『夯實基礎知識』丹麥天文學家第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽則處在這些橢圓軌道的一個焦點上；第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中，與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等；第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等．即

r

律。

內容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小跟它們的質量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個物體的連線方向。F

Mmr

（

年）（式中

Em

。

N

m

/

（式中

Em

。作用力，

年由英國物理學家卡文迪許利用扭秤裝置測出。萬有引力常量的測定——卡文迪許扭秤實驗原理是力矩平衡。萬有引力常量的測定使卡文迪許成為“能稱出地球質量的人”：對于地面附近的物體m，有

mg

mE

m

E

EE的大小時，公式也可近似使用，但此時

應為兩物體重心間的距離．對于均勻的球體，

是兩球心間的距離．F

近為無窮大。

地球自轉對地表物體重力的影響。

FF

mg

m重力是萬有引力產生的，由于地球的自轉，因而地球表面的物 體隨地球自轉r

－mRω

。一r

－mRω

。一

F

＝

m

m

F

·

mg，其方向與支持力

反向，應豎直向下，而不是指向地心。由于緯度的變化，物體做圓周運動的向心力F

向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度

g

隨緯度變化而變化，從赤道到兩極

R

逐漸減小，向心力

·

ω減小，重力逐漸增大，相應重力加速度

g

也逐漸增大。F

和

mg

F＝F

＋mg，所以

m 物體在兩極時，其受力情況如圖丙所示，這時物體不再做圓周運動，沒有向心力，物體受到的萬有引力F

和支持力

是一對平衡力，此時物體的重力mg＝＝F

。o

o

F

F

o

綜上所述重力大小：兩個極點處最大，等于萬有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間，但差別很小。重力方向：在赤道上和兩極點的時候指向地心，其地方都不指向地心，但與萬有引力的夾角很小。由于地球自轉緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計算中忽略了自轉的影響，在此基礎上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即萬有引力定律的應用：

GmM

≈mg(類似原子模型)(類似原子模型)方法：軌道上正常轉：

Mm

m

m

r

mr

r

r地面附近：

MmR

=

mg

(黃金代換式)通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即mg通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即mg＝

m

m

，

常用來計算g

g（）gr，比較得

g=（

）r設天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，由mg=

Mm

得

g=

M

，由此推得兩個不同天體表面重力 加速度的關系為

g加速度的關系為

gM

（）計算中心天體的質量某星體

m

圍繞中心天體m

做圓周運動的周期為，圓周運動的軌道半徑為r，則：m

m

r得：m

m

m中r

r

可以注意到：環繞星體本身的質量在此是無法計算的（）計算中心天體的密度M M

rρ= = =半徑

及運行周期

T，就可以算出天體的質量．若知道行星的半徑

R

則可得行星的密度人造地球衛星。這里特指繞地球做勻速圓周運動的人造衛星。、衛星的軌道平面：由于地球衛星做圓周運動的向心力是由萬有引力提供的，所以衛星的軌道平面一定過地球球心，地球球心一定在衛星的軌道平面內。、原理：由于衛星繞地球做勻速圓周運動，所以地球對衛星的引力充當衛星所需的向心力，于是有GmM

ma

m

m

r

m rr

r 、表征衛星運動的物理量：線速度、角速度、周期等：（）向心加速度 與

的平方成反比。 =

r

當

取其最小值時，

取得最大值。

=

（）線速度

與

的平方根成反比= ∴當

h↑，v↓r當

取其最小值地球半徑R

時，

取得最大值。

=（）角速度

與

的二分之三次方成反比

=

= r

∴當

h↑，ω↓當

取其最小值地球半徑R

時，

取得最大值。

=

g=

≈1

T

=2

=2

T

=2

=2

≈84

minr

∴當

h↑，T↑當

取其最小值地球半徑R

時，T

取得最小值。 g衛星的能量：(類似原子模型)

增

減小(EK減小p增加)，所以

E

增加;需克服引力做功越多，地面上需要的發射速度越大應該熟記常識：地球公轉周期年，自轉周期天小時，地球表面半徑ｘ 表面重力加速度m/s月球公轉周期

天．宇宙速度及其意義三個宇宙速度的值分別為：第一宇宙速度（又叫最小發射速度、最大環繞速度、近地環繞速度）：物體圍繞地球做勻速圓周運動所需要的最小發射速度，又稱環繞速度，其值為：

在地面附近物體的重力近似地等于地球對物體的萬有引力，重力就是衛星做圓周運動的向心力．mg

m

r

．當

＞＞

時．g≈g所以

＝

=7．m/s如果衛生的速大于而小于

，衛星將做橢圓運動。當衛星的速度等于或大于的時候，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造行星，或飛到其它行星上去，把

叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是掙脫地球引力束縛的最小發射速度。物體掙脫太陽系而飛向太陽系以外的宇宙空間所需要的最小 發射速度，又稱逃逸速度，其值為：

當發射速度

與宇宙速度分別有如下關系時，被發射物體的運動情況將有所不同①當

＜時，被發射物體最終仍將落回地面；②當

≤＜時，被發射物體將環繞地球運動，成為地球衛星；③當

≤＜時，被發射物體將脫離地球束縛，成為環繞太陽運動的“人造行星”；④當

≥時，被發射物體將從太陽系中逃逸。．同步衛星（所有的通迅衛星都為同步衛星），⑴

同步衛星。“同步”的含義就是和地球保持相對靜止（又叫靜止軌道衛星）

所以其周期等于地球自轉，周期，即

，⑵

特點（）地球同步衛星的軌道平面，非同步人造地球衛星其軌道平面可與地軸有任意夾角，而同步衛星一定位于赤道的正上方，不可能在與赤道平行的其他平面上。引力的一個分力

F，而另一個分力

F的作用將使其運行軌道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步衛星才可能在穩定的軌道上運行。（）地球同步衛星的周期：地球同步衛星的運轉周期與地球自轉周期相同。（）同步衛星必位于赤道上方

