第一章建立數學模型1.1從現實對象到數學模型1.2數學建模的重要意義1.3數學建模示例1.4數學建模的方法和步驟1.5數學模型的特點和分類1.6怎樣學習數學建模玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現實對象到數學模型我們常見的模型你碰到過的數學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；

求解得到數學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模1.2

數學建模的重要意義時代特點：2、數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具；

數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。1、電子計算機的出現及飛速發展數學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優化

規劃與管理數學建模計算機技術知識經濟如虎添翼1.3.1例1高跟鞋問題女孩子都愛美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起來最美嗎？1.3

數學建模示例穿高跟鞋是為了身高在視覺上得到增加，但是身高越高看起來越美嗎？理解問題由黃金分割原理，我們不妨假定，當人的下肢和身高的比為0.618時，看起來最美。合理化假設設某人身高為h厘米，下肢長l厘米，高跟鞋的鞋跟為x厘米。轉化為數學問題穿上高跟鞋后，身高為h+x厘米，下肢長l+x厘米。得到一個關于x的一次方程：問題的求解解該一次方程，得：問題的檢驗以身高168CM，下肢長為102CM的人為例，其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關系可由下表說明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０．６０７１０．６０７１０．６０７１０．６０７１１６８１６８１６８１６８２．５３．５５４．５４．７７４８０．６１２９０．６１５１０．６１７３０．６１８問題的檢驗又如，按照上述模型，身高153CM，下肢長為92CM的女士，應穿鞋跟高為6.6CM的高跟鞋顯得比較美。評價和應用由此看來，女孩們愛穿高跟鞋是有科學依據的，也使人聯想到為什么人們觀看芭蕾舞的時候有一種美的感受，可當你看踩高翹表演時就沒有這種感覺。這下女生知道應該如何選擇合適的高跟鞋了吧！1.3.2

如何最省料？問題：現要用100*50厘米的板料裁剪出規格為40*40厘米與50*20的零件，前者需要25件，后者需要30件，問如何裁剪才能最省料？解：先設計幾個裁剪方案，如圖在100*50的板料上可裁剪出兩塊40*40厘米的零件盒一塊50*20厘米的零件（圖中分別用A,B,C表示），或一塊40*40厘米的零件盒三塊50*20厘米的零件，或五塊50*20厘米的零件。顯然，若只用其中一個方案，都不是最省料的方法，最佳方法應該是三個方案的優化組合。設方案i使用原材料（Xi=1,2,3），共用原材料f件，則根據題意，可用如下數學式子表示：背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規律控制人口過快增長1.3.3如何預報人口的增長指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規律無限增長指數增長模型的應用及局限性

與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數地區人口增長規律

不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm

利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數據后重新估計模型參數Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.01.3.4崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度，假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑表功能的計算器。方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。例如，設t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。我學過微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當屬空氣阻力。根據流體力學知識，此時可設空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數K為常數，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設k=0.05并仍設t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了反應時間

進一步深入考慮不妨設平均反應時間為0.1秒，假如仍設t=4秒，扣除反應時間后應為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結果。還應考慮回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落的真正時間為t1，聲音傳回來的時間記為t2，還得解一個方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個非線性主程組似乎不合情理

相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。

數學建模的基本方法機理分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律將對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數1.4

數學建模的方法和步驟

數學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數學的語言、符號描述問題發揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數學工具

數學建模的一般步驟模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統計分析、模型對數據的穩定性分析模型分析模型檢驗與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用

數學建模的一般步驟數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐現實世界數學世界理論實踐1.5

數學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數學模型的特點數學模型的分類應用領域人口、交通、經濟、生態……數學方法初等數學、微分方程、規劃、統計……表現特性描述、優化、預報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態和動態線性和非線性離散和連續1.6怎樣學習數學建模數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力

學習、分析、評價、改進別人作過的模型

親自動手，認真作幾個實際題目課程要求

三個相同專業的人組成一隊，選取一個數學建模教材中訓練題或與所學專業有關的建模問題，按數學建模競賽形式進行數學建模實踐，按照教材中論文書寫格式要求就所研究問題提交數學建模論文一份

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2錄像機計數器的用途2.3雙層玻璃窗的功效2.4汽車剎車距離2.5劃艇比賽的成績2.6實物交換2.7核軍備競賽2.8啟帆遠航2.9量綱分析與無量綱化第三章簡單的優化模型3.1

存貯模型3.2

生豬的出售時機3.3

森林救火3.4

最優價格3.5血管分支3.6消費者均衡3.7冰山運輸第四章數學規劃模型

4.1奶制品的生產與銷售4.2

自來水輸送與貨