第四章質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)§4.1質(zhì)點(diǎn)組§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律§4.3動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒律§4.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律§4.5兩體問(wèn)題本章主要學(xué)習(xí)內(nèi)容

前一章研究了單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，本章進(jìn)一步研究一群質(zhì)點(diǎn)的集合體。把有多個(gè)相互聯(lián)系著的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)叫做質(zhì)點(diǎn)組。質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)的研究方法如果按質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法列寫每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程式，則方程數(shù)太多出現(xiàn)未知的內(nèi)力減少描述質(zhì)系運(yùn)動(dòng)的未知量數(shù)目

不研究每個(gè)質(zhì)點(diǎn)，而將質(zhì)系作為一個(gè)整體，研究表征質(zhì)系動(dòng)力學(xué)的物理量（動(dòng)量、動(dòng)能等）的變化§4.1質(zhì)點(diǎn)組一、質(zhì)點(diǎn)組的內(nèi)力和外力1、內(nèi)力（internalforce）質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力（滿足牛頓第三定律）。j對(duì)i的作用力內(nèi)力的性質(zhì)1：所有內(nèi)力的矢量和等于零。內(nèi)力的性質(zhì)2：所有內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的矩（或?qū)θ我惠S的矩）的矢量和等于零。內(nèi)力§4.1質(zhì)點(diǎn)組2、外力（externalforce）質(zhì)點(diǎn)組以外的物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的作用力。§4.1質(zhì)點(diǎn)組在力學(xué)中，如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)組不受任何外力作用，則叫做孤立系或閉合系。3、孤立系（閉合系）§4.1質(zhì)點(diǎn)組二、質(zhì)心（centerofmass）1、引入質(zhì)心的目的（簡(jiǎn)化問(wèn)題的處理）2、質(zhì)心位置矢量的定義：質(zhì)心的位矢是質(zhì)點(diǎn)組中各質(zhì)點(diǎn)的位置以其質(zhì)量為權(quán)重的平均矢量。它可以代表質(zhì)點(diǎn)組的整體位置。§4.1質(zhì)點(diǎn)組3、質(zhì)心滿足疊加原理：質(zhì)心位矢的分量形式為：§4.1質(zhì)點(diǎn)組4、對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，上述公式中的求和號(hào)應(yīng)改為積分：(線，面，體)§4.1質(zhì)點(diǎn)組3、質(zhì)心的位矢與所選參考系有關(guān)。注意：2、質(zhì)心與重心不一樣。只有當(dāng)物體的線度遠(yuǎn)小于地球的線度且各點(diǎn)重力加速度相同二者才重合。1、對(duì)質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體來(lái)講，質(zhì)心和幾何中心重合。例題如圖所示，自半徑為a的球上，用一與球心相距為b的平面，切出一球形帽，求球帽的質(zhì)心。az§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律一、質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理將n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程加起來(lái)應(yīng)用牛頓第二定律，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為外力矢量和內(nèi)力矢量和根據(jù)牛頓第三定律已知合內(nèi)力為0，于是對(duì)此式左邊可進(jìn)一步改寫為質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律其中故：質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理或諸外力作用在質(zhì)點(diǎn)組上的元沖量此形式與單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理相似。§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律分量形式：§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量=質(zhì)心動(dòng)量）

二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理物理意義質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，猶如這樣一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)量，作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力等于作用在質(zhì)點(diǎn)組上所有外力的矢量和。（質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)第一基本定理）§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律三、動(dòng)量守恒律質(zhì)點(diǎn)組不受外力或合外力為0時(shí)，由動(dòng)量定理可得:故而因此質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒律（質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)）§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律或即動(dòng)量守恒律還適于各外力在某一軸上投影之和為零的情形。§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律注意：1、動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。定律中的速度應(yīng)是對(duì)同一慣性系的速度，動(dòng)量和應(yīng)是同一時(shí)刻的動(dòng)量之和。2、系統(tǒng)動(dòng)量守恒，但每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可能變化。3、在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時(shí)間極短的過(guò)程中，往往可忽略外力（外力與內(nèi)力相比小很多）——近似守恒條件。4、動(dòng)量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向?yàn)榱恪＃糠质睾銞l件5、動(dòng)量守恒定律在微觀高速范圍仍適用。是比牛頓定律更普遍的最基本的定律

