定積分的背景第一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日背景來源——面積的計算矩形的面積定義為兩直角邊長度的乘積一般圖形的面積怎么計算？

我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠不可能恰好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時可旋轉）“典型圖形”面積的計算問題就產生了定積分第二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日abxyo實例1（求曲邊梯形的面積）一、問題的提出第三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）第四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日解決步驟:1)

分割.在區間[a,b]中任意插入n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形;2)

近似.在第i個曲邊梯形上任取一點作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應小曲邊梯形面積得第五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日3)求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積第六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日│││││││││││定積分的演示1、分割

將[a，b]分割為n個小區間2、取介點

在每個小區間上任取一點ξi3、局部以直代曲

每個小區間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(ξi)代替4、作和：S?=yx第七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日定積分的演示1、分割

將[a，b]分割為n個小區間2、取介點

在每個小區間上任取一點ξi3、局部以直代曲

每個小區間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(ξi)代替4、作和：S?=5、取極限

abyx第八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日3)求和.4)取極限.上述兩個問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”所求量極限結構式相同:特殊乘積和式的極限機動目錄上頁下頁返回結束第九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日5.1.2定積分概念任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱此極限I為函數在區間上的定積分,即此時稱f(x)在[a,b]上可積.記作機動目錄上頁下頁返回結束第十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日積分上限積分下限被積函數被積表達式積分變量積分和定積分僅與被積函數及積分區間有關,而與積分變量用什么字母表示無關,即機動目錄上頁下頁返回結束第十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值機動目錄上頁下頁返回結束第十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日定理1.可積的充分條件:例1.

利用定義計算定積分解:將[0,1]n等分,分點為取機動目錄上頁下頁返回結束第十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日注目錄上頁下頁返回結束第十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日[注]

利用得兩端分別相加,得即第十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例2.

用定積分表示下列極限:解:機動目錄上頁下頁返回結束第十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日說明:機動目錄上頁下頁返回結束根據定積分定義可得如下近似計算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)第十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機動目錄上頁下頁返回結束公式,復化求積公式等,并有現成的數學軟件可供調用.第十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日性質1常數因子可提到積分號外性質2函數代數和的積分等于它們積分的代數和。5.2定積分的簡單性質第十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日性質3若在區間[a,b]上f(x)≡K，則性質4定積分的區間可加性若c是[a,b]內的任一點，則第二十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日當a,

b,c

的相對位置任意時,例如則有機動目錄上頁下頁返回結束第二十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日性質5如果在區間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則性質6設在區間[a,b]上（a<b），函數f(x)的最大值和最小值分別是M和m，則第二十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日性質7積分中值定理定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則在[a,b]上至少存在一點使或可寫作稱為函數f(x)在[a,b]上的平均值第二十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第二十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例1.

試證:證:設則在上,有即故即機動目錄上頁下頁返回結束第二十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例2.

計算從0秒到T秒這段時間內自由落體的平均速度.解:已知自由落體速度為故所求平均速度機動目錄上頁下頁返回結束第二十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日內容小結1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質3.積分中值定理機動目錄上頁下頁返回結束連續函數在區間上的平均值公式第二十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日一、引例在變速直線運動中,已知位置函數與速度函數之間有關系:物體在時間間隔內經過的路程為這種積分與原函數的關系在一定條件下具有普遍性.5.3定積分的計算第二十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日則積分上限函數證:則有機動目錄上頁下頁返回結束定理1.若5.3.1牛頓–萊布尼茲公式第二十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日說明:1)定理1證明了連續函數的原函數是存在的.2)變限積分求導:同時為通過原函數計算定積分開辟了道路.機動目錄上頁下頁返回結束第三十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例1.

求解:原式說明目錄上頁下頁返回結束例2.確定常數a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得第三十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例3.

證明在內為單調遞增函數.證:只要證機動目錄上頁下頁返回結束第三十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日(牛頓-萊布尼茲公式)

機動目錄上頁下頁返回結束證:根據定理1,故因此得記作定理2.函數,則第三十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例1.

計算解:例2.計算正弦曲線的面積.解:機動目錄上頁下頁返回結束第三十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例3.

汽車以每小時36

km的速度行駛,速停車,解:設開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當汽車停住時,即得故在這段時間內汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設汽車以等加速度機動目錄上頁下頁返回結束車到停車走了多少距離?第三十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日內容小結則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導公式公式目錄上頁下頁返回結束第三十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日備用題1.設求第三十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日二、定積分的分部積分法不定積分機動目錄上頁下頁返回結束一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法5.3.2定積分的換元法和分部積分法第五章第三十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日定理2（定積分的換元公式）設函數f(x)在區間[a,b]上連續；函數在上單值且有連續導數；當時，有，且則第三十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例1.

計算解:令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束且第四十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例2.

計算解:令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束且第四十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零機動目錄上頁下頁返回結束第四十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日定理3（定積分的分部積分公式）設函數u(x),v(x)在[a,b]上有連續導數，則第四十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例4.

計算解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束第四十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日1.

