前言1.機械振動在空間的傳播過程叫做機械波。2.常見的波有兩大類:在微觀領域中還有物質波（概率波），討論微觀粒子的波動性。3.各種波的本質不同,但其基本傳播規律有許多相同之處。(1)機械波(機械振動的傳播)(2)電磁波（交變電場、磁場的傳播）第15章機械波1按波面形狀平面波（planewave）球面波（sphericalwave）柱面波（cylindricalwave）按復雜程度簡諧波（simpleharmonicwave）復波（compoundwave）按持續時間連續波（continuedwave）脈沖波（pulsatingwave）4.波的分類：2按波形是否傳播行波（travellingwave）駐波（standingwave）…………3波動一定的擾動的傳播（一定運動形態的傳播過程）行波POyxxu擾動的傳播（行走）行波一次擾動（脈沖）的傳播脈沖波例：抖動繩子O點:P點:脈沖波波函數415.1彈性體彈性形變彈性體——若物體在外力的作用下發生形變，而外力撤消后又能恢復原來的大小和形狀，則這種變形體就稱為彈性體。15.1.1拉伸與壓縮ΔS圖15-1應力與應變ΔFtΔFΔFN正應力：切應力：5相對形變：（也稱線應變），ε正負號分別對應于拉伸形變和壓縮形變。胡克定律：實驗表明在線形變限度內，正應力和線應變成正比，比例系數稱為楊氏模量。其中分別對應均勻彈性桿的原長和變形后長度。615.1.2剪切應變與切變模量切應變γ15.1.3體應變與體積模量體積應變β微小形變時，此時，剪切形變可直接用β來表示。記作θ其中，比例系數實驗表明：在線形變限度內，切應力與切應變成正比：71、機械波產生的條件1）波源2）彈性介質或者彈性媒質2、橫波：縱波：共性：波動性15.2機械波的產生和傳播89常用的概念：周期：波速：相速：波面：空間同相位點的集合波前球面波：平面波：波線：波的傳播方向各向同性介質，波線與波面垂直(時間)頻率：波長：空間頻率：3.波的描述波數：1015.3一維平面簡諧波的波函數-----波函數設一維平面簡諧波以相速u沿x軸正向傳播,t時刻波形如圖O點的振動位移為P點的振動位移為(op=x)或u15.3.1表達式11定義角波數定義波矢例：“+”會聚球面波“-”發散球面波沿負方向傳播的波的方程同一振動狀態X處比0處超前t=x/u12波函數的物理意義1、當x一定時,例:x=x0=常數令常數----x0處簡諧振動運動方程反映了振動的時間周期性t每增加T，y不變132、當t=t0=常數令t0時刻的波形

------t0時刻各點振動周相不同x每增加λ，y不變反映了波的空間周期性14當0=01）t0=03）2）------t=0時各質點的位移t0=T波形恢復原樣而在一個T內波形向右移動了T這個物理量從時間上反映了波的周期性153、x,t都變表示波射線上不同質點在不同時刻的位移

----行波波函數不僅表示波射線上給定點的振動情況，某時刻波形，初位相及比原點落后的相位，還反映了振動狀態的傳播，波形的傳播，能量的傳播。由看出t或x每增加T或λ,相位重復出現，反映了時間和空間的周期性。16例：已知：圖示為波源（x=0處）振動曲線且波速u=4m/s,方向沿x軸正向.求：t=3s時波形曲線（大致畫出）解：4812y(cm)x(m)0.50-0.5u=4m/sy(cm)t(s)0.50-0.5123417例：沿x軸正向傳播的平面簡諧波，振幅為A=1.0m，周期T=2.0s，波長=2.0m。t=0時刻，坐標原點處的質點恰好從平衡位置向y軸正向運動，求:(1)