例一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m，炮身和炮車質(zhì)量和等于M，炮車可以自由地在鐵軌上反沖。如炮身與地面成一角度α，炮彈相對(duì)炮身的速度為V，試求炮彈離開炮身時(shí)對(duì)地面的速度v及炮車反沖的速度U。解：本題沿水平方向（設(shè)為x方向）無(wú)外力作用，因?yàn)榛鹚幈κ莾?nèi)力，故沿x方向動(dòng)量守恒，即UVαxy（1）（用絕對(duì)速度，不能用相對(duì)速度）§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律又由相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，知：（2）UVαxy由（1）及（2）得：§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律§4.2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律§4.3動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律

(1)對(duì)固定點(diǎn)o的動(dòng)量矩設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)組，對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)而言有：則對(duì)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程相加并從左面矢乘又質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩定律為：或其分量式為：（2）動(dòng)量矩守恒定律如果所有作用在質(zhì)點(diǎn)組上的外力對(duì)某一點(diǎn)O的合力矩為零，則：如果所有作用在質(zhì)點(diǎn)組上的外力對(duì)某一點(diǎn)O的合力矩雖然不為零，但對(duì)通過(guò)原點(diǎn)O的某一坐標(biāo)軸的力矩為零，則：（3）質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上外力的合力作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上內(nèi)力的合力第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的牽連慣性力質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩L’諸外力對(duì)質(zhì)心C的力矩之和質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的微商等于所有外力矩對(duì)質(zhì)心C的力矩之和，此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的慣性力矩相互抵消為零！討論：1）質(zhì)心雖然是動(dòng)點(diǎn)，但對(duì)質(zhì)心可以和固定點(diǎn)一樣寫出其動(dòng)量矩定理2）若外力對(duì)質(zhì)心的力矩的矢量和為零，則對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩必然守恒隨堂小議（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對(duì)。兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略小議鏈接1（同高爬）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對(duì)。小議分析Om12mv12vR同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系m12m,若m12m系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動(dòng)量系統(tǒng)的末態(tài)角動(dòng)量m1v1R2m2vR0得2vv1不論體力強(qiáng)弱，兩人等速上升。若m12m系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動(dòng)量不守恒。可應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理進(jìn)行具體分析討論。力矩為例：在具有水平軸的滑輪上懸有一根繩子，繩子的兩端距通過(guò)該軸水平面的距離為r。兩個(gè)質(zhì)量分別為m和m’的人抓著繩子的兩端，他們同時(shí)開始以勻加速度向上爬并同時(shí)到達(dá)滑輪軸所在的水平面。假設(shè)滑輪的質(zhì)量可忽略，且所有的阻力也都忽略不計(jì)，問(wèn)需多久時(shí)間，兩人可以同時(shí)到達(dá)？解：令滑輪的半徑為r，A爬繩的速度為v，B的速度為，則他們對(duì)通過(guò)滑輪中心的水平軸的動(dòng)量矩為由動(dòng)量矩定理，得或若t為共同到達(dá)時(shí)間，則解得§4.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律一、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理（微分形式）應(yīng)用到質(zhì)點(diǎn)組中的任一質(zhì)點(diǎn)上對(duì)i求和，得質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理§4.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律（質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)第三基本定理）在動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理中，內(nèi)力的影響均被抵消；但在動(dòng)能定理中，除非在特殊情況下（如剛體），內(nèi)力的影響通常不能被抵消。注意注意：內(nèi)力的功一般不為零。12對(duì)質(zhì)點(diǎn)組而言，內(nèi)力作功之和一般并不等于0，故若只有外力是保守力而內(nèi)力并不是保守力時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)組的機(jī)械能不守恒。其中E為總能量，T為質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能，V為質(zhì)點(diǎn)組勢(shì)能（它包括內(nèi)力的勢(shì)能和外力的勢(shì)能）。二、機(jī)械能守恒律只有作用在質(zhì)點(diǎn)組上的所有外力及內(nèi)力都是保守力（或其中只有保守力做功）時(shí)，機(jī)械能才守恒：§4.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律將質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)分解成質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和質(zhì)心相對(duì)絕對(duì)原點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)，可得其中m為質(zhì)點(diǎn)組總質(zhì)量。三、柯尼希定理§4.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律質(zhì)心的動(dòng)能各質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能例題.一半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，直立在水平面上向前滾動(dòng)而不滑動(dòng)，若圓心的速度為，求圓盤的動(dòng)能解：由柯尼希定理圓盤相對(duì)于其質(zhì)心軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)cP圓盤作純滾動(dòng)的條件：四、對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能定理§4.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律由用相對(duì)于質(zhì)心系的位移點(diǎn)乘兩邊，并對(duì)i求和而因此，可得即：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心動(dòng)能的微分，等于質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心系位移時(shí)內(nèi)力及外力所作元功之和。與相對(duì)于慣性系的質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理形式相同！此時(shí)，質(zhì)心雖然是動(dòng)點(diǎn)，但慣性力做功之和為零！與動(dòng)量矩定理相似！§4.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律例

