第一節線性空間的定義與性質揚州大學數學科學學院線性代數線性空間是線性代數最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作向量空間，進而通過研究向量空間來解決實際問題．一、線性空間的定義

若對于任一數與任一元素，總有唯一的一個元素與之對應，稱為與的積，記作定義１設是一個非空集合，為實數域．如果對于任意兩個元素，總有唯一的一個元素與之對應，稱為與的和，記作如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規律，那么就稱為數域上的向量空間（或線性空間）．

2．向量空間中的向量不一定是有序數組．

3．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質的任一條，則此集合就不能構成線性空間．說明

1．凡滿足以上八條規律的加法及乘數運算，稱為線性運算．（１）一個集合，如果定義的加法和乘數運算是通常的實數間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性．例１

實數域上的全體矩陣，對矩陣的加法和數乘運算構成實數域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法通常的多項式加法、數乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規律．例４

正弦函數的集合對于通常的函數加法及數乘函數的乘法構成線性空間．是一個線性空間.例５

在區間上全體實連續函數，對函數的加法與數和函數的數量乘法，構成實數域上的線性空間．一般地例６

正實數的全體，記作，在其中定義加法及乘數運算為驗證對上述加法與乘數運算構成線性空間．（２）一個集合，如果定義的加法和乘數運算不是通常的實數間的加乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規律．證明所以對定義的加法與乘數運算封閉．下面一一驗證八條線性運算規律：所以對所定義的運算構成線性空間．不構成線性空間．對于通常的有序數組的加法及如下定義的乘法例７

個有序實數組成的數組的全體1．零元素是唯一的．證明

假設是線性空間V中的兩個零元素，由于所以則對任何，有二、線性空間的性質2．負元素是唯一的．證明假設有兩個負元素與，那么則有向量的負元素記為證明4．如果，則或

.證明假設那么又同理可證：若則有三、線性空間的子空間定義2設是一個線性空間，是的一個非空子集，如果對于中所定義的加法和乘數兩種運算也構成一個線性空間，則稱為的子空間．定理線性空間的非空子集構成子空間的充分必要條件是：對于中的線性運算封閉．解(1)不構成子空間.因為對例8有即對矩陣加法不封閉，不構成子空間.對任意有于是滿足且線性空間的元素統稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數等.線性空間是一個集合對所定義的加法及數乘運算封閉所定義的加法及數乘符合線性運算四、小結線性空間是二維、三維幾何空間及維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性.思考題思考題解答第二節維數、基、坐標揚州大學數學科學學院線性代數一、線性空間的基與維數

已知：在中，線性無關的向量組最多由個向量組成，而任意個向量都是線性相關的．

問題：線性空間的一個重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無關的向量？定義１在線性空間中，如果存在個元素滿足：當一個線性空間中存在任意多個線性無關的向量時，就稱是無限維的．定義２二、元素在給定基下的坐標注意線性空間的任一元素在不同的基下所對的坐標一般不同，一個元素在一個基下對應的坐標是唯一的．例２所有二階實矩陣組成的集合，對于矩陣的加法和數量乘法，構成實數域上的一個線性空間．對于中的矩陣三、線性空間的同構定義設是兩個線性空間，如果它們的元素之間有一一對應關系，且這個對應關系保持線性組合的對應，那末就稱線性空間與同構.例如與維數組向量空間同構.

因為形成一一對應關系；則有３．同維數的線性空間必同構．２．同構的線性空間之間具有反身性、對稱性與傳遞性．結論１．數域上任意兩個維線性空間都同構．同構的意義在線性空間的抽象討論中，無論構成線性空間的元素是什么，其中的運算是如何定義的，我們所關心的只是這些運算的代數性質．從這個意義上可以說，同構的線性空間是可以不加區別的，而有限維線性空間唯一本質的特征就是它的維數．１．線性空間的基與維數；２．線性空間的元素在給定基下的坐標；

坐標：（１）把抽象的向量與具體的數組向量聯系起來；３．線性空間的同構．四、小結（２）把抽象的線性運算與數組向量的線性運算聯系起來．生成的子空間的基與維數.思考題思考題解答第三節基變換與坐標變換揚州大學數學科學學院線性代數一、基變換公式與過渡矩陣那么，同一個向量在不同的基下的坐標有什么關系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐標如何改變呢？

問題：在維線性空間中，任意個線性無關的向量都可以作為的一組基．對于不同的基，同一個向量的坐標是不同的．稱此公式為基變換公式．由于基變換公式矩陣稱為由基到基的過渡矩陣．過渡矩陣是可逆的．若兩個基滿足關系式二、坐標變換公式則有坐標變換公式或證明１．基變換公式三、小結２．坐標變換公式或思考題思考題解答第四節線性變換揚州大學數學科學學院線性代數