波函數；(2)

t=1.0s時刻的波形圖；

(3)

x=0.5m處質點的振動曲線；解：(1)波函數(3)(2)x/my/mot=1.0sy/mot/s

x=0.5m18例：沿x軸正向傳播的平面簡諧波，波速u=20m/s，已知A點的振動方程為，(1)以A為坐標原點，寫出波方程；(2)以B為原點寫出波方程；(3)寫出C、D點的振動方程解：(1)(2)B點與A點振動的相位差(3)原點振動方程波函數與坐標原點的選擇無關19例2正向波在t=0時的波形圖波速u=1200m/sA/2AA0yΦ0=π/3φM=-π/2t=0x=0t=0M處求：波函數和波長解：由圖如何確定ωφ0?由初始條件：y0=A/2v0<0x(m)-0.10y(cm)0100.05t=0時uMΦ0=π/3如何確定ω?由M點狀態yM=0vM>0ΦM=-π/220例.一平面簡諧波沿著x軸正向傳播，速度為u，已知t’時刻的波形曲線如圖所示，x1處質元位移為0。試求：（1）原點O處質元的振動方程；（2）該簡諧波的波函數。xyOx1-Au解：（1）由圖可知t’時刻原點處質元振動的相位為-π/2，則有：則振動的初相為：所以振動方程可以寫出：21（2）在x軸上任意選取一點P，坐標為x，如圖所示。P點振動相位落后于原點O，其相位差為：根據原點處質元的振動方程，可以得到P點的振動方程，即波函數為：OPxx注：22(a)例平面簡諧波以波速u=0.5m/s沿著x軸負方向傳播。在t=2s時的波形如圖（a）所示。求原點處質點的振動方程。分析：由圖可得到的信息有振幅，波長，從而可以確定振動方程三要素中的兩個。確定t=0時刻原點的振動初相位是關鍵。解：由圖可知：振幅：波長：23所以，可以得到角頻率ω：圖（a）是t=2s時的波形曲線，波沿著x軸負向傳播，所以可以采用波形移動法推知t=0s時的曲線，如圖（b）。(b)Δx=ut由圖可知，t=0時刻，原點處的質點正位于平衡位置，而且向y軸負向運動，所以，由旋轉矢量法可知：24所以原點處質點的振動方程為：例一平面簡諧波其波長為12m，沿x軸負向傳播，如圖所示的是x=1.0m處質點的振動曲線。求此波的波函數。分析：如何根據圖中的信息寫出x=1.0m處質點的振動方程是關鍵。如何確定三要素。解：由圖可知：質點的振動振幅（1）A=0.4m。25（2）t=0時刻位于x=1.0m處的質點位移為A/2，并且向oy軸正向運動，由旋轉矢量法，可知：（3）由圖還可知，t=5.0s時，質點第一次回到平衡位置。t=0st=5sωt所以，可以得到：26由此可以寫出x=1.0m處的質點的振動方程為：波長已知，由此可以得到波速為：波函數的一般形式為：當x=1.0m時，得到1.0m處質點的振動方程：27當x=1.0m時，得到1.0m處質點的振動方程：與剛求得的x=1.0m處質點的振動方程作比較，可得：所以，此波的波函數為：2815.3.2平面波波動方程求一階偏導數得振動速度函數再求一次偏導數，得波函數對時間的二階偏導數，即振動加速度函數由平面簡諧波波函數波函數對位置x的一階偏導數為：29該式是平面簡諧波（或一維簡諧波）的波動方程，而平面簡諧波（或一維簡諧波）的波函數是該方程的一個特解。而一維簡諧行波函數對x的二階偏導數為比較上兩式得3015.4波動方程與波速取小質元ab=dx

體積為dV=sdx質量為dm=sdx設質元被拉伸形變：受彈性力利用胡克定律有：為應力：

或協強Y為楊氏模量受彈性力(應力與應變成正比）因此可以看出倔強系數31橫波波速縱波波速G為剪切模量三維情況：式中稱為

拉普拉斯算子Y為楊氏模量由波函數對比上式可得32建立弦微小振動的波動微分方程xyxx+dxF1F2對比得3315.5能流密度設在棒中傳播的一維簡諧波的表達式x處點質元的動能:彈性勢能34彈性勢能以繩波為例35能量密度平均能流平均能流密度

