專題29自主選科問題例1.新高考方案的考試科目簡稱“3+1+2”,“3”,,,,,,,,,,“1”,,,,,,“,,,,,”,,,1門，“2”，，，，，，“，，，，，，，，，，，”，，，2門組成每位同學的6門高考科目.假設學生在選科中，選修每門首選科目的機會均等，選擇每門再選科目的機會相等.（I） 求某同學選修“物理、化學和生物”的概率；43（II） 若選科完畢后的某次“會考”中，甲同學通過首選科目的概率是5，通過每門再選科目的概率都是4，且各門課程通過與否相互獨立?用e表示該同學所選的3門課程在這次“會考”中通過的門數，求隨機變量E的概率分布和數學期望.例2.材料一：2018年，全國逾半省份將從秋季入學的高一年級開始實行新的學業(yè)水平考試和高考制度.所有省級行政區(qū)域均突破文理界限，由學生跨文理選科，均設置“3+3”的考試科目.前一個“3”為必考科目，為統一高考科目語文、數學、外語?除個別省級行政區(qū)域仍執(zhí)行教育部委托的分省命題任務外，絕大部分省級行政區(qū)域均由教育部考試中心統一命題；后一個“3”為高中學業(yè)水平考試（簡稱“學考”）選考科目，由各省級行政區(qū)域自主命題.材料二：2019年4月，河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實施方案，方案決定從2018年秋季入學的高中一年級學生開始實施高考綜合改革.考生總成績由全國統一高考的語文、數學、外語3個科目成績和考生選擇的3科普通高中學業(yè)水平選擇性考試科目成績組成，滿分為750分.即通常所說的“3+1+2”模式，所謂“3+1+2”，即“3”是三門主科，分別是語文、數學、外語，這三門科目是必選的.“1”指的是要在物理、歷史里選一門，按原始分計入成績.“2”指考生要在生物、化學、思想政治、地理4門中選擇2門.但是這幾門科目不以原始分計入成績，而是等級賦分.等級賦分指的是把考生的原始成績根據人數的比例分為A、B、C、D、E五個等級，五個等級分別對應著相應的分數區(qū)間，然后再用公式換算，轉換得出分數.（1） 若按照“3+1+2”模式選科，求選出的六科中含有“語文，數學，外語，物理，化學”的概率.（2） 某教育部門為了調查學生語數外三科成績與選科之間的關系，現從當地不同層次的學校中抽取高一學生2500名參加語數外的網絡測試，滿分450分，并給前400名頒發(fā)榮譽證書，假設該次網絡測試成績服從正態(tài)分布，且滿分為450分；考生甲得知他的成績?yōu)?70分，考試后不久了解到如下情況：“此次測試平均成績?yōu)?71分,351分以上共有57人”，問甲能否獲得榮譽證書，請說明理由；考生丙得知他的實際成績?yōu)?30分，而考生乙告訴考生丙：“這次測試平均成績?yōu)?01分，351分以上共有57人”，請結合統計學知識幫助丙同學辨別乙同學信息的真?zhèn)?

附：P(卩—o<X<卩+o)=0.6828；P(p—2o<X<p+2o)=0.9544.P(p—3o<X<p+3o)=0.9974.例3．山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級?參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分數區(qū)間，得到考生的等級成績.舉例說明.某同學化學學科原始分為65分，該學科C+等級的原始分分布區(qū)間為58?69,則該同學化學學科的原始成績屬C+等級.而C+等級的轉換分區(qū)間為61?70，那么該同學化學學科的轉換分為:設該同學化學科的轉換等級分為x，設該同學化學科的轉換等級分為x，69—65_70—x65—58_x—61求得xu66.73.四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?7.1)某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布N(60,122).若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，等級為B+，其所在原始分分布區(qū)間為82?93，求小明轉換后的物理成績； ~(ii)求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數；按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取4人，記X表示這4人中等級成績在區(qū)間⑹，8。］的人數，求X的分布列和數學期望.(附：若隨機變量gN(p,Q2)，貝yP(p—b <p+b)_0.682，P(p—2b<g<p+2b)_0.954，P(p-3q<g<p+3q)_0.997)例4?為了增強高考與高中學習的關聯度，考生總成績由統一高考的語文、數學、外語3個科目成績和高中學業(yè)水平考試3個科目成績組成.保持統一高考的語文、數學、外語科目不變，分值不變，不分文理科，外語科目提供兩次考試機會.計入總成績的高中學業(yè)水平考試科目，由考生根據報考高校要求和自身特長，在

