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形狀比較簡單又便于加工制作的各種變截面梁，而不采用等強度梁。圖示為建筑工程中常見變截面梁的情況。

第八節壓桿穩定（BucklingofColumns）

§8-1

壓桿穩定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)§8-3

歐拉公式的應用范圍§8-2

細長壓桿的臨界壓力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)第八節壓桿穩定§8-4壓桿穩定的實用計算公式30mm1m兩根相同材料（松木）制成的桿，σb=20MPa；A＝10mm×30mm短桿長：l＝30mm；FFFF長桿長：l＝1000mm8-1壓桿穩定的概念一、穩定問題的提出若按強度條件計算，兩根桿壓縮時的極限承載能力均應為：F=σb

A=6kN第八節壓桿穩定（1）短桿在壓力增加到約為6kN時，因木紋出現裂紋而破壞。（2）長桿在壓力增加到約4kN時突然彎向一側，繼續增大壓力，彎曲迅速增大，桿隨即折斷。30mm1mFFFF壓桿的破壞實驗結果：第八節壓桿穩定短壓桿的破壞屬于強度問題；30mm1mFFFF長壓桿的破壞則屬于能否保持其原來的直線平衡狀態的問題結論：

短壓桿與長壓桿在壓縮時的破壞性質完全不同第八節壓桿穩定

壓桿穩定性：壓桿保持其原來直線平衡狀態的能力。壓桿不能保持其原來直線平衡狀態而突然變彎的現象，稱為壓桿的直線平衡狀態喪失了穩定，簡稱為壓桿失穩。第八節壓桿穩定構件的承載能力①強度②剛度③穩定性

工程中有些構件具有足夠的強度、剛度,卻不一定能安全可靠地工作.案例120世紀初，享有盛譽的美國橋梁學家庫柏（TheodoreCooper）在圣勞倫斯河上建造魁比克大橋(QuebecBridge)1907年8月29日，發生穩定性破壞，85位工人死亡，成為上世紀十大工程慘劇之一.失穩破壞案例

(Buckingexamples)第八節壓桿穩定案例21995年6月29日下午，韓國漢城三豐百貨大樓，由于盲目擴建，加層，致使大樓四五層立柱不堪重負而產生失穩破壞使大樓倒塌，死502人，傷930人，失蹤113人.第八節壓桿穩定案例32000年10月25日上午10時南京電視臺演播中心由于腳手架失穩造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人.研究壓桿穩定性問題尤為重要第八節壓桿穩定1、平衡狀態的類型穩定平衡：

干擾平衡的外力消失后，物體能自動恢復到原來的平衡位置的平衡不穩定平衡：

即使干擾平衡的外力消失后，物體仍繼續向遠離原來平衡位置的方向繼續運動的平衡。隨遇平衡：

干擾平衡的外力消失后，物體可在任意位置繼續保持平衡。顯然，隨遇平衡是界于穩定平衡與不穩定平衡之間的狀態，稱為臨界平衡狀態。第八節壓桿穩定壓桿穩定的基本概念2.彈性壓桿的穩定性(StabilityofEquilibriumappliestoelasticcompressivemembers)—穩定平衡狀態

—臨界平衡狀態

—不穩定平衡狀態

關鍵確定壓桿的臨界力

Fcr穩定平衡不穩定平衡臨界狀態臨界壓力:Fcr過度對應的壓力第八節壓桿穩定8-2細長壓桿的臨界力臨界力的影響因素

臨界力Fcr的大小反映了壓桿失穩的難易，而壓桿失穩就是直桿變彎，發生彎曲變形，因此臨界力的大小與影響直桿彎曲變形的因素有關：桿的長度ll越大抵抗變形的能力越小容易失穩Fcr越小抗彎剛度EIEI越大抵抗變形的能力越強不易失穩Fcr越大桿端支承越牢固越不容易發生彎曲變形不易失穩Fcr越大第八節壓桿穩定兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表3-3

各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長度因數

=1

=0.7

=0.5

=2歐拉公式的統一形式(GeneralEulerBucklingLoadFormula)（

為壓桿的長度因數）第八節壓桿穩定討論（Discussion)為長度因數

l

為相當長度（1）相當長度l

的物理意義壓桿失穩時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的相當長度l.

l是各種支承條件下，細長壓桿失穩時，撓曲線中相當于半波正弦曲線的一段長度.第八節壓桿穩定zyx取Iy

，Iz

中小的一個計算臨界力.若桿端在各個方向的約束情況不同（如柱形鉸），應分別計算桿在不同方向失穩時的臨界壓力.I為其相應中性軸的慣性矩.即分別用

Iy

，Iz

計算出兩個臨界壓力.然后取小的一個作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩I若桿端在各個方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應取最小的形心主慣性矩.第八節壓桿穩定例題1已知一內燃機、空氣壓縮機的連桿為細長壓桿.截面形狀為工字鋼形，慣性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，彈性模量E=2.1×10

5MPa.試計算臨界力Fcr