有限覆蓋定理：使得證明：用反證法.被開區間系若閉區間則存在有限子系覆蓋（即）,假設不然，即不能被將區間等分為兩半,中有限個開區間覆蓋，必至少有一半不能被將這樣的一半記作（如果兩半都如此，任取其一）.也有一半不能被中有限個開區間覆蓋.將此記作依此類推.中有限個開區間覆蓋.等分為兩半，再將其中至少這樣我們得到區間套存在唯一點由區間套定理知，因為覆蓋區間所以使得因為所以使得與區間套的構做方式矛盾.開區間被開區間系覆蓋①存在有限子系使得例如,令則被開區間系覆蓋,但不能被其任意一個有限子系覆蓋.閉區間被閉區間系覆蓋②存在有限子系使得例如,令則被閉區間系覆蓋,但不能被其任意一個有限子系覆蓋.1.非空實數集若有上(下)界則必有上(下)確界.2.單調有界數列必收斂.3.區間套定理.4.有界數列必有收斂子列.5.數列收斂當且僅當它是Cauchy列.6.有限覆蓋定理.以上六條等價！已經證過的結論：單調有界必有極限(2)有上界必有上確界(1)設A是一個非空實數集，某個元素不是自己的上界.有上界.不妨設A的將此元素記作A的一個上界記作則令否則令令若是A

的一個上界,令Ⅰ如此我們得到一個數列有下界記易知其每一項都是A的一個上界，數列單調減少、所以收斂.由保序性,所以s是上確界.因為因為不是A的上界,所以有限覆蓋定理(6)假設數列有界，因為沒有收斂子列，存在有限個使得Bolzano定理(4)分別是其一個下界，一個上界，但沒有收斂子列.所以開區間中只含中有限項.由有限覆蓋定理，Ⅱ因為每個開區間只含中有限項，中有限項，矛盾！中只含所以中有限項，中中只含所以Ⅲ有限覆蓋定理(6)但中的任意有限個中至少有一個記這樣找到有界數列存在收斂子列假設開區間都不能覆蓋中記作至少有一個不能被中的有限個開區間覆蓋，不能被中的有限個開區間覆蓋，由例題的結論，Bolzano定理(4)記則且有因為所以使得因為是開集，所以與區間列的構作方式矛盾.且Cauchy收斂準則(5)單調有界必收斂(2)Ⅳ設數列單調增加且有上界,但發散.由Cauchy收斂準則知,對于存在對于存在對于存在因為單調增加,所以使得使得使得從而數列無界,矛盾！123456有上(下)界則必有上(下)確界Cauchy收斂準則Bolzano定理區間套定理單調有界必收斂有限覆蓋定理鄰域點的鄰域是指與點距離小于的點的集合即開區間聚點設集合若對于任意正數的鄰域中都含有A

中無窮多個點,則稱是A

的一個聚點.例如,A

中每個點都是A

的聚點,也都是A

的聚點.例如則A只有一個聚點而集合沒有聚點.是A

的一個聚點的充要條件是命題的鄰域中都含有A

中異于的點.數列有界,從而有收斂子列,記下證是A

的一個聚點.7.有界無窮集必有聚點.證明任取設A是有界無窮集.是有界無窮集,任取是有界無窮集,任取含有A中無窮多個點即的鄰域設是有界數列.記1)A是有限集.此時中有無窮多項相等,這些項組成的子列是常數列,收斂.2)A是無限集.此時A有聚點,記a

是A的一個聚點.任取的一項,記作令在a的鄰域中取中標號大于n1的一項,記作這樣得到的子列收斂到a.因為從而,令中標號大于n2的一項,記作在a的鄰域中取1