人類知識的積累總是遵循著從已知到未知的認識規律。就拿微積分來說吧.微積分的建立是人類頭腦最偉大的創造之一，一部微積分發展史，是人類一步一步頑強地認識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結晶而其中的極限理論則被說成是人類理性思維的典范。利用極限概念，我們逐步獲得了導數，定積分等概念；利用定積分、極限概念又獲得了廣義積分的概念。下面看看無窮級數理論是怎樣產生的。無窮級數第九章第一節無窮級數的概念和性質一.無窮級數的概念定義1由無窮多項構成的一個連加式稱為一個無窮級數,簡稱為級數.記為即其中un稱為級數的通項或一般項.若級數的每一項un都為常數,則稱該級數為常數項級數(或數項級數),若級數的項un=un(x),則稱為函數項級數.

{}考察由于定義2若級數的部分和數列{sn}的極限存在,且等于s,即則稱級數

收斂,s稱為級數的和.并記為,這時也稱該級數收斂于s.若部分和數列的極限不存在,就稱級數發散．等差數列前ｎ項的求和公式等比數列前ｎ項的求和公式考察級數的斂散性．因為例1判定級數的斂散性.解所以收斂.即=3例2考察級數的斂散性.解當n為奇數時，=1,當n為偶數時=0.{}：1,0，1,0，因為發散.同理可知發散．例3求的和.解例4解討論幾何級數(等比級數)注:當時，即為例1中的級數.例5解的斂散性(其中為常數q為公比)．

綜上所述,幾何級數當|q|<1時級數收斂,且收斂于，當|q|≥1時級數發散.此級數發散。例6證明調和級數發散．證引入輔助函數本堂課主要內容1.無窮級數的定義，無窮級數收斂與發散的概念.2.幾何級數當時，收斂于3.調和級數發散.4.級數發散(a為常數).當時，發散.|q|≥1 ——練習————性質1在級數的前面增加或去掉有限項其斂散性不變,但一般會改變收斂級數的和．二、無窮級數的基本性質 性質2級數與有相同的斂散性,且收斂時有收斂性質3若級數與都收斂,則也收斂,且性質4

收斂級數加括號后所成的級數仍收斂,且其和不變.若級數收斂,則

性質5(級數收斂的必要條件)注意(1)若則發散.例1解第二節正項級數及其斂散性判別法若級數的各項un≥0(n=1,2,…),則稱該級數為正項級數．

由于sn=sn-1＋un≥sn-1,所以正項級數的部分和數列{sn}是一個單調增加數列．定理1

正項級數它的部分和數列{sn}有上界.收斂的充要條件是：證必要性:若收斂存在有界有上界.充分性：<1即其部分和數列有界，所以正項級數收斂。解由于例1試判定正項級數的斂散性．定理2(比較判別法)

設有兩個正項級數和如果存在正整數N,當n≥N時,有un≤vn,則有：例2考察解因為

例3證明級數發散.證例4解而發散，所以發散。例5判別級數的斂散性.解例6判別級數解例7判別級數的斂散性.解例8判別級數的斂散性.解例9判定級數的斂散性.解定理3[比值判別法]

若對正項級數有：

判斷下列正項級數的斂散性.(1)

例10解例11判別級數的斂散性.解注當級數的一般項含有n!,等因子時，用比值判別法比較方便.解因為例12判別級數的斂散性.例13討論級數的斂散性.解判斷下列正項級數的斂散性:例14解注當一般項含n！時不宜用根值判別法.例15判別級數的斂散性(a>0).解練習：判斷下列級數的斂散性:發散收斂例16解法一解法二一、交錯級數及其斂散性判別其中un≥0(n=1,2,…).第三節任意項級數及其斂散性判別

定義如果在任意項級數中,正負號相間出現,這樣的任意項級數就叫做交錯級數.它的一般形式為定理1(萊布尼茨判別法)

若

交錯級數滿足則級數收斂,且其和s≤u1.(1)unun+1滿足定理1的條件(1)和(2)的交錯級數稱為萊布尼茨型級數．證根據項數n是奇數或偶數分別考察sn．設n為偶數,于是sn=s2m=u1-u2+u3-…+u2m-1-u2m,將其每兩項括在一起s2m=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2m-1-u2m)．每個括號內的值都是非負的.如果把每個括號看成是一項,這就是一個正項級數的前m項部分和.顯然,它是隨著m的增加而單調增加的．如果把部分和s2m改寫為s2m=u1-（u2-u3)-…-(u2m-2-u2m-1)-u2m,s2m≤u1,即部分和數列有界．

當n為奇數時把部分和寫為sn=s2m+1=s2m+u2m+1,所以,不管n為奇數還是偶數,都有故交錯級數收斂．由于s2m≤u1,而,因此根據極限的保號性可知,有s≤u1．例1解例2判斷級數的斂散性.解練習：判斷級數的斂散性.證因為un≤|un|,所以0≤|un|＋un≤2|un|．已知收斂,由正項級數的比較判別法知,收斂，從而收斂．二、任意項級數及其斂散性判別法例3解例4判斷級數是否收斂，若收斂，判斷是絕對收斂還是條件收斂.解特別值得注意的是，當我們運用達朗貝爾比值判別法或柯西根值判別法來判別正項級數是發散時，可以斷言，也一定發散．這是≠0，從而有≠0．因為此時有例5判定級數的斂散性.解例6討論級數的斂散性.解練習：

