量綱分析與相似原理

第九章9.1量綱和諧原理量綱的概念什么是量綱，什么是單位，二者之間有什么區別和聯系？

答：量綱是表示各種物理量的類別；單位是度量各種物理量數值大小的標準。單位和量綱都是關于度量的概念，單位決定量度的數量，而量綱則指量度的性質?；玖烤V與導出量綱基本量綱：無任何聯系、相互獨立的量綱。導出量綱：可以由基本量綱導出的量綱。

基本量綱：質量M、長度L、時間T。導出量綱：其他物理量量綱。

無量綱量無量綱量：可以由兩個具有相同量綱的物理量相比得到，也可以由幾個有量綱物理量乘除組合，使組合量的各基本量綱指數為零得到。量綱分析依據量綱分析方法提出的根據是什么，它有何作用？

答：1.提出根據（1）自然界一切物理現象的內在規律，都可以用完整的物理方法來表示。（2）任何完整物理方程，必須滿足量綱和諧性原理。

2.作用可用來推導各物理量的量綱；簡化物理方程；檢驗物理方程、經驗公式的正確性與完善性，為科學地組織實驗過程、整理實驗成果提供理論指導。

量綱和諧原理

凡是正確反映客觀規律的物理方程，其方程各項的量綱都必須是一致的，這被之為量綱和諧性原理。但是在曼寧公式中，謝齊系數C的量綱為，R的量綱為L，n為無量綱量，很明顯量綱是不和諧的，所以可能有人認為量綱和諧性原理是錯誤的，你是如何認識這個問題的，并闡述你的理由。

解：量綱和諧性原理是以被無數事實證明的客觀真理。因為只有兩個同類型的物理量才能相加減，否則沒有物理意義的。而一些經驗公式是在沒有理論分析的情況下，根據部分實驗資料或實測數據統計而得，這類公式經常是量綱是不和諧的。這說明人們對客觀事物的認識還不夠全面和充分，只能用不完全的經驗關系式來表示局部的規律性。這些公式隨著人們對流體本質的深刻認識，將逐步被修正或被正確完整的公式所替代。9.2量綱分析法瑞利法(物理量不超過4個)試用瑞利法分析溢流堰過流時單寬流量q的表達式。已知q與堰頂水頭H、水的密度ρ和重力加速度g有關。1.分析影響因素，列出函數方程解：根據題意可知，溢流堰過流時單寬流量q與堰頂水頭H、水的密度ρ和重力加速度g有關，用函數關系式表示為解題步驟2.將q寫成H，ρ，g的指數乘積形式，即3.寫出量綱表達式解題步驟4.選M、L、T作為基本量綱，表示各物理量的量綱為5.由量綱和諧性原理求各量綱指數

M：0=bL：2=a-3b+cT：-1=-2ca=3/2b=0c=1/2

6.代入指數乘積式，得

其中，k1為無量綱系數，即流量系數m0，由實驗來確定。解題步驟即題目求水泵輸出功率的表達式。已知水泵的輸出功率N與單位體積水的重量、流量Q、揚程H有關。1.分析影響因素，列出函數方程解：根據題意可知，水泵的輸出功率N與單位體積水的重量、流量Q、揚程H

有關,用函數關系式表示為解題步驟2.將N寫成γ，Q，H的指數乘積形式，即3.寫出量綱表達式解題步驟4.選L、T、M作為基本量綱，表示各物理量的量綱為5.由量綱和諧性原理求各量綱指數

L：2=-2a+3b+cT：-3=-2a-bM：1=aa=1b=1c=1

6.代入指數乘積式，得

其中，k為無量綱系數，通過實驗來確定。解題步驟π定理簡述布金漢π定理的運用步驟？答：1.確定關系式。根據對所研究現象的認識，確定影響這個現象的各個物理量及其關系式。2.確定基本物理量。從n個物理量中選取所包含的m個基本物理量作為基本量綱的代表，一般取m=3。使基本量綱的行列式不等于零，即保障基本無論量相互獨立。3.確定基本物理量依次與其余物理量組成的π表達式。

解題步驟4.滿足π為無量綱相，由量綱和諧性原理定出各π項基本物理量的指數a、b、c。

5.寫出描述現象的關系式。

題目在用布金漢π定理時，要選取3個相互基本物理量，如何合理的選擇這3個基本物理量呢？答：（1）基本物理量與基本量綱相對應。即若基本量綱選（M，L，T）為三個，那么基本物理量也選擇三個；倘若基本量綱只出現兩個，則基本物理量同樣只須選擇兩個。（2）選擇基本物理量時，應選擇重要的物理量。換句話說，不要選擇次要的物理量作為基本物理量，否則次要的物理量在大多數項中出現，往往使問題復雜化，甚至要重新求解。（3）為保證三個基本物理量相互獨立，其量綱的指數行列式應滿足不等于零的條件。一般是從幾何學量、運動學量、動力學量中各選一個，即可滿足要求。題目

