中考數學頻考點突破--解直角三角形及其應用1．如圖，點O是邊長為4的等邊三角形ABC的中心，∠EOF的兩邊與△ABC的邊AB，BC分別交于E、F，∠EOF＝120°.（1）如圖①，當E為AB中點時，求∠EOF與△ABC的邊所圍成的四邊形OEBF的面積；（2）如圖②，∠EOF繞點O旋轉.在旋轉過程中四邊形OEBF的面積會改變嗎？請說明理由.2．一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，△BCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導管，其示意圖如圖2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．當按壓柄△BCD按壓到底時，BD轉動到BD′，此時BD′∥EF（如圖3）．（參考數據：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）（1）求點D轉動到點D′的路徑長；（2）求點D到直線EF的距離（結果精確到0.1cm）．3．如圖，以AB為直徑的⊙O經過點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P，D是⊙O上于點，且BC=CD，弦AD的延長線交切線PC于點E，連接AC．（1）求∠E的度數；（2）若⊙O的直徑為5，sinP=354．小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，當顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為120°時，感覺最舒適（如圖1），側面示意圖如圖2.使用時為了散熱，她在底板下墊入散熱架ACO'后，電腦轉到AO'B'位置（如圖3），側面示意圖為圖4.已知OA=OB=24cm，O'C⊥OA于點C，O'C=12cm.（1）求∠CAO'的度數.（2）顯示屏的頂部B'比原來的頂部B升高了多少？（3）如圖4，墊入散熱架后，要使顯示屏O'B'與水平線的夾角仍保持120°，則顯示屏O'B'應繞點O''按順時針方向旋轉多少度？并說明理由.5．如圖，已知正方形ABCD，AB＝2，E是對角線BD上一點，F是射線CB上一點，且EF＝EC．（1）求證：AE＝EF；（2）若BE＝AB，請在圖2中補全圖形，判斷AF與EC的位置關系并加以證明；（3）當點E從點B運動到點D的過程中，求線段FB與BE滿足怎樣的等量關系．6．如圖所示，AC與⊙O相切于點C，線段AO交⊙O于點B.過點B作BD//AC交⊙O于點D，連結CD,OC，且OC交DB于點E.若∠CDB=30°,DB=53（1）求∠COB的大小和⊙O的半徑長.（2）求由弦CD,BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積（結果保留π）.7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O為BC上一點，以O為圓心，OB為半徑的⊙O交AB于另一點D，E為AC上一點，且AE=DE.（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若OB=2，OC=1，tanA=128．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AO是△ABC的角平分線.以O為圓心，OC為半徑作⊙O.（1）求證：AB是⊙O的切線.（2）已知AO交⊙O于點E，延長AO交⊙O于點D，tan∠ADC＝23，求AE9．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點D，點E為線段BC的中點，AD＝2，tanA＝2．（1）求AB的長；（2）求DE的長．10．如圖，在?ABCD中，E，F是對角線BD上的兩點（點E在點F左側），且∠AEB=∠CFD=90°.（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形.（2）當AB=5，tan∠ABE=34，∠CBE=∠EAF11．校車安全是近幾年社會關注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學數學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點C，再在筆直的車道l上確定點D，使CD與l垂直，測得CD的長等于21米，在l上點D的同側取點A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的長(精確到0.1米，參考數據：3≈1.73，（2）已知本路段對校車限速為40千米／小時，若測得某輛校車從A到B用時2秒，這輛校車是否超速?說明理由．12．如圖1，滑動調節式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB，P為立柱上的滑動調節點，傘體的截面示意圖為ΔPDE，F為PD中點，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°.當點P位于初始位置P0時，點D與C（參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，（1）上午10:00時，太陽光線與地面的夾角為65°（圖3），為使遮陽效果最佳，點P需從P0上調多少距離？（結果精確到（2）中午12:00時，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點P在（1）的基礎上還需上調多少距離？（結果精確到0.1m）13．在一次數學綜合實踐活動中，小明計劃測量城門大樓的高度，在點B處測得樓頂A的仰角為22°，他正對著城樓前進21米到達C處，再登上3米高的樓臺D處，并測得此時樓頂A的仰角為45°.（1）求城門大樓的高度；（2）每逢重大節日，城門大樓管理處都要在A，B之間拉上繩子，并在繩子上掛一些彩旗，請你求出A，B之間所掛彩旗的長度（結果保留整數）.（參考數據：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈14．如圖1，某游樂場建造了一個大型摩天輪，工程師介紹：若你站在摩大輪下某處（A點）以30°的仰角恰好可以看到摩天輪圓輪的底部（C點），可測得AC的長度為30m，以63°的仰角可以看到摩天輪圓輪的最上方（D點），如圖2，設摩天輪圓輪的直徑CD垂地面于點B，點A，B在同一水平面上．（人的身高忽略不計，參考數據：3≈1（1）求AB的長；（2）求摩天輪的圓輪直徑（即CD的長）．15．如圖，某居民樓AB的前面有一圍墻CD，在點E處測得樓頂A的仰角為25°，在F處測得樓頂A的仰角為45°，且CE的高度為2米，CF之間的距離為20米（B，F，C在同一條直線上）.（1）求居民樓AB的高度.（2）請你求出A、E兩點之間的距離.（參考數據：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，16．隨著科技進步，無人機的應用越來越廣，如圖，在某一時刻，無人機上的探測器顯示，從無人機A處看一棟樓頂部B點的仰角和看與頂部B在同一鉛垂線上高樓的底部c的俯角．（1）如果上述仰角與俯角分別為30。與60。，且該樓的高度為30米，求該時刻無人機的豎直高度CD．（2）如果上述仰角與俯角分別為α與β，且該樓的高度為m米．求用α、β、m表示該時刻無人機的豎直高度CD．

