微積分

主講教師謝亞君第三章中值定理與導數的應用微積分中值定理主要包括羅爾定理，拉格朗日中

值定理以及柯西中值定理。微積分中值定理以拉格朗

日中值定理為核心，羅爾定理為其特例，柯西中值定

理為其推廣，因為這幾個定理的結論都與自變量取值區間內部的某個中間值有關，所以統稱為中值定理。

微分中值定理是微分學的理論基礎。他們在微積分中有很多作用，其一是利用柯西定理導出“洛必達”法則求“未定式”的極限；其二是利用微積分中值定理導出”利用導數判定函數增減性”的方法，并利用導數

研究函數的性態，描繪函數的圖形；其三是利用導數第四章中值定理與導數的應用本章的學習重點是導數的應用。教學要求研究函數的極值在實際經濟問題中的應用。1.了解羅爾定理、拉格朗日中值定理及其幾何意義；2．熟練掌握洛必達法則，會求型等未定式極限；3．熟練掌握函數的單調性，極值的判定方法，熟練掌握函數最值的求法，并能解決實際應用問題；4．理解邊際概念，需求價格彈性的概念，用這些概念解釋和分析經濟現象。教學內容§3.1中值定理§3.2

洛必達法則

§3.3函數的單調性§3.4函數的極值§3.5曲線的凹向與拐點§3.6函數的最大值與最小值§3.7導數在經濟分析中的應用

§3.1中值定理3.1.1羅爾定理如果函數上連續；內可導；內至少存在一點123滿足條件：在在則在區間使§3.1中值定理

實際上,切線與弦線AB平行.下列函數在給定區間上是否滿足羅爾定理的條件，如果滿足條件，試求出對應的的值。在在[-1,1]上連續，但在x=0處不可導，所以不滿足羅爾定理的條件。解上。在[0,6]上連續；在(0,6)內可導；滿足羅爾定理的三個條件。令在[0,6]上。解

使得3.1.2拉格朗日中值定理如果函數上連續；內可導；內至少存在一點在此定理中，如果再增加

這一條件，則定理的結論就是羅爾定理的結論。12即滿足條件：在在則在區間

切線與弦線AB平行如果函數都等于零，則在如果函數數處處相等，即內只相差一個常數，即推論1推論2任一點的導數在區間是一個常數。內內的導在區間與函數則與在區間而

在(1,2)內取驗證在[1，2]上拉格朗日定理的正確性。

[1,2]上連續，在(1,2)內可導，且有在[1,2]上滿足拉格朗日中值定理。解在其定義域上連續，因而在上連續。由可知滿足拉格朗日定理條件，所以至少存在一點使得令證明不等式而證內可導，則在區間[0,x]

上

在

又于是，有即3.1.3柯西定理如果內可導，而且在至少存在一點就變成拉格朗日定理，所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。上連續，都在都在與內至少則在內

使得在上式中，如果

解得成立。[1,2]上驗證柯西定理的正確性。對函數及在區間在[1,2]上連續，在(1,2)內可導，設則解§3.2洛必達法則若函數的某個領域內(點外)可導，且則洛必達法則(Ⅰ)123滿足條件：與與在點可除§3.2洛必達法則若函數與滿足條件：與在點的某個領域內(點可除外)可導，且；則123洛必達法則(Ⅱ)如果在使用洛必達法則后,則可繼續使用洛必達法則。有使用洛必達法則要注意觀察條件是否滿足,不然會出錯.仍是仍滿足洛必達法則條件，且求求3.2.1型解解求

求兩次使用解解兩次使用(化簡)連續使用洛必達法則在使用洛必達法則時，要注意進行化簡，它會使問題變得簡單。解求解求解

思考題：下列極限是否存在？是否可用洛必達法則？為什麼？若有極限，求出其極限值。為什么？求”型未定式，但分子分母分別求導后化為此式震蕩無極限，故洛必達法則失效，不能使用。此式用小心！解這是屬于“解求等價代換整理

求3.2.2“”型解

求求解解求

若采用洛必達法則得因此，用洛必達法則不能求出極限，此式只要化簡計算。即解注意！求解3.2.3其它未定型型，總可以通過適當的變換將它們化為然后應用洛必達法

則求導。等價代換倒數法:用另一種形式顛倒行不行?行,但繁些.存在一個選擇問題.解求

求解求解通分求解

型未定式，由于它們都是來源于冪指函數的極限，一般用取對數方法先化為

型，再化為型進行討論。設兩邊取對數，的未定式；求對數的極限原極限=1234其步驟為：求兩邊取對數

求對數的極限

所以原式＝

解設求設，則所以原式

解求設則所以原式＝

解小結：使用洛必達法則需要注意的問題：1.只有未定式的極限問題才能夠運用洛必達法則，非未定式極限要用四則運算或其他法；2.未定式極限問題一共有七種形式：其中是基本的兩種。其他任何一種未定式必須化為或型未定式，然后才能運用洛必達法則求導。但是這不能說明該未定式的極限不存在，因為洛必達3.盡可能用等價無窮小代替，比如4.有些未定式，運用洛必達法則不能得到結果，法則是極限存在的充分而非必要條件。比如不存在顯然有練習：利用洛必達法則求下列極限§3.3函數的單調性設函數那么函數內單調增加；那么函數內單調減少。21內可導，在區間如果在內，內，如果在在在§3.3函數的單調性確定函數的單調區間。令這兩個點將定義域分成三個子區間，由于導數在這三個區間內部不再變號，我們只要分析

