第二章光纖光學基本方程光波導的模式2?光ABCD單模多模電磁分離波動方程waveequation縱橫分離波導場方程時空分離亥姆霍茲方程Helmholtzequation

分析思路光波導：約束光波傳輸的媒介導波光：受到約束的光波亥姆霍茲方程光線理論波動理論模式一、波動方程波動方程推導最簡單的波動方程電矢量與磁矢量分離理想介質各向同性介質：無自由電荷介質：f=0，

Jf=0非時變介質：

物質方程

邊界條件

麥氏方程一、波動方程波動方程推導最簡單的波動方程電矢量與磁矢量分離

物質方程

邊界條件

麥氏方程波動方程的標量形式直角坐標系中，電磁場的每個分量都成立，也就是說，電磁場向量的每個分量都滿足標量波動方程。一、波動方程波動方程推導最簡單的波動方程電矢量與磁矢量分離

物質方程

邊界條件

麥氏方程波動方程的標量形式式中

代表E和H的各分量。在圓柱坐標中只有Ez和Hz分量才滿足上述波動方程，橫向電磁場分量不滿足。三、亥姆霍茲方程Maxwell方程Helmholtz方程空間時間分離（頻域Maxwell方程）三、亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程的標量形式

基本方程直角坐標系圓柱坐標系左圖表示t=0時刻，電場及磁場隨空間的變化情況。HyExz

自由介質中的單色均勻平面波若取Z軸方向為傳播方向，則——橫場和縱場稱為縱向傳播常數，其實就是波矢在Z方向的分量kz?？v向振蕩因子HyExz

自由介質中的單色均勻平面波——橫場和縱場

對于傳播方向而言，電場及磁場僅具有橫向分量，因此稱為橫電磁波，或稱為TEM波。以后將會遇到在傳播方向上具有電場或磁場分量的非TEM波。T－TransverseExHyz

導電介質中的平面波衰減因子矩形波導圓波導微帶線電磁波在縱向(軸向)以“行波”的形式存在，在橫向以“駐波”的形式存在。§1-2波導方程

一、波導方程橫縱坐標分離略去t-垂直于z方向的橫向(Transverse)模式場亥姆霍茲方程一、波導方程β－（縱向）傳播常數，表示光場沿縱向的波動性。

e(x,y)和h(x,y)－表示光場（E,H）沿波導橫截面的分布，稱為模式場χ－（橫向）傳播常數直角坐標系圓柱坐標系直角坐標系二、模式波導場方程是一個典型的本征方程，其本征值為β或χ。當給定波導的邊界條件時，求解波導場方程可得本征解及相應的本征值。通常將本征解定義為“模式”，它相應于某一本征值并滿足全部邊界條件。每一個模式對應于電磁場的一種穩定存在形式，用電力線或磁力線將此形式描繪出來便是一種特定圖案。波導中總的光場分布則是這些模式的線性組合：模式圖形模式的特征：

模式是波導結構的固有電磁共振屬性的表征。一給定的波導中能夠存在的模式及其性質是已確定了的，外界激勵源只能激勵起波導中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質。模式的場矢量e(x，y)和h(x，y)具有六個場分量：ex、ey、ez和hx、hy、hz(或er、e￠、ez和hr、h￠、hz)。只有這六個場分量全部求出方可認為模式的場分布唯一確定。將兩式代入麥氏方程的兩個旋度方程中：并利用以下關系三、模式場的分量形式式中：推導縱橫關系式

類似地，對于圓柱坐標，可得：返回框圖縱橫關系式1-3模式及其基本性質模式場分布、縱向傳播常數（本征值）、橫向傳播常數、模式截止條件等求解問題求解方法（波動光學方法）由波導場方程求取Ez和Hz（模式場的縱向分量）由縱橫關系式求取橫向場分量由邊界條件獲得本征值方程由本征值方程求取本征值1-3模式及其基本性質（以平板波導為例）xyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波導結構圖Morethan3layersn1>n2≥n3Width(iny)>>dd~μmΔn=n1-n2,~0.001-0.01Δ=Δn/n1≈Δn/n2

