本文旨在:從實例出發，對非線性耗散系統中的混沌及其控制與同步研究中遇到的有關基本概念與問題作一些哲理性解釋。包括：一、確定性混沌的基本概念二、隨機混沌的約定含義三、對混沌控制與同步的幾點看法混沌是什么？混沌代表一類特定形式的確定性穩態運動,它有別于經典的周期運動和概周期運動，也不涉及其它非穩態運動。混沌是一群樣本運動的集合，由于兩個相鄰樣本軌道之間存在互斥性，故從不同的初始條件出發的穩態軌道都不相同。但又共享一個相空間Poincare截面上的混沌吸引子。各個穩態樣本運動的映射點都不超越、又遍歷該混沌吸引子。這就是混沌運動的遍歷性。

混沌的發現清楚地告訴人們,即使確定的非線性系統在確定的激勵和確定的初始條件下，也可能產生不完全確定的結果。這是一種觀念上的突破。說明確定性系統還含有內在的隨機性。混沌運動對初始條件極為敏感的依賴性、混沌吸引子及其吸引域的分形特征等等，都意味著隨機性。事實上，混沌反映了確定性非線性系統內在的隨機性。IntrinsicStoshasticityin

ForcedDuffingSystem

穩態幅頻曲線大/小A吸引域大/小A吸引域大/小A吸引域大/小A吸引域大A發生概率吸引域邊界混沌運動的主要特性1有界性：相空間的混沌吸引子2集合性、隨機性：從不同的初始條件得到不同的‘表觀無序’樣本、組成集合3遍歷性：每個樣本都遍歷一個共同的吸引子4對初始條件的敏感性：內在隨機性的一個突出表現,導致正的Lyapunov指數5分形性：具有無限層次的‘自相似’結構

6有序性：一種無周期的有序態，短、中期樣本軌道的可預測性,歷史與未來演化中的有序規律，包括通向混沌的道路與激變7普適性：如存在不依賴于具體模型及其參數的一些特征量Feigenbaum常數8依存性：對模型及其外部環境的依賴性，包括相空間格局及其演化9可控性：它和特征6和8有聯系，如相空間格局的可變性、混沌樣本的可跟蹤性低維混沌系統的相空間格局

混沌系統指的是處于混沌運動狀態下的非線性動力系統。相空間格局(overallconstitutioninphasespace)是指:系統參數凍結情形下,各個吸引子及其吸引域、鞍及其穩定與不穩定流形、分形邊界(或隔離帶)等在相平面上的布局。

值得注意,混沌相空間格局中提到的那些鞍型不穩定吸引子等等都是在系統經歷無數次分岔、或混沌激變時遺留下來的,他們在混沌的形成或轉化過程中都起過重要作用，正是這些不穩定因素協同促成了混沌的產生或激變。反過來說，它們又構成對混沌的一種潛在威脅。只要其中任何一種不穩定吸引子在內部參數的攝動或外部激勵或控制的影響下，一旦改變了穩定性，就可能導致相關混沌吸引子的崩潰。FractalChaoticAttractorsSymmetryBreakingBifurcation,

TopLyapunovexponentofDuffingsystem

Theperiodicphasetrajectoryforω=0.935

Theperiodicphasetrajectoriesforω=0.945

FlowpatternofPoincarémappingpointsaroundthesaddleandnodes

ZoomofthatmiddlepartwithreducednumberofinitialconditionsFlowlineswithfewnumberofinitialconditionpoints

Periodicsaddlepointandits

stableandunstablemanifolds

BifurcationandCrisisin

ParametricallyDrivenDuffingSystem

TopLyapunovExponentChaoticAttractors隨機混沌的約定含義

顧名思義，隨機混沌理應兼具隨機性與混沌性，它屬于隨機運動與混沌運動的交集。實質上,隨機混沌是非線性系統的、同時反映了外在隨機性與內在隨機性影響的一種響應。這里只給出它的一個約定性定義。在確定性混沌研究中，通常限于考察系統在簡諧激勵下的響應演變，并著眼于考察系統響應從外觀有序到外觀無序的突變。現約定從探索確定性系統各種外在隨機因素如何影響原系統內在隨機因素的發揮這一角度來考察隨機混沌。這時，確定性因素仍占主導作用，而隨機因素只處于次要地位。也就是說，相對于確定的簡諧激勵，隨機激勵或參數隨機攝動將約定為小量。兩類隨機混沌問題有兩類隨機因素需要重點考慮，即系統物理參數的隨機攝動以及外部激勵的隨機變化。由此構成兩類隨機混沌問題。隨機參數非線性系統在簡諧激勵下的隨機混沌響應問題確定性非線性系統在簡諧和隨機共同激勵下的隨機混沌響應問題ForcedStochasticDuffingSystemTopLE隨機混沌吸引子Triple-wellpotentialDuffingsystemunder

harmonicandboundednoiseexcitationsTopLEStochasticChaosAttractors混沌控制所謂混沌控制,實質上就是要改造其面對的相空間格局;從非混沌的改變為混沌的;或從混沌的改變為非混沌的、或改變到更加混沌的。至于怎樣才能改造成所期望的新格局呢？還得作具體分析，要看老格局有哪些薄弱環節，關于促成新格局又有哪些有利條件。采取的策略和辦法則可以多種多樣。相空間格局是在‘凍結’參數條件下形成的定局。它依賴于各個分岔參數的取值,有時還很敏感。因此,適當調節某個敏感參數就可能激活沉睡的不穩定周期吸引子,從而顛覆相關的混沌吸引子。Ott,Grebogi,與Yorke