在每個區間的符號即可。列表分析如下：表4—1解確定函數的單調區間。列表分析如下：把定義域分成三個子區間表4－2解解得而時，不存在。確定函數的單調區間。

因為且只有當內是單調增加的。解時，確定函數的單調區間。令它們把定義域分成三個列表分析如下：表4－3極大極小(的極值)。解§3.4函數的極值設函數義，對領域內任意的則稱稱為函數則稱稱為函數函數的極大值與極小值統稱為函數的極值。定義1的極小值點。的極大值點。恒有的某領域內有定在點的極大值，為函數

為函數的極小值，21§3.4函數的極值注意：

(5)極值點也可能出現在不可導點。(3)函數若有極值，極值不一定唯一。(1)函數的極值概念是局部性的。(4)函數的極大值可能比極小值小。(2)在函數取得極值處，曲線的切線可能是水平的。但曲線有水平切線的地方不一定取得極值。

(極值存在的必要條件)處取得極值，且在點如果處可在點導，則關于定理2需要說明兩點：取得極值的必要只是在點條件，而不是充分條件。時導數等于零，但在該點并不取得極值。

在定理的前提之一是函數在點不存在

(但連續)的點也有可能取得極值。不存在，但在可導，而導數處卻取得極小值顯然通常把使導數為零的點稱為駐點。但是駐點和導數不存在的點又不一定是極值點。函數的極值點只能在駐點和導數不存在的點中產生。

(極值判別法Ⅰ)第一充分條件：

的領域內連續且可導(允許

由小到大經過由正變負，則由負變正，則不改變符號，則把必要條件和充分條件結合起來，就可以求函數的極值。123在點設函數不存在)，當時，若是極大值點；是極小值點；不是極值點。

求函數的極值。令

不存在。的定義域分成三個子區間，

列表分析如下：表4—4

解將解得時(極值判別法Ⅱ)第二充分條件：

處有二階導數，且則：處取得處取得則不能判斷。極大值；極小值；123在點設函數若則函數在點在點若則函數若

已知用極值判別法Ⅱ求例1的極值則令解為極大值；為極小值。得的極大值為極小值為求出函數求出可能的極值點，即存在的點；用充分條件來判別上述各點是否為極值點；求出的極值點，求出對應的極值。求極值的步驟：12433的定義域；和不由§3.5曲線的凹向與拐點如果在某區間內，曲線弧位于其上任§3.5曲線的凹向與拐點一點切線的上方，則稱曲線在這個區間內是上凹的，如果在某區間內，曲線弧位于其上任意一點切線的下方，則稱曲線在這個區間內是下凹的。定義1在區間設函數如果內上凹；如果內下凹。曲線上凹與下凹的分界點稱為曲線的拐點。拐點是上凹與下凹的分界點，所以在拐點左右鄰必然異號，因而在拐點處或不存在。定義2內具有二階導數，則12時，恒有時，恒有則曲線則曲線鄰近在在

求曲線的凹向與拐點。令

，得

表4—5列表分析如下：

拐點

拐點解

求曲線的凹向與拐點。

表4—6列表分析如下：

拐點解§3.6函數的最大值與最小值3.6.1函數的最大值與最小值對一個閉區間上的連續函數最小值只能在極值點或端點上取得。因此，只要求出的所有極值點和端點，它們之中最大的就是最大值，最小的就是最小值。3.6.2求最值的方法：上只有一個極值，則極大值就是區間[a,b]上的最大值；極小值就是區間[a,b]上的最小值。1如果在它的最大值、函數§3.6函數的最大值與最小值是區間(a,b)上的單調函數，則最值在區間的端點處取得；在區間(a,b)上的駐點和不可導點分別則先求出在這些點的值以及在端點a和b處的值，23若若記為：然后再加以比較：最大值最小值

求函數在的最大值與最小值。

計算出令再計算出比較這五個值，最大值為解最小值為

在經濟學中，常需要考慮一些經濟函數的變化率，即經濟函數的導數?！?.7導數在經濟分析中的應用在經濟學中，習慣稱導數為邊際。

利用導數對某些經濟函數進行分析稱為邊際分析方法。3.7.1邊際分析設函數可導，導函數也稱為邊際函數。一、邊際函數(函數的變化率)