設求解:(分部積分)機動目錄上頁下頁返回結束第四十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日解：2.右端試證分部積分積分再次分部積分=左端機動目錄上頁下頁返回結束第四十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

解

f(x)在區間[-1,2]上不連續。利用定積分性質4，把在區間[-1,2]上的積分分成兩個區間[-1,0]和[0,2]上的積分。

3計算其中注意在積分中，相當于定義f(0)=1，而題中f(0)=0，這并不會改變定積分的值。實際上可以證明，改變被積函數在有限個點上的值都不會改變定積分的值。第四十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

解方程x2－2x－3=0有兩個實根－1和3，根據一元二次不等式的判別，函數x2－2x－3=0在[-2,3]上分為兩部分，在[-2,-1]取正值，在[-1,3]上取負值，所以

4計算于是第四十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日5設求解第四十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日解我們有根據定積分的分部積分法，可得6已知f(π)＝2，求f(0).第五十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日根據已知條件，得2＋f(0)＝5所以所以f(0)＝3第五十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日用定積分概念解決實際問題的四個步驟：

5.3定積分的應用第五十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日定積分應用的微元法：

第五十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日微元法中微元的兩點說明：

第五十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日直角坐標情形一、平面圖形的面積A用微元法建立曲邊梯形面積A的計算公式：第五十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日仿此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖1）（圖2）第五十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）第五十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日另解選為積分變量第五十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:由得交點5.4.1平面圖形的面積1直角坐標系中平面圖形的面積第五十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例2.

計算拋物線與直線的面積.解:由得交點所圍圖形為簡便計算,選取y作積分變量,則有機動目錄上頁下頁返回結束第六十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日解先求兩曲線的交點。第六十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數方程應用定積分換元法得當a=b時得圓面積公式機動目錄上頁下頁返回結束第六十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標方程的情形第六十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日解由對稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。第六十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日對應

從0變例4.計算阿基米德螺線解:機動目錄上頁下頁返回結束到2所圍圖形面積.第六十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例5.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線目錄上頁下頁返回結束第六十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日心形線(外擺線的一種)即

尖點:

面積:

弧長:參數的幾何意義第六十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例6.

計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積機動目錄上頁下頁返回結束第六十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例6.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機動目錄上頁下頁返回結束答案:第六十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

旋轉體——由一個平面圖形繞同平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這條直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉體的體積第七十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日5.4.2旋轉體的體積第七十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第七十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日xyo旋轉體的體積公式第七十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第七十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日解第七十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日另解第七十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例7.

計算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉而轉而成的橢球體的體積.解:

利用直角坐標方程則(利用對稱性)機動目錄上頁下頁返回結束第七十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日5.4.3變力作功

第七十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第七十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第八十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第八十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日二、無界函數的廣義積分常義積分積分限有限被積函數有界推廣一、無窮限的廣義積分機動目錄上頁下頁返回結束廣義積分5.6廣義積分和Γ函數第五章第八十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日5.6.1廣義積分引例.曲線和直線及x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為1連續函數在無限區間上的積分第八十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日定義1.

設若存在,則稱此極限為f(x)在區間的廣義積分,記作這時稱廣義積分收斂;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發散.類似地,若則定義機動目錄上頁下頁返回結束第八十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日則定義(c為任意取定的常數)只要有一個極限不存在,就稱發散.并非不定型,說明:上述定義中若出現機動目錄上頁下頁返回結束它表明該廣義積分發散.第八十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日引入記號則有類似牛–萊公式的計算表達式:機動目錄上頁下頁返回結束第八十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例1.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結束思考:分析:原積分發散!注意:對廣義積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質,否則會出現錯誤.第八十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例2.

證明第一類p

積分證:當p=1時有當p≠1時有當p>1時收斂;p≤1時發散.因此,當p>1時,反常積分收斂,其值為當p≤1時,反常積分發散.機動目錄上頁下頁返回結束第八十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例2.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結束第八十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日2、暇積分——無界函數的積分引例:曲線所圍成的與x軸,y軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結束第九十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日定義2.

設而在點a的右鄰域內無界,存在,這時稱暇積分收斂;如果上述極限不存在,就稱暇積分發散.類似地,若而在b的左鄰域內無界,若極限數f(x)在（a,b]上的暇積分,記作則定義機動目錄上頁下頁返回結束則稱此極限為函第九十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日而在點c的無界點常稱鄰域內無界,為瑕點.機動目錄上頁下頁返回結束則定義第九十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日下述解法是否正確:,∴積分收斂例3.

計算暇積分解:顯然瑕點為

a,所以原式機動目錄上頁下頁返回結束例4.

討論暇積分的收斂性.解:所以暇積分發散.第九十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日備用題

試證,并求其值.解:令機動目錄上頁下頁返回結束第九十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結束第九十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日、函數1.定義第九十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日2.性質(1)遞推公式機動目錄上頁下頁返回結束證:(分部積分)注意到:第九十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日(2)機動目錄上頁下頁返回結束第九十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日習題課一、與定積分概念有關的問題的解法機動目錄上頁下頁返回結束二、有關定積分計算和證明的方法定積分及其相關問題第五章第九十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日一、與定積分概念有關的問題的解法1.用定積分概念與性質求極限2.用定積分性質估值3.與變限積分有關的問題機動