---波的強度36球面波波函數的簡單推導：若各處的振動情況不隨時間變化，介質無吸收，則由能量守恒定律，單位時間內通過不同波面的能量應相等。設面積為S1的波面處波的強度為I1，面積為S2的波面處波的強度為I2，則由能量守恒定律，即對于平面波，所以即平面波的振幅37對于球面波，則由能量守恒定律，即所以球面波的振幅與傳播距離成反比，即則球面波波函數為波的吸收3815.6惠更斯原理波的衍射、反射和折射一、惠更斯原理惠更斯原理：（1）用來確定波的傳播方向，能解釋機械波的傳播規律；（2）解釋了光（電磁波）的反射、光的折射和光的衍射等現象。成功地說明了光在單軸晶體中的雙折射現象；不足之處：它不能說明和確定衍射強度分布問題，后來由菲涅耳（A.J.Fresnel，1788-1827）加以補充完善而成為惠更斯-菲涅耳原理。39用惠更斯原理確定新的波陣面40波的反射波的折射41一、波的干涉相干波頻率相同振動方向相同有恒定相位差s1s2pr1r2波源s1和s2振動方程P點振動方程15.7波的干涉駐波波的疊加原理（獨立性原理）42式中相位加強減弱相位差43若初相位相同時，當當A最大A最小——波程差。表示在同一種介質中，兩個波源到相干處的路程之差。4445二、駐波兩列相干波，振幅相同，傳播方向相反（初位相為0）疊加而成駐波振幅駐波方程46

稱為

波節波腹位置1）當稱為

波腹2）當討論：1）相鄰波腹（節）之間距離為/22）一波節兩側質元具有相反相位3）兩相鄰波節間質元具有相同相位4）駐波無能量傳播當當波節位置47三、半波損失全波反射：

波從波疏媒質反射回來，則在反射處，反射波的振動相位與入射波的相位相同半波損失：波從波疏媒質到波密媒質，從波密媒質反射回來，在反射處發生了的相位突變48四、弦振動系統的簡正模49例、等幅反向傳播的兩相干波，在x軸上傳播，波長為8m，A、B兩點相距20m，如圖所示。若正向傳播的波在A處為波峰時，反向傳播的波在B處位相為-π/2。試求A、B之間因干涉而靜止的各點的位置。AB20mOx解、如圖所示，以A點為坐標原點，建立坐標系。設正向傳播的波的波動方程為：則反向傳播的波的波動方程為：另設t=0時，正向傳播的波在A點為波峰，反向傳播的波在B點的位相為-π/2，則有，當t=0，x=0時：50即：所以：當t=0，x=20m時，反向傳播的位相為：所以：于是，正向傳播的波的波動方程為：51反向傳播的波的波動方程為：合成波的方程為：所以靜止點的位置就是合成駐波的波節位置：即：解得：在AB=20m之間，則k的取值為：52例、A和B是兩個相位相同的波源，相距d=0.10m，同時以30Hz的頻率發出波動，波速為0.50m/s，P點位于與AB呈30度角，與A相距為4m處，如圖所示，求兩波通過P點的相位差。ABP30。解：該波的波長為：設A、B兩個波源的相位分別為ΦA(t)，φB(t)。A波在P點的相位落后于A點，相位差為：因而此波在P點的相位為：同理，B波在P的相位為：53因此兩波通過P點，在P點的相位差為：根據題意，兩個波源的相位相同，所以則P點相位差為：其中所以，兩波在P點的相位差為：54例、如圖所示，地面上一波源S，與一高頻率探測器D之間的距離為d，從S直接發出的波與從S發出經高度為H的水平層反射后的波，在D處加強。當水平層逐漸升高h距離時，在D處沒有測到訊號，如果不考慮大氣對波能量吸收，試求波源S發出波的波長λ。解：自S發出的波，經過高度為H的水平層反射后至D，全程設為d1，經高度為（H+h)的水平層至D，全程設為d2。直達波與經過高度為H的水平層反射的波在D處同相。由于在B，C處反射的情況是相同的，所以兩次測量不會由于反射引起不同的效果，所以可以假設在B、C處反射時都有半波損失，根據題意：dhHSDBC直達波與經過高度為（H+h）的水平層反射的波在D處反相，則55由（1）、（2）式可以得到：由圖中幾何關系可以看出：另外：從（3）、（4）解出d1和d2，從而可以得到波長的表達式：5615.8多普勒效應vs：

以趨近于觀察者為正

vR：

以趨近于波源為正假定波源和觀測者相對于介質靜止時，測得頻率為1.波源靜止，觀察者相對介質運動單位時間通過觀測者的完整波形：多普勒效應:57s觀測者2、觀測者靜止,波源相對于介質運動s觀測者583、波源觀測者同時相對介質