相對折射率差~0.1-1％Ifn2=n3,對稱波導（Symmetricalwaveguide）

n2>n3,非對稱波導（Asymmetricalwaveguide）

Ez=0，Hz=0的波，稱為橫電磁波，簡記為TEM波Ez

0，

Hz=0的波，稱為橫磁波，Ey＝Hx＝0，僅有Ex，Ez和Hy三個場分量。簡稱為TM波或E波Ez=0，Hz

0的波，稱為橫電波，Ex＝Hy＝0，僅有Ey，Hx和Hz三個場分量；簡稱為TE波或H波。傳導電磁波的分類波導中可存在的波型1-3模式及其基本性質平面波的反射與折射（a）TE波（b）TM波⊕代表進紙面，⊙代表出紙面，角標i、r、t分別代表入射、反射和折射1-3模式及其基本性質（以平板波導為例）1-3模式及其基本性質（以平板波導為例）電磁場沿z方向傳輸，z方向波導的幾何形狀不變。在y方向波導是無限延伸的，同時由于對稱性，場分量在y方向沒有變化，即：xyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波導結構圖從物理量隨著指標變化來看，平板波導只與X、Z兩個指標有關。又可稱平板波導為二維波導。波導方程：直角坐標系一、波動光學方法（電磁場分析）波導方程：直角坐標系TE波ez

=0，

hz

0的波，稱為橫磁波，hy＝ex＝0，僅有hx，hz和ey三個場分量。縱橫關系式在三層介質中分量解分別寫出分量波動方程為：波導層：襯底層：覆蓋層：令：對稱波導：dz=hn=0n3n1n2xyz解得：其中，對于導模，在波導內應呈振蕩形式的解。對于導模，在介質外場分量應迅速衰減?？v向場解基本形式導模條件波導內呈振蕩形式解，應有介質板外場分量應迅速衰減，應有對于導模導模條件為：波導內呈振蕩形式解，應有橫向場解基本形式傳播常數的確定（本征值方程）或縱向傳播常數證明兩式乘

d2后再相加橫向傳播常數橫向傳播常數橫向傳播常數圖解法求解特征方程UtanU-UcotU模式截止截止條件：模式截止UtanU-UcotU模式的階數m越大，Κ越大，b越小。m=0，1，2…，分別對應著TE0，TE1，TE2…模式，m稱為TE模的階數。模式數量向下取整UtanU-UcotU歸一化頻率波導中傳輸模式的數目與V有關，V是介質平板波導的結構參量，它與波導的n1、n2

、d及真空中的波長有關。歸一化頻率歸一化頻率若V>>

2π，則波導中存在許多傳輸模式。因此若若設計一個多模介質板波導，應按下式選擇介質平板的半寬度：波導數值孔徑若波導的V<

π/2，則圖中的圓只能與UtanU曲線的第1個分支相交，這時波導中只存在一個TE模，即TE0模。一對稱介質平板波導，d=1μm,n1=2.234,n2=2.214，λ0＝0.6328μm，求：(1)波導中存在哪些TE模?(2)當光波長增加到多少時，波導中只有TE0模存在?因為π/2<V<π，可知波導中存在著TE0模和TEl模。解：⑴：⑵：返回基本方程框圖如果從z方向來觀察波導橫截面，那么就只能看到光波沿著x方向的上下運動，以下就從此觀點出發來導出平板波導中的導模條件。2、平板波導的幾何光學分析設一光波從薄膜下界面出發向上行進到薄膜上界面，在上界面全反射后返回到下界面，并在下界面再次遭到全反射，此時會與原先從下界面出發的光波疊加在一起，若要發生相互加強，則兩列波的相位差應為2π的整數倍。這個維持導模的條件稱為橫向共振條件。平板波導的模式本征方程kkxkzdABCD波前n1n2n31312全反射相移該方程的又稱為色散方程。對于給定波導參數，可求出θ，當m取值不同時，θ值也不同。θ稱為m階導模的模角。θ只能取一系列分立值。由θ可以確定傳播常數β。平板波導不同模式的傳輸路徑比較m=0m=1m=2程函方程：表示光波相位變化與介質折射率分布的關系光線在均勻介質傳播路徑上無方向變化；在非均勻介質傳播路徑上有方向變化。光線方程：光線向折射率大的方向彎曲。相位梯度方向與波矢量k方向一致，其模等于該點鄰近單位距離內的相移。(弧度/米）返回基本方程框圖2-4程函方程和射線方程推導切線方向上的單位光程沿路徑變化率折射率梯度二、波動方程兩邊取旋度：均勻介質（）或ε變化緩慢的介質（）