質(zhì)量為m1及m2的兩自由質(zhì)點(diǎn)互相以力吸引，引力與其質(zhì)量成正比，與距離平方成反比，比例常數(shù)為k。開始時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)皆處于靜止?fàn)顟B(tài)，其間距離為a。試求兩質(zhì)點(diǎn)的距離為a/2時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的速度。解無(wú)外力，動(dòng)量守恒萬(wàn)有引力為保守力，機(jī)械能守恒解得用動(dòng)能定理積分能得同樣結(jié)果小結(jié)質(zhì)點(diǎn)組的三個(gè)動(dòng)力學(xué)基本定理（靜系）動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理或或質(zhì)點(diǎn)組的三個(gè)動(dòng)力學(xué)基本定理（C系）動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理或質(zhì)點(diǎn)組的三個(gè)守恒律動(dòng)量動(dòng)量矩機(jī)械能作用在質(zhì)點(diǎn)組上的所有外力及內(nèi)力都是保守力§4.5兩體問(wèn)題一、（P,S）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)對(duì)太陽(yáng):對(duì)行星：①+②式，得而質(zhì)心：因此，§4.5兩體問(wèn)題討論①質(zhì)心不受力，作慣性運(yùn)動(dòng)。(萬(wàn)有引力是內(nèi)力，質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量、能量守恒）②太陽(yáng)、行星繞質(zhì)心作圓錐曲線運(yùn)動(dòng)。證明：令行星對(duì)C的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：§4.5兩體問(wèn)題同理，太陽(yáng)對(duì)C的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：力與距離平方成反比，故太陽(yáng)、行星均繞（P,S）系統(tǒng)的質(zhì)心作圓錐曲線運(yùn)動(dòng)。§4.5兩體問(wèn)題③地球?qū)μ?yáng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（2）－（1）式，得定義：折合質(zhì)量則§4.5兩體問(wèn)題（可看作一個(gè)質(zhì)量為μ的物體受太陽(yáng)（不動(dòng)）引力情況）§4.5兩體問(wèn)題④兩體問(wèn)題：不考慮行星間的相互吸引。多體問(wèn)題：天體力學(xué)、量子力學(xué)中經(jīng)常用到，用微擾法（攝動(dòng)法）求解。小結(jié)一.基本要求1.概念質(zhì)點(diǎn)組；質(zhì)心；內(nèi)力、外力及其性質(zhì)；2.掌握質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理，動(dòng)量矩定理，動(dòng)能定理。(慣性系，質(zhì)心系)3.運(yùn)用三個(gè)基本定理及守恒律和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。4.兩體問(wèn)題。一、