作出精確而可信的結論。數理統計可以分為兩大類：一類是如何科學地安排試驗，-------描述統計學，如：試驗設計、抽樣方法。另一類是研究如何分析所獲得的隨機數據，對所研究的問題進行科學的、合理的估計和推斷，盡可能的為采取一定的決策提供依據，-------推斷統計學，如：參數估計、假設檢驗等。以獲取有效的隨機數據。第二章數理統計的基本概念100個樣品進行強度測試，于是面臨下列幾個問題：例：某廠生產一型號的合金材料，用隨機的方法選取1、估計這批合金材料的強度均值是多少?(參數的點估計問題）2、強度均值在什么范圍內？(參數的區間估計問題）3、若規定強度均值不小于某個定值為合格，那么這批材料是否合格？(參數的假設檢驗問題）4、這批合金的強度是否服從正態分布？5、若這批材料是由兩種不同工藝生產的，那么不同的工藝對合金強度有否影響？若有影響，哪一種工藝生產的強度較好？(分布檢驗問題）(方差分析問題）6、若這批合金由幾種原料用不同的比例合成，那么如何表達這批合金的強度與原料比例之間的關系？(回歸分析問題）我們依次討論參數的點估計、區間估計、假設檢驗、方差分析、回歸分析。下面引入一些數理統計中的術語。二、統計量一、總體與樣本抽樣和抽樣分布三、幾個常用的分布四、正態總體統計量的分布1.總體研究對象的某項數量指標值全體稱為總體(母體)。個體——總體中每個成員（元素）。2.樣本一、總體和樣本對總體做n次重復獨立觀測，稱為簡單隨機抽樣。抽樣得到的個體稱為樣本。(2)獨立同分布性要求抽取的樣本滿足下面兩點:(1)代表性：簡單隨機抽樣每一個分量Xk與所考察的總體有相同的分布。個體被抽到的可能性相同。從總體中抽取樣本的每一個分量Xk

是隨機的,是相互獨立的隨機變量。（若不特別說明，均指簡單隨機樣本）簡單隨機樣本可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量若總體X的分布函數為聯合分布函數為若總體X的分布密度函數為表示。則其簡單隨機樣本的則其簡單隨機樣本的聯合密度函數為離散總體則樣本的分布律我們只能觀察到隨機變量取的值,而見不到隨機變量.3.總體、樣本、樣本值的關系

事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班學生中抽取10人測量身高，得到10個數，它們是樣本取到的值而不是樣本.因而可以由樣本值去推斷總體.總體分布決定了樣本取值的概率規律，也就是樣本取到樣本值的規律，去推斷總體的情況--總體分布F(x)的性質.樣本是聯系二者的橋梁。統計是從手中已有的資料--樣本值，4.樣本的分布1）樣本的頻數分布將n個樣本值按從小到大排列，把相同的數合并，并指出其頻數（樣本中各數出現的次數）x頻數頻率2）樣本的經驗分布函數樣本值:樣本值小于或等于x的個數，作－－－樣本的經驗分布函數給出了在n次獨立重復試驗中，事件出現的頻率，具有分布函數的一切性質。如：非降，右連續；由頻數分布知---n次獨立重復試驗中，事件發生的頻率。根據伯努利大數定律，這就是我們可以由樣本推斷總體的基本理論依據.格列汶科進一步證明了：當n→∞時，Fn(x)以概率1關于x一致收斂于F(x)，即（格列汶科定理）定理告訴我們，當樣本容量n足夠大時，對所有的x,

Fn(x)與F(x)之差的絕對值都很小，這件事發生的概率為1.定義：設是來自總體X的一個樣本，為一實值連續函數，其不包含任何未知參數，則稱為一個統計量。為的觀測值。注：是變量的函數，仍為隨機變量。是一個數。二、統計量1.統計量

2.幾個常見的統計量樣本均值樣本方差是來自總體X的一個樣本，樣本標準差證明：左邊＝樣本k

階原點矩樣本k階中心矩常見統計量的性質統計量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機變量，故統計量也是隨機變量，因而就有一定的分布，這個分布叫做統計量的“抽樣分布”

.

三、抽樣分布(1)標準正態分布X的上α

(0<α<1)分位點記為設相互獨立,都服從正態分布N(0,1),

則稱隨機變量：所服從的分布為自由度為n的分布.

