正弦函數的性質及圖象教學設計【教學目標】探究并掌握的周期性、奇偶性和最值會利用正弦函數額性質解決一些簡單的三角函數問題會利用五點法畫出正弦函數的圖象【教學重點】五點法作圖、正弦函數的性質【教學難點】函數周期性的理解，正弦函數性質的理解和應用【教學過程】問題1：正弦函數的定義知識點1正弦函數的定義正弦函數：對于任意一個角x，都有唯一確定的正弦sinx與之對應，因此y＝sinx是一個函數，一般稱為正弦函數．用正弦線可以直觀地表示正弦函數地函數值，如圖，就是角x的正弦線。問題2：正弦函數的性質知識點2：定義域與值域因為任意角都有正弦，所以的定義域為R，由圖中的正弦線可以看出，長度的最大是1，最小是0，因此可知的值域為，而且當且僅當時，函數的最大值為；當且僅當時，函數的最小值為.例1.已知，求t的取值范圍。解：因為，所以由此解得知識點3：奇偶性由誘導公式，可知正弦函數為奇函數，其圖象關于原點中心對稱。【對點快練】函數y＝sin(x＋π)的圖像關于()A．x軸對稱 B．原點對稱C．y軸對稱 D．直線x＝eq\f(π,2)對稱答案：B因為y＝sin(x＋π)＝－sinx為奇函數，所以其圖像關于原點對稱．由誘導公式可知，當自變量x的值每增加或減少的整數倍時，正弦值重復出現，這種性質稱為正弦函數的周期性。知識點4：正弦函數的周期性1．周期函數定義：一般地，對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得對定義域內的每一個x，都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么就稱f(x)為周期函數，非零常數T稱為這個函數的周期．對于一個周期函數f(x)，如果在它的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就稱為f(x)的最小正周期．2．正弦函數的周期：正弦函數y＝sinx是周期函數，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.【對點快練】1．函數y＝2sinx－1的最小正周期是____________．答案：2πy＝sinx的最小正周期是2π，所以y＝2sinx－1的最小正周期是2π.2．已知f(x)在R上是奇函數，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝____________.答案：－2因為f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，所以f(7)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.由是以為周期的周期函數可知，我們只要知道正弦函數在一個長度為的區間內的單調性，就能得到正弦函數在R上的單調性。由圖中的正弦線可以看出，正弦函數在區間上，從-1增大到1，是遞增的；在區間上，從1減少到-1，是遞減的。知識點5：單調性一般地，正弦函數在區間上遞增，在上遞減。【對點快練】在下列區間中，使函數y＝sinx為增函數的是()A．[0，π] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．[π，2π]答案：C由正弦曲線知y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數．例2.不求值，比較和的大小。解：因為又因為在區間內遞增，且，所以因此【變式練習1】(1)已知a∈R，函數f(x)＝sinx－|a|(x∈R)為奇函數，則a等于()A．0 B．1C．－1 D．±1(2)函數y＝sineq\f(π,2)x的最小正周期是____________．(3)比較sin(－320°)與sin700°的大小．答案：(1)A函數定義域為R，因為f(x)為奇函數，所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sinx＋|a|，所以|a|＝0，從而a＝0.(2)4令z＝eq\f(π,2)x，且y＝sinz的最小正周期為2π.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋2π))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋4))∴由周期函數定義，T＝4是y＝sineq\f(π,2)x的最小正周期．(3)解∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin40°，sin700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)，又函數y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數，∴sin40°>sin(－20°)，∴sin(－320°)>sin700°.【變式練習2】判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5,2)π))；(2)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\r(1＋sin2x))).解(1)函數的定義域為R，關于原點對稱，f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5,2)π))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cos2x，顯然有f(－x)＝f(x)成立．∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5,2)π))為偶函數．