判斷下列級數的斂散性:解解解解解例設證均絕對收斂.第四節冪級數一、函數項級數由定義在同一區間內的函數序列構成的無窮級數

就稱為函數項級數．

若令x取定義區間中某一確定值x0,則得到一個數項級數

若上述級數收斂,則稱點x0為函數項級數的一個收斂點.反之,若上述級數發散,則稱點x0為函數項級數的發散點.收斂點的全體構成的集合,稱為函數項級數的收斂域.若x0是收斂域內的一個值,則必有一個和s(x0)與之對應,即當x0在收斂域內變動時,由對應關系,就得到一個定義在收斂域上的函數s(x),使

這個函數s(x)就稱為函數項級數的和函數．將函數項級數

的前n項和記為sn(x),且稱之為部分和函數,即

在函數項級數的收斂域內有若以rn(x)記余項,rn(x)=s(x)-sn(x),則在收斂域內有求級數的收斂域與和函數.此級數為幾何級數(即等比級數),當|x|<1時,級數收斂,|x|≥1時級數發散.故其收斂域為(-1,1).例1解和函數為：二、冪級數及其斂散性定義1具有下列形式的函數項級數

稱為在x=x0處的冪級數或(x-x0)的冪級數,其中a0,a1,…,an,…稱為冪級數的系數．若x0=0,則稱

為x=0處的冪級數或x的冪級數．

定理1［阿貝爾(Abel)定理］(1)若冪級數在點x=x0(x0≠0)處收斂,則對于滿足|x|＜|x0|的一切x,均收斂．(2)若冪級數在點x=x0處發散,則對于滿足|x|＞|x0|的一切x,均發散．

可見

1.若x0是的收斂點,則該冪級數在(-|x0|,|x0|)內收斂;若x0是的發散點,則該冪級數在(-∞,-|x0|)∪(|x0|,+∞)內發散.

2.對冪級數而言,存在關于原點對稱的兩個點x=±r,r＞0,它們將冪級數的收斂點與發散點分隔開來,在(-r,r)內的點都是收斂點,而在[-r,r]以外的點均為發散點,在分界點x=±r處,冪級數可能收斂,也可能發散,稱具有這種性質的正數r為冪級數的收斂半徑.4.當冪級數僅在x=0處收斂時,規定其收斂半徑為r=0;當在整個數軸上都收斂時,規定其收斂半徑為r=+∞,此時的收斂區間為(-∞,+∞)．

3.由冪級數在x=±r處的收斂性就可以確定它在區間(-r,r),[-r,r),(-r,r],[-r,r]之一上收斂,該區間為冪級數的收斂區間.

定理2設有冪級數,如果

則(1)當0＜

＜＋∞時,的收斂半徑r=；(2)當=0時,r=+∞;(3)當

=+∞時,r=0．證視為含參數x的數項級數.則例1求冪級數的收斂半徑及收斂區間.解收斂半徑所以，原級數的收斂區間為（-1,1]當時，原級數化為,又因為例2.求冪級數的收斂域.解因為所以從而收斂域為例3解缺少偶次冪的項.例4解原級數的收斂區間為已知冪級數求冪級數的收斂域。思考例5由-1<t<1,及t=lnx知-1<lnx<1,即lne-1<lnx<lne例6定理3設r是冪級數的收斂半徑,若的系數滿足

則(1)當0＜＜+∞時,r=;(2)當

=0時,r=+∞；(3)當

=+∞時,r=0．例7解三、冪級數的運算性質則(1)1.四則運算性質設的收斂半徑為，和函數為；的收斂半徑為，和函數為.解釋：(4)逐項求導數若冪級數的收斂半徑為r,則在(-r,r)內和函數s(x)可導,且有2.分析運算性質可見冪級數在其收斂開區間內可以逐項求導(5)逐項積分若冪級數的收斂半徑為r,則和函數在(-r,r)上可積,且有可見冪級數在其收斂開區間內可以逐項積分.兩邊積分得例1解例2求級數的收斂域與和函數.解收斂區間為(-1,1),例3解思考求冪級數的和函數我們已經知道，給定一個冪級數，則在它的收斂域范圍內存在一個函數，使得這就是下節要研究的目標.第五節函數的冪級數展開泰勒(Taylor)公式如果函數f(x)在x=x0的某一鄰域內,有直到n+1階的導數,則在這個鄰域內有如下公式：

稱上式為泰勒公式.其中rn(x)稱為余項.如果令x0=0,就得到

稱上式為馬克勞林公式.顯然，若在點的某鄰域內具有任意階導數，則相應地有稱上式為泰勒級數.如果令x0=0,就得到

稱上式為馬克勞林級數.現在的問題是是否成立.是否成立.定理如果函數f(x)在點