第1章二次函數本章總結提升整合提升第1章二次函數知識框架本章總結提升實際問題的答案實際問題二次函數y＝ax2＋bx＋c利用二次函數的圖像及性質求解圖象知識框架目標歸納抽象性質整合提升問題1拋物線的平移拋物線y＝ax2經過怎樣的平移可以得到拋物線y＝a(x－m)2＋k?例1已知某拋物線和坐標軸的交點坐標分別為(3，0)，(－1，0)和(0，－3)，回答下列問題：(1)求該拋物線的函數表達式；(2)請對該拋物線給出一種平移方案，使平移后的拋物線經過原點．本章總結提升解：(1)∵拋物線與x軸的交點坐標為(3，0)，(－1，0)，∴設拋物線的函數表達式為y＝a(x－3)(x＋1)(a≠0)．∵當x＝0時，y＝－3，∴－3＝(0－3)(0＋1)a，∴a＝1，∴y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.(2)在拋物線上取一點P(1，－4)，∵將點P向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得點P′(0，0)，∴將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位后所得的拋物線經過原點(0，0)．注：(2)題答案不唯一．本章總結提升【歸納總結】本章總結提升問題2二次函數的圖象及性質結合二次函數的圖象回顧二次函數的性質，例如根據拋物線的開口方向、頂點坐標，說明二次函數在什么情況下取得最大(小)值．本章總結提升例2二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖1－T－1所示，有下列說法：①2a＋b＝0；②當－1≤x≤3時，y＜0；③若點(x1，y1)，(x2，y2)在函數圖象上，當x1＜x2時，y1＜y2；④9a＋3b＋c＝0.其中正確的是(

)A．①②④

B．①④C．①②③D．③④

B圖1－T－1本章總結提升本章總結提升∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，開口向上，∴若點(x1，y1)，(x2，y2)在函數圖象上，當1<x1<x2時，y1<y2；當x1<x2<1時，y1>y2，故③錯誤；∵二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(3，0)，∴當x＝3時，y＝0，即9a＋3b＋c＝0，故④正確．故選B.本章總結提升【歸納總結】字母

項目字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bb＝0對稱軸為y軸ab＞0(b與a同號)對稱軸在y軸左側ab＜0(b與a異號)對稱軸在y軸右側本章總結提升cc＝0經過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2－4acb2－4ac＝0與x軸有唯一交點(頂點)b2－4ac＞0與x軸有兩個不同交點b2－4ac＜0與x軸沒有交點本章總結提升特殊關系當x＝1時，y＝a＋b＋c當x＝－1時，y＝a－b＋c若a＋b＋c＞0，即x＝1時，y＞0若a－b＋c＞0，即x＝－1時，y＞0本章總結提升問題3求二次函數的表達式用待定系數法求二次函數的表達式的方法有哪些？例3已知一條拋物線與x軸的交點是A(－2，0)，B(1，0)，且經過點C(2，8)．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)求該拋物線的頂點坐標．本章總結提升【解析】本題可用待定系數法求拋物線的函數表達式，求該拋物線的頂點坐標可將表達式配方成頂點式．本章總結提升本章總結提升【歸納總結】用待定系數法求二次函數的表達式方法適用條件及求法一般式若已知條件是圖象上的三個點，則設所求二次函數的表達式為y＝ax2＋bx＋c，將已知三個點的坐標代入，求出a，b，c的值頂點式若已知二次函數圖象的頂點坐標或對稱軸與最大值(或最小值)，設所求二次函數的表達式為y＝a(x－m)2＋k，將已知條件代入，求出待定系數a，最后將表達式化為一般形式本章總結提升交點式若已知二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1，0)，(x2，0)，設所求二次函數的表達式為y＝a(x－x1)(x－x2)，將第三點的坐標(m，n)(其中m，n為已知數)或其他已知條件代入，求出待定系數a，最后將表達式化為一般形式本章總結提升例42016·荊門若二次函數y＝x2＋mx的圖象的對稱軸是直線x＝3，則關于x的方程x2＋mx＝7的解為(