§3.7導數在經濟分析中的應用1.平均變化率：2.瞬時變化率：(邊際函數值)二、邊際成本1.總成本：2.平均成本：3.邊際成本：定義為產量增加一個單位時所增加的總成本。設某產品產量為x(噸)時的總成本C(元)為：求：(1)產量為100噸時的總成本；

(2)產量為100噸時的平均成本；

(3)產量從100噸增加到225噸時，總成本的平均變化率；(4)產量為100噸時，總成本的變化率。＝2200(元)＝22(元/噸)＝9(元/噸)＝9.5(元/噸)這個結論的經濟含義是：當產量為100噸時，再多生產1噸所增加的成本為9.5元。解三、邊際收入設p為價格，x為銷售量，則2.平均收入：3.邊際收入：定義為多銷售一個單位產品時所增加的銷售收入。1.總收入：

設某商品的需求函數為，求邊際收入函數，以及x＝20、50、70時的邊際收入。(3)當銷售量為70個單位時，再多銷售一個單位產品，反而使收入大約減少8個單位。品，收入約增加12個單位；(1)當銷售量為20個單位時，再多銷售一個單位產(2)當銷售量為50個單位時，再增加銷售收入不會增加；解四、邊際利潤1.總利潤：2.平均利潤：3.邊際利潤：定義為銷售量為x單位時，多銷售一個單位產品所增加的利潤。邊際利潤由邊際收入和邊際成本決定：當取得極大值的必要條件為取得極大值的充分條件為即邊際收入的變化率小于邊際成本的變化率。某企業對銷售分析有總獲利與每月產量x

噸的函數關系：試確定每月生產20噸、25噸、30噸時的邊際利潤。解即即變到144，此時自變量與因變量的絕對改變量分別為而表示當x=10改變到x=12，x

產生了20%的改變，y

產生了44%的改變。這就是相對改變量。均改變2.2%，我們稱它為從x=10到x＝12，函數表示在(10,12)

內，從x=10時起，x每

改變1%時，y平的平均相對變化率。在經濟學中稱之為彈性。當x

由10改變到12時，y

由100改3.7.2彈性分析(函數的相對變化率)一、基本概念設函數極限在點x處的相對變化率，或彈性，記作在點

x處的彈性X變化1％時，函數

定義4.4即為函數函數反映了當自變量變化的百分數為在點x處可導，則稱求函數

在處的彈性。

求函數的彈性函數及求冪函數為常數）的彈性函數。解解解

二、需求彈性為商品價格，稱為需求函數。一般說來，商品價格低，需求大；商品價格高，需求小，因此一般需求函數數。為單調減少函表示需求量，那么有設當某種商品的價格下降（或上升）1％時，其需求量將增加（或減少）需求價格彈性為：若彈性，即價格變化將引起需求量較大變化；

則稱該商品的需求量對價格富有則稱該商品的需求量對價格缺乏則稱該商品具有單位彈性，即價格上升的百分數與需求下降的百分數是相同的；彈性，即價格變化只引起需求微小變化。

123若若需求彈性在經濟學中有如下定義：說明p=3時，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，即p=3時，價格上漲1%，需求只減少0.6%。

說明p=5時，價格與需求變動的幅度相同。

設某商品的需求函數為，求(1)需求價格彈性函數；時的需求彈性。解三、用需求彈性分析總收益的變化需求變動的幅度小于價格變動的幅遞增。即價格上漲，總收益增加，價格下跌，總收益減少。若1度。此時，需求變動的幅度大于價格變動的幅遞減。即價格上漲，總收益減少，價格下跌，總收益增加。需求變動的幅度等于價格變動的幅度。此時，23若度。此時，若取得最大值。某商品的需求函數(1)求需求彈性函數；(2)求時的彈性函數；(3)在時，若價格上漲1％時，總收益是增加還是減少，將變化百分之幾？(4)為何值時，總收益最大？最大收益是多少？解

它表示價格上漲1％，需求將減少0.33％。即價格上漲1%，總收益將增加。下面求R增長的百分比，即求R的彈性。

3.7.3最大值與最小值在經濟問題中的應用一、最大利潤問題某廠生產某種產品，其固定成本為3萬元，每生產1百件產品，成本增加2萬元，其總收入R(萬元)是產量x的函數求達到最大利潤的產量。由題意，成本函數為：解于是，利潤函數為：所以，當x=3時，函數取得因為極大值。因為是唯一的極值點，所以又是最大值，即產量為300件時取得最大利潤。二、最小成本問題已知某企業的成本函數為：其中C為成本(千元)；x為產量(噸)；求平均可變成本y(千元/噸)的最小值。平均可變成本為：由于是唯一的極值點，所以又是最小值。

時，y