答案解析部分1．【答案】（1）解：連接OB，∵點O是邊長為4的等邊三角形ABC的中心，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∵當E為AB中點時，∴AE＝BE＝2，OE⊥AB，∴∠BOE＝60°，OE=2∵∠EOF＝120°，∴∠BOF＝60°，∴∠BFO＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BF＝CF＝2，∴OF=2∴四邊形OEBF的面積＝12（2）解：不變，理由如下：連接OB、OC，過點O作ON⊥BC，垂足為N，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵點O為△ABC的中心∴∠OBC＝∠OBA＝12∠ABC，∠OCB＝1∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°.∴OB＝OC.∠BOC＝120°，∵ON⊥BC，BC＝4，∴BN＝NC＝2，∴ON＝tan∠OBC?BN＝33∴S△OBC＝12BC?ON＝4∵∠EOF＝∠BOC＝120°，∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC，在△EOB和△FOC中，∠BOE=∠OCF∴△EOB≌△FOC（ASA），∴S△EOB＝S△FOC，∴S四邊形OEBF＝S【知識點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；解直角三角形；幾何圖形的面積計算-割補法【解析】【分析】（1）連接OB，由等邊三角形的性質可得∠ABO＝∠CBO＝30°,分別求出OE,OF的長,由面積公式可求解；

（2）連接OB、OC,過點O作ON⊥BC,垂足為N,由“ASA”可證△EOB≌△FOC,可得S△EOB＝S△FOC,由面積公式可求解.2．【答案】（1）解：如圖3，∵BD'∥EF，∠BEF=108°，

∴∠D'BE=180°-∠BEF=72°，

∵∠DBE=108°，

∴∠DBD'=∠DBE-∠D'BE=108°-72°=36°，

又∵BD=6，

∴點D轉動到點D’的路徑長=36π×6180=6π（2）解：如圖4，過點D作DG⊥BD于點G，過點E作EH⊥BD于點H，

DG=BDsin36°≈3.54，

EH=BEsin72°≈3.80，

∴DG+EH=3.54+3.80=7.34≈7.3，

又∵BD'∥EF，

∴點D到直線EF的距離約為7.3cm.【知識點】解直角三角形的應用；旋轉的性質【解析】【分析】（1）根據平行線的性質求出∠D'BE，然后根據角的和差關系，結合旋轉的性質求出旋轉角∠DBD'的大小，然后根據弧長公式計算即可；