)A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝－7D．x1＝－1，x2＝7問題4二次函數與一元二次方程的關系結合拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的位置關系，說明方程ax2＋bx＋c＝0的根的各種情況．D本章總結提升例5已知拋物線y＝x2－2(m－1)x＋m2－7與x軸有兩個不同的交點．(1)求m的取值范圍；(2)若拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為(3，0)，求點B的坐標.【解析】(1)根據b2－4ac>0確定m的取值范圍；(2)可以把x＝3，y＝0代入表達式，求出m的值，但要注意m的值應符合(1)中的要求．本章總結提升解：(1)∵拋物線y＝x2－2(m－1)x＋m2－7與x軸有兩個不同的交點，∴方程x2－2(m－1)x＋m2－7＝0有兩個不同的實數根，∴b2－4ac>0，即4(m－1)2－4(m2－7)>0，解得m<4.(2)把x＝3，y＝0代入表達式，得9－6(m－1)＋m2－7＝0，即m2－6m＋8＝0，解得m1＝2，m2＝4.∵m<4，∴m＝2，∴函數表達式為y＝x2－2x－3.令y＝0，則x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴點B的坐標為(－1，0)．本章總結提升【歸納總結】拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的位置關系判別式的值的情況一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況拋物線與x軸有兩個交點b2－4ac>0方程有兩個不相等的實數根拋物線與x軸有一個交點b2－4ac＝0方程有兩個相等的實數根拋物線與x軸沒有交點b2－4ac<0方程沒有實數根本章總結提升問題5二次函數最值問題的實際應用在日常生活、生產和科研中，常常會遇到求什么條件下可以使材料最省、時間最少、效率最高等問題，其中一些問題可以歸納為求二次函數的最大值或最小值．請舉例說明如何分析、解決這樣的問題．本章總結提升例62017·湖州湖州素有魚米之鄉之稱，某水產養殖大戶為了更好地發揮技術優勢，一次性收購了20000kg淡水魚，計劃養殖一段時間后再出售．已知每天放養的費用相同，放養10天的總成本為30.4萬元；放養20天的總成本為30.8萬元(總成本＝放養總費用＋收購成本)．(1)設每天的放養費用是a萬元，收購成本為b萬元，求a和b的值．本章總結提升(2)設這批淡水魚放養t天后的質量為m(kg)，銷售單價為y元/kg.根據以往經驗可知：m與t的函數關系為m＝y與t的函數關系如圖1－T－2所示．①分別求出當0≤t≤50和50＜t≤100時，y與t之間的函數表達式；②設將這批淡水魚放養t天后一次性出售所得利潤為W元，求當t為何值時，W最大，并求出最大值．(利潤＝銷售總額－總成本)圖1－T－2本章總結提升本章總結提升本章總結提升本章總結提升【歸納總結】二次函數的實際應用常見類型步驟拋物線形狀類①建立平面直角坐標系；②利用待定系數法確定拋物線的函數表達式；③利用二次函數的性質解決實際問題商品銷售類①讀懂題意，借助銷售問題中的利潤等公式尋找等量關系；②確定函數表達式；③確定二次函數的最值，解決實際問題本章總結提升幾何類①根據幾何知識探究圖形的幾何(面積、長度等)關系式；②根據幾何關系式確定函數表達式；③確定二次函數的最值，解決問題本章總結提升注意：(1)當題目中沒有給出平面直角坐標系時，選取的平面直角坐標系不同，所得函數表達式也不同．(2)在求二次函數的最值時，要注意實際問題中自變量的取值的限制對最值的影響．(3)建立函數模型解決實際問題時，題目中沒有明確函數類型時，要對求出的函數表達式進行驗證，防止出現錯解．本章總結提升問題6二次函數與幾何的綜合例72017·鎮江如圖1－T－3，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為(4，t)(t＞0)．二次函數y＝x2＋bx(b＜0)的圖象經過點B，頂點為D.(1)當t＝12時，頂點D到x軸的距離等于________；(2)E是二次函數y＝x2＋bx(b＜0)的圖象與x軸的一個公共點(點E與點O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值時的二次函數表達式；本章總結提升本章總結提升解：(2)∵二次函數y＝x2＋bx(b<0)的圖象與x軸交于點E，∴E(－b，0)，∴OE＝－b，EA＝4＋b.∴OE·EA