文丘里流量計是用來測量有壓管路的流量，如右圖所示，已知1-1斷面和2-2斷面之間的壓強差△p隨流量Q，流體密度ρ，液體粘度η以及大小直徑D1，D2變化。試用π定律求出的壓強降落△p表示的流量公式。文丘里流量計1.分析影響因素，列出函數方程解：根據題意可知，壓強差△p與通過的流量Q，流體的密度ρ，液體的粘度η以及大小直徑D1,D2有關，用函數關系式表示為：可以看出函數中的變量個數n＝6解題步驟解題步驟

選取三個基本物理量，它們分別是幾何學量D1，運動學量Q以及動力學量ρ。2.選取基本物理量量綱指數行列式由量綱公式：故上述所選的三個基本物理量式相互獨立的。解題步驟3.列出無量綱π值列出個無量綱的π值。其中為待定指數。4.根據量綱和諧性原理，確定各π項的指數對于π1，其量綱式為：所以：解題步驟解題步驟對于π2，其量綱式為：對于π3

，其量綱式為：解題步驟5.寫出無量綱量方程

上式中的數可根據需要取其倒數，而不會改變它的無量綱性質。即：

對于同一個問題，用兩種不同的量綱分析法得到的結果完全相同。一般，瑞利法適用于比較簡單的問題，相關變量未知數n≤4~5個，而布金漢π定理是具有普遍性的方法。

9.3相似理論基礎模型模型：通常指與原型(工程實物)有同樣的運動規律，各運動參數存在固定比例關系的縮小物。作用：通過模型試驗，把研究結果換算為原型流動，進而預測在原型流動中將要發生的現象。

力學相似何為模型試驗的力學相似，它包括哪幾個方面的內容？

答：所謂的力學相似是指原型流動和模型流動在對

應物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）

之間應互相平行，并保持一定的比例關系（指

矢量與標量物理量的數值，如力的數值、時間

與壓強的數值等）。

力學相似流體力學相似包括以下四個方面：1.幾何相似

2.運動相似

3.動力相似4.初始條件和邊界條件相似幾何相似定義：指兩個流動(原型和模型)流場的幾何形狀相似，即相應的線段長度成比例，夾角相等。

幾何相似運動相似定義：指兩個流動(原型和模型)相應點速度方向相同，大小成比例。

運動相似動力相似定義：指兩個流動(原型和模型)相應點質點受同名力的作用，且力的方向相同，大小成比例。

邊界條件和初始條件相似邊界條件相似：指兩個流動(原型和模型)相應邊界性質相同。初始條件相似：指兩個流動(原型和模型)相應初始性質相同。流體力學相似簡化為：幾何相似、運動相似、動力相似三個方面。雷諾準則

模型和原型試驗的雷諾數相等。

雷諾數表示慣性力與粘滯力之比，兩流動相應的雷諾數相等，粘滯力相似。

弗勞德數準則

模型和原型試驗的弗勞德數相等。

弗勞德數表示慣性力與重力之比，兩流動相應的弗勞德數相等，重力相似。

歐拉準則

模型和原型試驗的歐拉數相等。

歐拉數表示壓力與慣性力之比，兩流動相應的歐拉數相等，壓力相似。

牛頓數佛汝德數雷諾數歐拉數柯西數韋伯數斯特勞哈爾數7.諧時準則6.表明張力相似準則5.彈性力相似準則4.壓力相似準則3.粘滯力相似準則2.重力相似準則1.牛頓相似準則相似準則力的比例尺相似準則9.4模型試驗原型和模型能否同時滿足重力相似準則和粘滯力相似準則？為什么？答：當采用同一種流體，不可能同時滿足兩種相似。因為：當重力相似時而粘滯力相似時可知速度比尺不同，也即不能同時滿足兩種相似。模型準則選擇

若采用不同流體時，在理論上是可能的。因為：當重力相似時而粘滯力相似時聯立以上兩式，可得當時，能夠同時滿足重力相似準則和粘滯力相似準則，但是在實際中是不可能的。

模型試驗做到完全相似是困難的，一般只能達到近似相似，就是保證對流動起主要作用的力相似。

有壓管流，粘滯力起主要作用，應按雷諾準則設計模型。在堰流、閘孔出流、明渠流動中，重力起主要作用，應按弗勞德準則設計模型。模型準則選擇雷諾準則：模型設計弗勞德準則：模型設計流量比：模型設計雷諾準則模型：弗勞德準則模型：相似理論的應用題目有一直徑d=50cm的輸油管道，管道長l=200m，油的運動粘滯系數

，管中通過油的流量