處，且

是一定的．

Mmr

m

r得得r

故

r

km（）地球同步衛星的線速度：環繞速度由

Mm

m

得

r

r

r

km/同樣質量的衛星在不同高度軌道上的機械能不同。其中衛星的動能為

E 同樣質量的衛星在不同高度軌道上的機械能不同。其中衛星的動能為

E

GMm

，由于重力加速度

g

隨K人造天體在運動過程中的能量關系小的動能。反之，如果人造天體在運動中動能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過程中，因引力對其做正功，故導致其動能將增大。rr

E=mgh計算，而要用到公式E

GMmr

（以無窮遠處引力勢能為零，M

為地球質量，m

為衛星質量，r

為衛星軌道半徑。由于從無窮遠向地球移動過程中萬有引力）做正功，所以系統勢能減小，為負。

因此機械能為

E

GMm）r

。同樣質量的衛星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛星具有的機械能越大，發射越困難。『題型解析』類型題：

萬有引力定律的直接應用【例題】下列關于萬有引力公式F

mmr

的說法中正確的是（

）A．公式只適用于星球之間的引力計算，不適用于質量較小的物體B．當兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大C．兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律．公式中萬有引力常量

的值是牛頓規定的【例題】設想人類開發月球，不斷地把月球上的礦藏搬運到地球上．假如經過長時間開采后，地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的圓軌道運動則與開采前比較（

）A．地球與月球間的萬有引力將變大B．地球與月球間的萬有引力將減小C．月球繞地球運動的周期將變長．月球繞地球運動的周期將變短類型題：

重力加速度

g

隨離高度

變化情況表面重力加速度：

Mm

mg

g

GMmh

mgh

gh

h 【例題】火星的質量和半徑分別約為地球的 和 ，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力 加速度約為（

）

g

g

g類型題：

用萬有引力定律求天體的質量和密度通過觀天體衛星運動的周期T

和軌道半徑

或天體表面的重力加速度g

和天體的半徑

R體的質量

。

m

m

r

得M

r

Mm

r

又M

得

r

【例題】宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經過時間

，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為

L。若拋出時初速度增大到

倍，則拋出點與落地點之間的距離為

L。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為

。求該星球的質量

。【例題】某行星的衛星，在靠近行星的軌道上運動，若要計算行星的密度，唯一要測量出的物理是（）A：行星的半徑B：衛星的半徑C：衛星運行的線速度：衛星運行的周期類型題：

雙星問題宇宙中往往會有相距較近，質量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球對它們的這種結構叫做雙星。⑴

由于雙星和該固定點總保持三點共線，所以在相同時間內轉過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運動的角速度必相等，因此周期也必然相同。⑵由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mω

r

可得

，于是有r

，于是有r

m

m

mm

m

m

mL,r

L

m

r

r

m⑶列式時須注意：萬有引力定律表達式中的

表示雙星間的距離，按題意應該是L，而向心力表達式中的

表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為、，千萬不可混淆【例題】兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。現測得兩星中心距離為，其運動周期為，求兩星的總質量。【例題】在光滑桿上穿著兩個小球

m、m，且

m=2m，用細線把兩球連起來，當盤架勻速轉動時，兩小球剛好能與桿保持無相對滑動，如圖所示。此時兩小球到轉軸的距離r與

r之比為（ ） m mA．∶ B．∶

C．∶ ．∶類型題：

人造衛星的一組問題340km

的圓軌道上運行了

108

圈。運行中需要多次進行

保持在預定軌道上穩定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是A．動能、重力勢能和機械能都逐漸減小B．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變C．重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變D．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小

如圖所示，某次發射同步衛星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在

P

點點火加速，進入橢圓形轉移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的

P

，遠地點為同步軌道上的

Qv

P

點短時間加速后的速率為

v，沿轉移軌道剛到達遠地點

Q

時的速率為

v，在

Q

點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v。試比較

v、v、v的大小，并用小于號將它們排列起來______。

類型題：

衛星的追及問題）A

行星的周期為T，）B

行星的周期為T，在某一時刻兩行星第一次相遇（即兩行星距離最近，則（ ）。T2

T1

，兩行星將第二次相遇T2

T1

，兩行星將第二次相遇B．經過時間t T1T2Ｃ．經過時間t

1

T1T2

，兩行星第一次相距最遠2

T2

T1D．經過時間

t

1

T1T22

T2

T1

兩行星第一次相距最遠

的軌道半徑為

r，B

的軌道半徑為

r，已知恒星質量為m

，恒星對行星的引力遠大于得星間的引力，兩行星的軌道半徑r＜r。若在某一時刻兩行星相距最近，試求：再經過多少時間兩行星距離又最近？類型題：

數學知識的運用物理是以數學為基礎的。合理運用數學知識，可以使問題簡化。甚至在有的問題中，數學知識起關鍵作用。割補法的運用

M

m

的質點，M

對

m

的萬有引力的大小為

F。現從

M

中挖出一半徑為

r

的球體，如圖，OO′=R/2。求

中剩下的部分對

m

的萬有引力的大小。o

o

m答案

★解析：設拋出點的高度為，

L

L

可得設該星球上的重力加速度為g，由平拋運動的規律得：

可得

g由萬有引力定律與牛頓第二定律得：mg

Mm

聯立以上各式解得M

。

M和

M

點作周期為

和星球

到

的距離分別為

l和

l。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得M：

l

l＝M（

）

l ，∴M＝

l＝M（

）

l∴M＝

M

M