(2)函數定義域為R，關于原點對稱，f(－x)＋f(x)＝lg(－sinx＋eq\r(1＋sin2x))＋lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))＝lg(sinx＋eq\r(1＋sin2x))(－sinx＋eq\r(1＋sin2x))＝lg(1＋sin2x－sin2x)＝lg1＝0，則f(－x)＝－f(x)，∴函數f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\r(1＋sin2x)))為奇函數．知識點6：正弦函數的零點正弦函數y＝sinx的零點是kπ(k∈Z).【對點快練】函數y＝2sinx的零點是____________．答案:kπ，k∈Z令y＝0，得x＝kπ，k∈Z，所以函數的零點是kπ，k∈Z.例3.求下列函數的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時x的值。（1）；（2）（3）解：（1）函數與同時取得最大值和最小值，所以，當時，取得最大值-1；當時，取得最大值-3.（2）令，則于是就轉化為求閉區間上二次函數的最大值和最小值問題了。因為時，，所以，因此從而，此時即；，此時.(3)令則因為時，，因此從而此時；此時即或.【變式練習1】求函數y＝1－2cos2x＋5sinx的最大值和最小值．解y＝1－2cos2x＋5sinx＝2sin2x＋5sinx－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(5,4)))2－eq\f(33,8).令sinx＝t，則t∈[－1,1]，則y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(5,4)))2－eq\f(33,8).因為函數y在[－1,1]上是增函數，所以當t＝sinx＝－1時，函數取得最小值－4，當t＝sinx＝1時，函數取得最大值6.【變式練習2】本例題中若限定x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))，函數解析式不變，如何求函數的最大值與最小值？解y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(5,4)))2－eq\f(33,8).令sinx＝t，因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，則y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(5,4)))2－eq\f(33,8).因為函數y在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上是增函數，所以當t＝sinx＝－eq\f(1,2)時，函數取得最小值－3，當t＝sinx＝eq\f(1,2)時，函數取得最大值2.問題3：正弦函數的圖象由是以為周期的周期函數可知，只要知道正弦函數在一個長度為的閉區間的圖象，就可以得到正弦函數在R上的圖象。下面我們探討正弦函數在區間上的圖象。又因為是奇函數，所以在和上的圖象關于原點對稱，因此只要探討在上的圖象即可。取中的幾個值，列表如下：在平面直角坐標系中描點，如圖所示，又根據在上遞增，在上遞減等信息，可知將這些點連接起來，形成光滑的曲線，就可以得到在上的函數圖象。然后作這一段圖象關于原點對稱的圖象，最后得到在上的圖象，如圖所示。由于的周期是，所以正弦函數在上的函數圖象與其在的函數圖象形狀完全相同，因此不難得到正弦函數的圖象，如圖所示。一般地，的函數圖象稱為正弦曲線。由圖象可知，正弦曲線是軸對稱圖形，對稱軸為，正弦曲線也是中心對稱圖形，且對稱中心為，另外，這兩個結論也可以從關系式和得到，其中。知識點7正弦函數的圖像1．一般地，函數y＝sinx的圖像稱為正弦曲線，利用五點法作正弦曲線，這五個點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像向左、右平行移動(每次2π個單位長度)，就可以得到正弦函數y＝sinx，x∈R的圖像．2．正弦函數y＝sinx的圖像對稱軸為x＝eq\f(π,2)＋kπ，對稱中心為(kπ，0)，其中k∈Z.【對點快練】1．用五點法畫y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像時，下列哪個點不是關鍵點()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))C．(π，0) D．(2π，0)答案：A易知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))不是關鍵點．2．函數y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像與函數y＝1的圖像的交點個數是()A．1 B．2C．3 D．4答案：A當x＝eq\f(π,2)時，y＝1，所以函數y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像與函數y＝1的圖像的交點個數是1個．例4.用五點法作函數的圖象。解：找關鍵的五個點，列表如下：描點作圖，如圖所示：由圖可以看出對于任意一個，函數的函數值比的函數值大1，因此的圖象可由的圖象向上平移一個單位得到。【變式練習】用“五點法”作出下列函數的簡圖．y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]．解列表：X0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101＋2sinx131－11在直角坐標系中描出五點(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，1)eq\b\lc\(\