（2）過點D作DG⊥BD于點G，過點E作EH⊥BD于點H，根據三角函數的定義分別求出DG和EH，然后根據線段的和差關系即可求出結果.3．【答案】（1）解：連接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵BC=CD，∴∠OAC=∠CAD．∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AE．∴∠E=∠OCP．∵PE是的切線，C為切點，∴∠OCP=90°．∴∠E=90°（2）解：在Rt△ABD中，OC=2.5，sin∠P=OCOP=3∴OP=256在Rt△APE中，AP=256+2.5=203，sin∠P=AEAP∴AE=4．【知識點】切線的性質；解直角三角形【解析】【分析】（1）連接OC．根據等腰三角形的性質得到∠OAC=∠OCA．∠OAC=∠CAD．推出OC∥AE．根據平行線的性質得到∠E=∠OCP．根據切線的性質即可得到結論；（2）解直角三角形即可得到結論．4．【答案】（1）解：∵O'C⊥OA,OA=OB=24cm，∴sin∠CAO'=∴∠CAO'=30（2）解：如圖，過點B作BD⊥AO交AO的延長線于點D.∵sin∠BOD=∴BD=OB?sin∵∠AOB=120∴∠DOB=60∴BD=OB?sin∵O'C⊥OA,∠CAO'=30∴∠AO'C=60∵∠AO'B'=120∴∠AO'B'+∠AO'C=180∴O'B'+O'C?BD=24+12?123∴顯示屏的頂部B'比原來頂部B升高了(36?123（3）解：顯示屏O'B'應繞點O'按順時針方向旋轉30°.理由如下：設電腦顯示屏O'B'繞點O'按順時針方向旋轉α角至O'E處，O'F//OA.∵顯示屏O'E與水平線的夾角仍保持120°，∴∠EO'F=120∵O'F//OA，∴∠FO'A=∠CAO'=30∵∠AO'B'=120∴∠EO'B'=∠FO'A=30°，即∴顯示屏O'B'應繞點O'按順時針方向旋轉30°.【知識點】解直角三角形的應用【解析】【分析】（1）先求出該角的正弦值，根據特殊函數值求出角的度數，即可得出答案；（2）先求出BD的長度，再證明∠AO'B'和∠AO'C互補，即B′、O′、C三點在同一條直線上，故B′C與BD的差即為所求；（3）先根據O'F//OA5．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠CDB＝45°又∵DE＝DE∴△ADE≌△CDE（SAS）∴AE＝EC∵EF＝EC，∴AE＝EF（2）解：AF∥EC，理由如下：∵AB＝BE＝BC，∠ABD＝∠DBC＝45°∴∠BAE＝∠AEB＝∠BEC＝∠BCE＝67.5°∵EF＝EC∴∠EFC＝∠ECF＝67.5°∴∠FEC＝45°，∠BFE＝112.5°∵∠BAE+∠AEF+∠BFE+∠ABF＝360°∴∠AEF＝90°，且AE＝EF∴∠AFE＝45°∴∠AFE＝∠FEC＝45°∴AF∥EC（3）解：若點F在點B左側，如圖1，過點E作EM⊥BC，∵EF＝EC，EM⊥BC∴MC＝FM，∵∠DBC＝45°，EM⊥BC∴BM＝22∵AB＝BC＝BM+MC＝BM+BF+BM＝2BM+BF∴2＝2BE+BF若點P在線段BC上，如圖，過點E作EN⊥BC，∵EF＝EC，EN⊥BC∴FN＝NC∵∠DBC＝45°，EN⊥BC∴BN＝22∵AB＝BC＝BN+CN＝BN+BN﹣BF＝2BN﹣BF∴2＝2BE﹣BF【知識點】平行線的判定；三角形全等及其性質；正方形的性質；解直角三角形；四邊形-動點問題【解析】【分析】（1）利用正方形的性質，可證CD＝AD，∠ADB＝∠CDB，再利用SAS證明△ADE≌△CDE，利用全等三角形的性質，易證AE＝EC，結合已知可證得結論。

（2）根據AB＝BE＝BC，∠ABD＝∠DBC＝45°，可證得∠BAE＝∠AEB＝∠BEC＝∠BCE＝67.5°，再利用等腰三角形的性質，可證∠EFC＝∠ECF＝67.5°，再證明∠AFE＝∠FEC，然后利用平行線的判定定理，可證得結論。