線性空間中向量之間的聯系，是通過線性空間到線性空間的映射來實現的．１．映射一、線性變換的概念變換的概念是函數概念的推廣．2．從線性空間到的線性變換說明３．從線性空間到其自身的線性變換下面主要討論線性空間中的線性變換．證明設則有例３定義在閉區間上的全體連續函數組成實數域上的一個線性空間，在這個空間中變換是一個線性變換.故命題得證.證明則有設例４線性空間中的恒等變換（或稱單位變換）：是線性變換．所以恒等變換是線性變換．證明設則有所以零變換是線性變換．例５線性空間中的零變換：是線性變換．證明證畢.例６在中定義變換則不是的一個線性變換．二、線性變換的性質證明從而由于由上述證明知它對中的線線性運算封閉，故它是的子空間．證明則則三、小結要證一個變換是線性變換，必須證保持加法和數量乘法，即若證一個變換不是線性變換，只須證不保持加法或數量乘法，并且只須舉出一個反例即可．思考題思考題解答第五節線性變換的矩陣表示式揚州大學數學科學學院線性代數一、線性變換的矩陣表示式二、線性變換在給定基下的矩陣定義１設是線性空間中的線性變換，在中取定一個基，如果這個基在變換下的象為其中上式可表示為那末，就稱為線性變換在基下的矩陣．結論此例表明：同一個線性變換在不同的基下一般有不同的矩陣．

同一個線性變換在不同的基下有不同的矩陣，那么這些矩陣之間有什么關系呢？三、線性變換在不同基下的矩陣上面的例子表明定理１設線性空間中取定兩個基由基到基的過渡矩陣為，中的線性變換在這兩個基下的矩陣依次為和，那末于是證明因為線性無關，所以證畢.定理表明：與相似，且兩個基之間的過渡矩陣就是相似變換矩陣．例４解解

由條件知給定了線性空間的一組基以后，中的線性變換與中的矩陣形成一一對應．因此，在線性代數中，可以用矩陣來研究變換，也可以用變換來研究矩陣．同一變換在不同基下的矩陣是相似的．四、小結思考題思考題解答第六章習題課揚州大學數學科學學院線性代數１線性空間的定義那么，就稱為（實數域上的）向量空間（或線性空間），中的元素不論其本來的性質如何，統稱為（實）向量．簡言之，凡滿足八條規律的加法及乘數運算，就稱為線性運算；凡定義了線性運算的集合，就稱為向量空間．２線性空間的性質３子空間定義設是一個線性空間，是的一個非空子集，如果對于中所定義的加法和乘數兩種運算也構成一個線性空間，則稱為的子空間．定理線性空間的非空子集構成子空間的充分必要條件是：對于中的線性運算封閉．定義４線性空間的維數、基與坐標定義一般地，設與是兩個線性空間，如果在它們的元素之間有一一對應關系，且這個對應關系保持線性組合的對應，那么就說線性空間與

同構．線性空間的結構完全被它的維數所決定．任何維線性空間都與同構，即維數相等的線性空間都同構．５基變換６坐標變換７線性變換的定義變換的概念是函數概念的推廣．８線性變換的性質９線性變換的矩陣表示10線性變換在給定基下的矩陣同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的，反之，相似矩陣也可以看成是同一線性變換在不同基下的矩陣．11線性變換在不同基下的矩陣典型例題一、線性空間的判定二、子空間的判定三、求向量在給定基下的坐標四、由基和過渡矩陣求另一組基五、過渡矩陣的求法六、線性變換的判定七、有關線性變換的證明八、線性變換在給定基下的矩陣九、線性變換在不同基下的矩陣線性空間中兩種運算的８條運算規律缺一不可，要證明一個集合是線性空間必須逐條驗證．若要證明某個集合對于所定義的兩種運算不構成線性空間，只需說明在兩個封閉性和８條運算規律中有一條不滿足即可．一、線性空間的判定解解二、子空間的判定證一三、求向量在給定基下的坐標證二四、由基和過渡矩陣求另一組基解五、過渡矩陣的求法解一

由過渡矩陣的定義有整理得從上面的解法可以看到，由定義出發，利用解方程組，求出線性表達式中的系數，得到過渡矩陣，這種方法計算量太大，因此，當線性表達式不容易得到時，可采用下面的解法．解二

引入一組新的基解六、線性變換的判定七、有關線性變換的證明解解八、線性變換在給定基下的矩陣九、線性變換在不同基下的矩陣解第六章測試題一、填空題(每小題4分，共24分