對于給定的正數稱滿足條件為分位點.分布的上的點

分布的分位點上分位點雙側分位點一般的分布表只列到n=45,n>45時，由記為T～t(n).服從自由度為n的t分布，(3)t分布設X～N(0,1),Y～則稱變量,且X與Y相互獨立，當n充分大時，其圖形類似于標準正態分布密度函數的圖形。

t分布的密度函數關于x=0對稱性質

t分布的分位點

對于給定的正數稱滿足條件的點為分位點”。分布的“上(4)F

分布的F分布，n1稱為第一自由度，設X與Y相互獨立，則稱統計量服從自由度為稱為第二自由度，記作由定義可得性質F

分布的分位點對于給定的正數稱滿足條件為分布的的點上分位點表中所給的都是很小的數，如0.01，0.05等當表中查不出，由性質（2）較大時，如0.95，四.正態總體抽樣分布定理的樣本,則有

定理1(樣本均值的分布)設X1,X2,…,Xn

是來自正態總體定理2(樣本方差的分布)設X1,X2,…,Xn

是取自正態總體樣本,分別為樣本均值和樣本方差.則有的和相互獨立。

分別是這兩個樣本的均值,且X與Y獨立,是取自X的樣本,樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,則有是取自Y的定理3(兩總體樣本均值差的分布)二、估計量的評選標準一、點估計第三章參數估計三、區間估計四、正態總體均值與方差的區間估計

參數估計是統計推斷的基本問題之一，問題中，并不一定要求密度函數，而只要知道參數在許多實際取值就可以了。考察燈泡廠生產的燈泡質量，由于種種隨機易知燈泡使用壽命是隨機變量，記為且

問題：如何估計和？引例:因素的影響，知道了參數μ，σ2的值，那么壽命X的分布就完全確定了.參數估計要解決問題:總體分布函數的形式為已知,需要確定未知參數。但其中參數未知時，這類問題稱為參數估計問題。對于未知參數，如何應用樣本所提供的信息去對其一個或多個未知參數進行估計。對未知參數估計的兩種方法：通過樣本1、點估計2、區間估計一、點估計點估計問題：故可用樣本矩來估計總體矩。這個估計方法是英國統計學家K.皮爾遜最早提出的。基本原理：總體矩是反映總體分布的最簡單的數字特征，當總體含有待估計參數時，總體矩是待估計參數的函數。樣本取自總體，即樣本矩在一定程度上可以逼近總體矩，（一）矩估計法其中是待估參數為來自的樣本,存在.設總體的k階矩則樣本的k階矩(大數定律)令從中解得k個方程組即為矩估計量。矩估計量的觀察值稱為矩估計值。設總體X的分布函數為矩估計的步驟：連續型離散型例1

設某炸藥廠一天中發生著火現象的次數X服從

例2設總體在上服從均勻分布，解：由矩法,解得在總體類型已知條件下使用的一種參數估計方法.（二）極大似然法

選擇一個參數使得試驗結果具有最大概率—極大似然法的基本思想.基本思想:若事件發生了,則認為事件中出現的概率最大。最大似然估計就是在一次抽樣中,若得到觀測值則選取若一試驗有n個可能結果現做一試驗,在這n個可能結果作為的估計值，使得當時,樣本出現的概率最大。最大似然估計法:是的一個樣本值(離散型)(1)設事件發生的概率為

的函數，形式已知，X的分布律為：

樣本的似然函數即取使得：與有關,記為稱為參數的最大似然估計值。稱為參數的最大似然估計量.達到最大的參數作為的估計值，現從中挑選使概率樣本的似然函數說明：用上述求導方法求參數的MLE有時行不通，這時要用極大似然原則來求.使似然函數達到最大的即的MLE。

(4)在最大值點的表達式中,用樣本值代入就得參數的極大似然估計值.(1)由總體分布導出樣本的聯合分布律

(或聯合密度);(2)把樣本聯合分布律(或聯合密度)中自變量看成已知常數,而把參數看作自變量,

得到似然函數L();(3)求似然函數L()的最大值點(常常轉化為求ln

L()的最大值點)，即

的MLE;求極大似然估計(MLE)的一般步驟是：似然函數為：

設X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本其中>0,求的極大似然估計.例3對數似然函數為解：似然函數為i=1,2,…,n求導方法無法求參數的MLE.是對故使達到最大的即的MLE，

取其它值時，是的增函數由于這時要用極大似然原則來求.由于估計量作為樣本的函數是一個隨機變量,對于不同的樣本值,估計值也不同,因此評價一個估計量的優劣就不能僅由一個觀測值來確定,而要根據估計量的統計性質來評價.通常一個好的估計量其觀測值應在待估計參數的真值附近波動,且波動的幅度越小越好,即要使估計量與待估計參數在某種統計意義下非常“接近”.

常用的幾條標準1．無偏性2．有效性3．相合性二、估計量的評選標準而它的期望值等于未知參數的真值.則稱為的無偏估計.設是未知參數的估計量，若1．無偏性

估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值.我們希望估計值在未知參數真值附近擺動，定義:無偏性的意義是：用來估計