（3）分情況討論：若點F在點B左側，如圖1，過點E作EM⊥BC，利用已知條件易證MC＝FM，BM＝22BE，再證明AB＝2BM+BF，就可求得線段FB與BE的數量關系；若點P在線段BC上，如圖，過點E作EN⊥BC，由EF＝EC，EN⊥BC，可證得FN＝NC，再證明BN＝226．【答案】（1）解：∵AC與⊙O相切于點C，∴∠ACO=90°，∵BD∥AC，∴∠BEO=∠ACO=90°，∴DE=EB=12BD=5∵∠D=30°，∴∠O=2∠D=60°，在Rt△BEO中，sin60°=BEOB∴32∴OB=5，即⊙O的半徑長為5cm.（2）解：由（1）可知，∠O=60°，∠BEO=90°，∴∠EBO=∠D=30°，又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，∴△CDE≌△OBE，∴S陰=S扇OBC=60360π?52=25π6（cm答：陰影部分的面積為25π6cm2【知識點】切線的性質；扇形面積的計算；解直角三角形【解析】【分析】（1）先由切線性質得到∠ACO=90°，再由BD∥AC，得到∠BEO=∠ACO=90°，進而得到∠O=2∠D=60°，在Rt△BEO中，根據sin60°=BEOB即可得到OB.

（2）根據△CDE≌△OBE，將陰影部分面積轉化為S扇OBC7．【答案】（1）證明：連接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AE=DE，∴∠EDA=∠A，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠ODB+∠EDA=90°，∴∠ODE=90°，∴DO⊥ED，∴ED是⊙O的切線（2）解：延長BC交圓O于點F，連接DF，∵BF是圓O的直徑，∴∠BDF=90°，∵∠BCA=90°，∠B的余角相等，∴∠F=∠A，∵OB=2，OC=1，tanA=12，∴BF=4，tanF=12，∴BD2+∵BC=OB+OC=3，tanA=12，∴AC=6，∴AB=BC2+AC2=3過點E作EG⊥AD，垂足為G，∵AE=DE，∴DG=AG，設EG=x，則AG=2x，AE=5x，∴4x=1155，∴x=11520，∴5x=11520【知識點】余角、補角及其性質；勾股定理；切線的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質可得∠B=∠ODB，∠EDA=∠A，由∠B+∠A=90°，可得∠ODB+∠EDA=90°，即∠ODE=90°，可得DO⊥ED，且OD為圓的半徑可得ED是⊙O的切線；（2）延長BC交圓O于點F，連接DF，由直徑所對的圓周角是直角和同角的余角相等可得∠F=∠A，由tanA=12可得tanF=12，由勾股定理可得BD、AB的長度，即可得AD的長度，過點E作EG⊥AD，垂足為G，由等腰三角形的性質可得AG的長度，由tanA=8．【答案】（1）證明：過點O作OF⊥AB，∵∠ACB=90°，∴OC⊥AC，又∵OA是∠CAB的角平分線，∴OF=OC，∴AB是⊙O的切線.（2）解：連接CE，∵DE是⊙O的直徑，∴∠ECD=90°，∴tanD=CECD∵OC=OD，∴∠OCD=∠ADC，又∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=90°+∠ADC，∠ACD=∠ACO+∠OCD=90°+∠OCD=90°+∠ADC，∴∠AEC=∠ACD，∵∠CAE=∠CAD，∴△AEC∽△ACD，∴AEAC【知識點】圓周角定理；切線的判定；相似三角形的判定與性質；解直角三角形【解析】【分析】（1）過點O作OF⊥AB，利用角平分線的性質可證得OF=OC，再根據OC⊥AC，可證得AB是圓O的切線；

（2）連接CE，利用直徑所對的圓周角等于90°可證得∠ECD=90°，利用銳角三角函數的定義可得到CE與CD的比值，再證明∠AEC=∠ACD，由此可得到△AEC∽△ACD，利用相似三角形的對應邊成比例，可求出AE與AC的比值.9．【答案】（1）解：∵BD⊥AC，且tanA＝2．∴BDAD∵AD＝2，∴BD＝4，∴AB＝A（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，且tanA＝2．∴BCAB∵AB＝25∴BC＝45∵BD⊥AC，且E點為線段BC的中點，∴DE＝12BC＝【知識點】解直角三角形【解析】【分析】利用∠ABD的正切值求出BD的長，再利用勾股定理列式進行計算即可求出AB；根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=CE，再根據等邊對等角的性質可得∠EDC=∠C，再根據同角的余角相等求出∠C=∠ABD，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式進行計算即可得解．10．【答案】（1）證明：∵∠AEB=∠CFD=90°，∴AE//CF，在?ABCD中，AB//CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形（2）解：∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴∠EAF=∠FCE，在Rt△ABE中AB=5，tan∠ABE=∴AE=3，BE=4.∵BE=DF，AE=CF，∴BE=DF=4，AE=CF=3，∵∠EAF=∠FCE，∠CBE=∠EAF，∴∠CBE=∠ECF，∴tan∠CBF=CFBE+EF=3∴34+EF=EF3，得到EF=∴BD=4+4+13?2=6+即BD=6+【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質；銳角三角函數的定義；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】（1）根據平行線的推論可知AE//CF，再利用平行四邊形的性質，根據角角邊定理證明△ABE≌△CDF，得出AE=CF，則可證得結果；