思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物、信息技術七科目中自主選擇三科.（1）某高校某專業(yè)要求選考科目物理，考生若要報考該校該專業(yè)，則有多少種選考科目的選擇（2）甲、乙、丙三名同學都選擇了物理、化學、歷史組合，各學科成績達到二級的概率都是0.8，且三人約定如果達到二級不參加第二次考試，達不到二級參加第二次考試，如果設甲、乙、丙參加第二次考試的總次數為X，求X的分布列和數學期望.例5.在最新公布的湖南新高考方案中，“3+1+2”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規(guī)則轉換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業(yè)設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到如下的統計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況1134112362235122343235131454145141355156152366245162367256171568235182369235191451023620235序號選科情況序號選科情況2115631235222353223623245332352423534135252563515626156362362713437156282353813429246392353015640245（1）雙超中學規(guī)定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執(zhí)教2個選修班（當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？（2）請創(chuàng)建列聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有99%的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.n(ad-bc匕附："—(°+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2>k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（3）某高校A在其熱門人文專業(yè)B的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名?現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備A高校B專業(yè)報名資格的人數為X，用樣本的頻率估計概率，求X的分布列與期望.例6．河北省高考綜合改革從2018年秋季入學的高一年級學生開始實施，新高考將實行“3+1+2”模式，其中3表示語文、數學、外語三科必選，1表示從物理、歷史兩科中選擇一科，2表示從化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科?某校2018級入學的高一學生選科情況如下表：選科組合物化生物化政物化地物生政物生地物政地史政地史政化史生政史地化史地生史化生合計男1304555302515301040101520425女1004550353535402055152520475合計23090105656050703095254040900（1） 完成下面的2x2列聯表，并判斷是否在犯錯誤概率不超過0.01的前提下，認為“選擇物理與學生的性別有關”？（2） 以頻率估計概率,從該校2018級高一學生中隨機抽取3名同學，設這三名同學中選擇物理的人數為X，求X的分布列和數學期望.選擇物理不選擇物理合計

男425女475合計900n\ad-be丿2附表及公式：K2禮*匕)C+〃)(a+e)(b+d)P(K2 )0.1500.1000.0500.010k 22.0722.7063.8416.6350例7．2017年被稱為“新高考元年”，隨著上海、浙江兩地順利實施“語數外+3”新高考方案，新一輪的高考改革還將繼續(xù)在全國推進．遼寧地區(qū)也將于2020年開啟新高考模式,今年秋季入學的高一新生將面臨從物理、化學、生物、政治、歷史、地理等6科中任選三科（共20種選法）作為自己將來高考“語數外+3”新高考方案中的“3”．某地區(qū)為了順利迎接新高考改革，在某學校理科班的200名學生中進行了“學生模擬選科數據”調查，每個學生只能從表格中的20種課程組合選擇一種學習．模擬選課數據統計如下表：序號1234567組合學科物化生物化政物化歷物化地物生政物生歷物生地人數20人5人10人10人10人15人10人序號891011121314組合學科物政歷物政地物歷地化生政化生歷化生地化政歷人數5人0人5人???40人??????序號151617181920