最簡單的波動方程非均勻介質返回波動方程

稱為傳播常數，表征相位變化的快慢在物理學中，k常稱為波矢量，或者稱為波數。它指向波的傳播方向。對于各向同性介質，k的方向與能流方向一致。紅色線條代表電力線藍色線條代表磁力線TE10模式場的三維圖形矩形波導中的空間模式E00E10E01E11202110111200010203模式數目光強為零最大光強圓波導(光纖)中的空間模式LED、白熾燈LD、點源經準直透鏡的光束光源光纖光斑初始端導波模、輻射模（泄漏模）導波模波導、導波的概念！返回模式的概念得各個分量的方程：消去hy用ez和ez表示ex的表達式：式中：類似可以得到用ez和hz表示ey，hx，hy的表達式：返回基本的波導方程式可化為：返回本征值方程（特征方程）的導出上面求出的場分量應滿足電磁場的邊界條件，即當

x＝±d時，橫向場分量應保持連續。當x＝d時，應有ey1=ey2，hz1=hz2，由這兩個關系式可得到當x＝-d時，也應有ey1=ey2，hz1=ez2，由這兩個關系式可得到：組成線性齊次方程組，要使A，B有非零解，須令其系數行列式為零：由上式得TE模的特征方程式：或返回光程：波面走過的幾何路徑與折射率的乘積。平面波在任意方向傳輸的波函數：相位因子對非均勻介質，相位既與位置有關，又與傳播路徑上的折射率有關，用光程函數表示波函數略去時間因子相位梯度：表示光線傳播過程中相位的變化率由麥克斯韋方程推導程函方程:2.4-1程函方程由：等式左邊：與等式左邊相等：由麥克斯韋方程其他三個方程同樣處理，得到：三個矢量正交，相位梯度與波面法線方向一致。條件：將（2.4-1a）代入（2.4-1b），利用矢量恒等式EH相位梯度電場矢量振幅不能處處為零，因而必然有：或者：式（2.4-2a）稱為程函方程；相位梯度方向與光波傳播方向一致，其模等于介質折射率；程函方程給出波面變化規律：在均勻介質中，光波傳輸方向不變；在非均勻介質中，光波傳輸方向隨折射率變。（2.4-2a）（2.4-2b）2.4-2光線方程（射線方程）r

：光線傳播路徑S上某點的矢徑dr/ds:傳播路徑切線方向上單位矢量,根據相位梯度的定義，矢量dr/ds方向與相位梯度方向一致，大小等于：由程函方程（2.4-3)因此相位梯度等于路徑切線方向上的單位光程路徑Srr+drzydrxdr/ds上式對路徑

S

求導光線方程是矢量方程，表示光線向折射率大的方向彎曲。等式右邊：（2.4-4)故對

S

求導式為：切線方向上的單位光程沿路徑變化率折射率梯度光線方程例1：光線在均勻媒質中的傳播光線方程：因n=常數改寫成：其解為矢量直線方程：

a和b是常矢量，在均勻介質中光線路經沿矢量a前進，