（2）由△ABE≌△CDF得出BE=DF，根據平行四邊形的性質得出∠EAF=∠FCE，在Rt△ABE中，利用三角函數定義求出AE和BE，則可得出DF和CF的長，再推出∠CBF=∠ECF，然后利用正切三角函數分別把tan∠CBF和tan∠ECF用EF表示出來，根據其正切值相等構建方程求出EF，最后根據線段間的和差關系求BD即可.11．【答案】（1）解：由題意得，在Rt△ADC中，AD=CDtan30在Rt△BDC中，BD=CD∴AB=AD－BD=213（2）解：∵汽車從A到B用時2秒，∴速度為24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1米/秒=43.56千米/小時，∴該車速度為43.56千米/小時．∵43.56千米/小時大于40千米/小時，∴此校車在AB路段超速．【知識點】解直角三角形的應用【解析】【分析】（1）分別再Rt△ADC和Rt△BDC中，利用正切函數，即可求出AD與BD的長，從而求出AB的長；

（2）由從A到B用時2秒，即可求得這輛車的速度，比較與40千米每小時的大小即可確定是否超速。12．【答案】（1）解：如圖2，當點P位于初始位置P0時，C如圖3，10:00時，太陽光線與地面的夾角為65°，點P上調至P∠1=90°，∠CAB=90°∴∠CP∵∠DP1E=20∵CF=P1F=1m，∴ΔCP1F為等腰直角三角形，∴P0即點P需從P0上調0.6m（2）解：如圖4，中午12:00時，太陽光線與PE，地面都垂直，點P上調至P2∴P2∵∠CAB=90°，∴∵∠DP∴∠CP∵CF=P2F=1m∴∠C=∠CP過點F作FG⊥CP2于點∴GP∴CP∴P1即點P在（1）的基礎上還需上調0.7m.【知識點】解直角三角形；解直角三角形的應用【解析】【分析】（1）由題意可知當點P位于初始位置P0時，CP0=2m，10:00時，太陽光線與地面的夾角為65°，點P上調至P1處，可知∠1=∠CAB=90°，∠ABE=65°，利用四邊形的內角和定理求出∠AP1E的度數，再證明△CP1F是等邊三角形，利用勾股定理求出CP1的長，然后根據P0P1=CP0-CP1，代入計算可求解。

（2）中午12:00時，太陽光線與PE，地面都垂直，點P上調至P2處，因此可得到P2E∥AB，先求出∠CP2F的度數，再證明△CP2F是等腰三角形，過點F作FG⊥CP2，利用解直角三角形分別求出GP2，CP2，然后根據P1P2=CP1-CP2，代入計算可求解。

13．【答案】（1）解：如圖，作AF⊥BC交BC于點F，交DH于點E，由題意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，設AF＝a米，則AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B＝AFBF∴tan22°＝a21+(a?3)即25解得，a＝12，答：城門大樓的高度是12米（2）解：∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝AFAB∴sin22°＝12AB∴AB≈12÷38即A，B之間所掛彩旗的長度是32米.【知識點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題【解析】【分析】（1）作AF⊥BC交BC于點F，交DH于點E，由∠ADE=45°可得AE=DE，設AF=a,則AE＝（a﹣3），BF=21+(a-3)，根據∠ABF的正切值可求出a的值，即可得答案；（2）根據∠ABF的正弦值求出AB的長即可.14．【答案】（1）解：根據題意知AC=30，∵AB=AC?cos答：AB的長約為26m．（2）解