提出的混沌控制微調參數法[12]

即基于此原理。實際上存在多種多樣的混沌控制方法，除此以外，還可以增加外激或參激(不論簡諧的還是隨機的),也可以增加狀態反饋(不論實時的、還是延時的、甚至經過濾波的)。

Fradkov與Evans在其關于混沌控制的綜述[14]中著重介紹了三類混沌控制方法:OGY方法、Pyragas基于延時反饋的控制方法[15]、以及非反饋控制方法。OGY方法與Pyragas方法在思想上是一致的，都是通過鎮定某個潛在的不穩定周期解UPO來顛覆混沌解，也就是實施一次‘策反’。設選定的UPO周期為T，它在混沌運動頻譜上留下的烙印,對應于f=1/T的周期運動主頻分量、及附屬的一些倍頻分量。再設y(t)代表系統的混沌運動，這時，Pyragas方法中的延時負反饋u(t）可表示如下:其中K代表可調反饋系數，τ代表可調延時。這樣，當取τ=T時，

每次反饋后y（t）中對應目標小譜峰的周期分量(包括主頻與其附屬的倍頻分量)信息始終不變，而y（t）中其它各種分量的信息不斷減弱，最終，只留下一個周期為T的穩定周期運動。Pyragas的控制目標也可借頻域濾波法近似實現。就是將混沌信號通過NotchFilter（一種有“V”形缺口通帶的帶通濾波器）反復濾波，只需將濾波器通帶底部對準f

就可以了。這樣，對應于f

的信號分量每次濾波都‘毫發無損’,通帶外的信號分量則迅速濾除，而通帶內f

兩側的信號分量需要許多次反復濾波才能濾除。最后只留下周期為T(=1/f）的穩定簡諧運動信號。NotchFilterFeedback隨機混沌控制延遲反饋抑制混沌

(η=+1)

延遲反饋誘發混沌

(η=–1)混沌同步混沌同步也是一種混沌控制。Boccaletti[27]2002年在PhysicsReports上發表了長達百頁的報告,對此前的混沌同步研究進展作了全面的報道。著重介紹了Pecora和Caroll[28]原創的驅動-響應模式下的PC方法,以及在此基礎上經擴展的主動-被動模式下的APD方法[29]，內容幾乎涉及混沌同步現象的各個方面，如完全同步（CS）、廣義同步GS）、滯后同步（LS）、相位同步（PS）等等。

隨機混沌樣本同步PhasetrajectoryofmeanresponseTopLEMeanresponseswithoutcontrolunderdifferent

initialconditions,A:fordriving;B:forrespondingMeanresponseswithcontrolunderdifferent

initialconditions,A:fordriving;B:forrespondingMeanresponseerrorWithoutcontrolWithcontrol,k’=0.98,k”=0.2Chaoticattractorfordrivingsystem混沌同步的特點1混沌同步實質上是對混沌樣本的跟蹤。

由驅動系統提供參考模板；

由響應系統實施反饋跟蹤。

2驅動系統樣本運動的TopLE是正的；響應系統跟蹤運動的TopLE是負的。噪聲誘導同步

上述‘混沌同步現象’多少帶有人為的強制作用。另一熱門話題是”噪聲誘導同步”，Boccaletti將此歸類于混沌同步問題，其提法是：研究兩個非直接耦合的混沌系統在同一噪聲樣本作用下誘生的同步現象。所謂噪聲樣本不過是代表白噪聲(或有界噪聲)的一個確定性偽隨機函數。由于混沌樣本也具有類似的表觀無序特點，與上述問題并提的還有‘混沌誘導同步’問題，提法中只需把噪聲樣本改成混沌樣本。

事實上，在所列舉的誘導同步數值實例中,即使對于兩個相同、獨立的非線性系統，也只有在噪聲激勵下的響應均不依賴于初始條件的情況下，也就是相應的最大條件Lyapunov指數(LCLE)均為負時，才能實現所謂‘誘導同步’。至于該同步信號究竟是不是混沌?誰也沒有提到。憑肉眼看，只能說它們都是表觀無序的。若說它們是混沌，那么為什么相應的LCLE又是負的？Boccaletti引用他人的辯解是“Lyapunov指數對一類特殊的混沌系統可能已失去意義”。我的理解恰巧相反。我認為：LCLE為負,意味著所選定的噪聲（或混沌）樣本激勵已經抑制了系統的內在隨機性,從而此時不可能產生混沌響應。因此,這時的表觀無序響應不過是系統對應于無序確定性樣本激勵的無序非穩態響應而已。

Notallthatlooksirregularischaos!LargestConditionalLyapunovExponent(LCLE)Noiseinducedsynchronization數值仿真在混沌研究中的作用

在求微分方程數值解時，舍入誤差相當于初始條件的攝動。難怪有人提出質疑，“既然混沌運動敏感地依賴于初始條件，那末用數值仿真來研究混沌運動是否合理？”誠然，在求解上述問題時，舍入誤差，可能導致最終解不再對應于當初給定的初始條件。這對傳統的穩態解都不成問題。因為同一吸引域內不同初始條件都對應于同一傳統穩態解。

但在求解混沌問題時，從相鄰的兩個初始條件出發，最