第四節一、曲面方程的概念二、旋轉曲面

三、柱面曲面及其方程第八章一、曲面方程的概念在平面幾何中，平面曲線看作平面上動點的幾何軌跡.在空間解析幾何中，空間曲面可以看成是空間中動點的幾何軌跡.水桶的表面、臺燈的罩子面等．曲面的實例：求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關系:(1)曲面

S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例2.研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面解根據題意有所求方程為例4方程

的圖形是怎樣的？根據題意有圖形上不封頂，下封底．解以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀．（討論旋轉曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程．定義2.一條平面曲線二、旋轉曲面

繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:故旋轉曲面方程為當繞

z軸旋轉時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉到旋轉曲面的方程構成？如何建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉所成曲面的方程？思考：當曲線C繞y軸旋轉時，方程如何？類似,xoy面上的曲線F(x,y)=0繞x軸旋轉所得到的旋轉曲面方程為：2）xoy面上的曲線C：繞X軸繞Y軸3）zox面上的曲線C：繞X軸繞Z軸好簡單喲求旋轉曲面的方程技巧1）yoz面上的曲線C：繞Y軸繞Z軸例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方上式表示的曲面稱為圓錐面，點o稱為圓錐的頂點.例4.

求坐標面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞

x

軸旋轉繞

z

軸旋轉旋轉單葉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為旋轉雙葉雙曲面旋轉橢球面旋轉拋物面三、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于z軸;準線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C叫做準線,l

叫做母線.柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準線

xoz

面上的曲線l3.母