組合學科化政地化歷地生政歷生政地生歷地政歷地總計人數??????????????????200人為了解學生成績與學生模擬選課情之間的關系，用分層抽樣的方法從這200名學生中抽取40人的樣本進行分析.（1）樣本中選擇組合12號“化生歷”的有多少人？樣本中選擇學習物理的有多少人？（2）從樣本選擇學習地理且學習物理的學生中隨機抽取3人，求這3人中至少有1人還要學習生物的概率；例8．隨著高考制度的改革，某省即將實施“語數外+3”新高考的方案，2019年秋季入學的高一新生將面臨從物理（物）、化學（化）、生物（生）、政治（政）、歷史（歷）、地理（地）六科中任選三科（共20種選法）作為自己將來高考“語數外+3”新高考方案中的“3”.某市為了順利地迎接新高考改革，在某高中200名學生中進行了“學生模擬選科數據”調查，每個學生只能從表格中的20種課程組合中選擇一種學習模擬選課數據統計如下表：序號12345678910組合學科物化生物化政物化歷物化地物生政物生歷物生地物政歷物政地物歷地人數20人5人10人10人5人15人10人5人0人5人11121314151617181920合計化生政化生歷化生地化政歷化政地化歷地化政歷生政地生歷地政歷地5人10人5人25人200人為了解學生成績與學生模擬選課情況之間的關系，用分層抽樣的方法從這200名學生中抽取40人的樣本進行分析.（1）從選擇學習物理且學習化學的學生中隨機抽取3人，求這3人中至少有2人要學習生物的概率；（2）從選擇學習物理且學習化學的學生中隨機抽取3人，記這3人中要學習地理的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望.例9．隨著高考制度的改革，我省將于2021年開啟“語數外+3”新高考模式，2018年秋季入學的高一新生從物理（物）、化學（化）、生物（生）、政治（政）、歷史（歷）、地理（地）六科中任選三科（共20種選法）作為自己將來高考要考的“語數外＋3”中的“3”．某市為了順利迎接新高考改革，在某高中200名學生中進行“學生模擬選科數據”調查，每個學生只能從表格中的20種課程組合中選擇一種，得到學生模擬選課數據統計如下表：序號1234567組合學科物化生物化政物化歷物化地物生政物生歷物生地人數20人5人10人10人5人15人10人序號891011121314組合學科物政歷物政地物歷地化生政化生歷化生地化政歷人數5人0人5人5人序號151617181920組合學科化政地化歷地生政歷生政地生歷地政歷地總計人數10人5人25人200人為了解學生學習成績與學生模擬選課情況之間的關系，用分層抽樣的方法從這200名學生中抽取40人的樣本進行分析．（1）從選擇學習物理且學習化學的學生中隨機抽取3人，求這3人中至少有2人要學習生物的概率；（2）從選擇學習物理且學習化學的學生中隨機抽取3人，記這3人中要學習地理的人數為X，學習政治的人數為Y，求隨機變量2=X-Y的分布列和數學期望.

例10．山西省2021年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分。根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A，B+，B，C+，C，D+，D，E共8個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到［90，100］、［80，90）、［70，80）、［60，70）、［50，60）、［40，50）、［30，40）、［20，30）八個分數區(qū)間，得到考生的等級成績舉例說明1：甲同學化學學科原始分為65分，化學學科C+等級的原始分分布區(qū)間為［5&69），則該同學化學學科的原始成績屬C+等級，而C+等級的轉換分區(qū)間為［60,70）那么，甲同學化學學科的轉換分為:設甲同學化學科的轉換等級分為x,69-設甲同學化學科的轉換等級分為x,69-6565-5870-xx一60求得x沁66.36.四舍五入后甲同學化學學科賦分成績?yōu)?6分。舉例說明2：乙同學化學學科原始分為69分，化學學科B等級的原始分分布區(qū)間為［69,81）則該同學化學學科的原始成績屬B等級?而B等級的轉換分區(qū)間為［70,80）這時不用公式，乙同學化學學科賦分成績直接取下端點70分。現有復興中學高一年級共3000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布E~N（60,122）。且等級為B+所在原始分分布區(qū)間為［82,93），且等級為b所在原始分分布區(qū)間為［72,82）,且等級為C+所在原始分分布區(qū)間為[61,72）（1）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學科賦分成績；（精確到整數）.（2）若以復興中學此次考試頻率為依據，在學校隨機抽取4人，記X這4人中物理原始成績在區(qū)間［61，84］的人數，求X的數學期望和方差.（精確到小數點后三位數）.E?E?N（卩,52）,P（卩一5<E<P+5）二0.682,P（卩一25<E<P+25）二0.954，例11．《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從2020年高考開始，高考物理、化學等六門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A,B+,B,C+,C,D+,D,E八個等級?參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則分別轉換到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70][51,60]